🎓 8. Sınıf (Lgs)
📚 8. Sınıf Matematik
💡 8. Sınıf Matematik: Pisagor bağıntısı Çözümlü Örnekler
8. Sınıf Matematik: Pisagor bağıntısı Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Kenar uzunlukları 6 birim ve 8 birim olan dik üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç birimdir? 📏
Çözüm:
- Pisagor bağıntısı, dik üçgenlerde dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
- Formülümüz: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
- Verilen dik kenar uzunlukları: \( a = 6 \) birim ve \( b = 8 \) birim.
- Formülde yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 36 + 64 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 100 = c^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alarak \( c \) değerini bulalım: \( c = \sqrt{100} \)
- Sonuç: \( c = 10 \) birim.
Örnek 2:
Bir dik üçgende hipotenüs 13 cm ve bir dik kenar 5 cm'dir. Diğer dik kenarın uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
- Pisagor bağıntısını kullanacağız: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Hipotenüs \( c = 13 \) cm ve bir dik kenar \( a = 5 \) cm olarak verilmiş. Diğer dik kenarı \( b \) bulacağız.
- Formülde verilen değerleri yerine yazalım: \( 5^2 + b^2 = 13^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 25 + b^2 = 169 \)
- \( b^2 \) yalnız bırakmak için 25'i karşıya atalım: \( b^2 = 169 - 25 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 144 \)
- \( b \) değerini bulmak için karekök alalım: \( b = \sqrt{144} \)
- Sonuç: \( b = 12 \) cm.
Örnek 3:
Bir ABC dik üçgeninde \( |AB| = 9 \) cm ve \( |BC| = 12 \) cm'dir. Bu üçgenin hipotenüsü \( |AC| \) kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
- Bu bir dik üçgen olduğu için Pisagor bağıntısını uygulayabiliriz. Dik kenarlar \( |AB| \) ve \( |BC| \), hipotenüs ise \( |AC| \) olacaktır.
- Formül: \( |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2 \)
- Verilen değerleri yerine koyalım: \( 9^2 + 12^2 = |AC|^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 81 + 144 = |AC|^2 \)
- Toplayalım: \( 225 = |AC|^2 \)
- Hipotenüs uzunluğunu bulmak için karekök alalım: \( |AC| = \sqrt{225} \)
- Sonuç: \( |AC| = 15 \) cm.
Örnek 4:
Bir duvar ustası, 5 metre yüksekliğindeki bir duvarın dibine, duvardan 3 metre uzağa bir merdiven dayamıştır. Merdivenin boyu kaç metredir? (Merdiven, duvar ve zemin arasında dik açı olduğunu varsayınız.) 🪜
Çözüm:
- Bu durumu bir dik üçgen olarak düşünebiliriz.
- Duvarın yüksekliği bir dik kenar (a = 5 m).
- Duvardan merdivenin dayandığı nokta arasındaki mesafe diğer dik kenar (b = 3 m).
- Merdivenin boyu ise hipotenüstür (c).
- Pisagor bağıntısını kullanalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 5^2 + 3^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 25 + 9 = c^2 \)
- Toplayalım: \( 34 = c^2 \)
- Merdivenin boyunu bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{34} \)
Örnek 5:
Bir parkta, bir köşede bulunan bir direğe 10 metre uzunluğunda bir ip bağlanmıştır. İpin diğer ucu, direğin dibinden 6 metre uzaklıktaki bir noktaya gergin bir şekilde tutulmaktadır. İpin gergin olduğu durumda, ipin yere olan yüksekliği kaç metredir? (Direk ile yer arasındaki açı dik kabul edilecektir.) 🌳
Çözüm:
- Bu problemi bir dik üçgen modeliyle çözebiliriz.
- İpin uzunluğu hipotenüstür (c = 10 m).
- İpin direğin dibinden uzaklığı bir dik kenardır (b = 6 m).
- İpin yere olan yüksekliği ise diğer dik kenardır (a).
- Pisagor bağıntısını uygulayalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Verilen değerleri formüle yerleştirelim: \( a^2 + 6^2 = 10^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( a^2 + 36 = 100 \)
- \( a^2 \) değerini bulmak için 36'yı karşıya atalım: \( a^2 = 100 - 36 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( a^2 = 64 \)
- İpin yüksekliğini bulmak için karekök alalım: \( a = \sqrt{64} \)
- Sonuç: \( a = 8 \) metre.
Örnek 6:
Bir ABCD karesinin bir kenar uzunluğu 7 cm'dir. Bu karenin köşegen uzunluğu kaç cm'dir? ⬜
Çözüm:
- Bir karede, köşegenler kareyi iki eş dik üçgene ayırır.
- Bu dik üçgenlerin dik kenarları karenin kenar uzunluklarıdır.
- Yani, dik kenarlar \( a = 7 \) cm ve \( b = 7 \) cm'dir.
- Köşegen uzunluğu ise bu dik üçgenin hipotenüsüdür (c).
- Pisagor bağıntısını kullanalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 7^2 + 7^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 49 + 49 = c^2 \)
- Toplayalım: \( 98 = c^2 \)
- Köşegen uzunluğunu bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{98} \)
- \( \sqrt{98} \) ifadesini sadeleştirebiliriz: \( c = \sqrt{49 \times 2} = \sqrt{49} \times \sqrt{2} = 7\sqrt{2} \)
Örnek 7:
Bir gemi, limandan kuzeye doğru 15 km hareket ettikten sonra, yönünü doğuya çevirerek 8 km daha yol alıyor. Gemi başlangıç noktasına (limana) kuş uçuşu kaç km uzaklıktadır? 🚢
Çözüm:
- Bu durumu bir dik üçgen problemi olarak modelleyebiliriz.
- Gemi önce kuzeye 15 km gitmiş, bu bir dik kenardır (a = 15 km).
- Sonra doğuya 8 km gitmiş, bu da diğer dik kenardır (b = 8 km).
- Başlangıç noktası ile geminin son konumu arasındaki kuş uçuşu mesafe hipotenüstür (c).
- Pisagor bağıntısını uygulayalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 15^2 + 8^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 225 + 64 = c^2 \)
- Toplayalım: \( 289 = c^2 \)
- Kuş uçuşu mesafeyi bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{289} \)
- Sonuç: \( c = 17 \) km.
Örnek 8:
Bir dik üçgenin dik kenarlarından biri 10 cm, hipotenüsü ise 26 cm'dir. Bu dik üçgenin çevresi kaç cm'dir? ➕
Çözüm:
- Öncelikle dik üçgenin bilinmeyen dik kenar uzunluğunu bulmamız gerekiyor.
- Pisagor bağıntısını kullanalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Bir dik kenar \( a = 10 \) cm ve hipotenüs \( c = 26 \) cm olarak verilmiş. Diğer dik kenarı \( b \) bulacağız.
- Formülde yerine yazalım: \( 10^2 + b^2 = 26^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 100 + b^2 = 676 \)
- \( b^2 \) yalnız bırakalım: \( b^2 = 676 - 100 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 576 \)
- \( b \) değerini bulmak için karekök alalım: \( b = \sqrt{576} \)
- Sonuç: \( b = 24 \) cm.
- Şimdi üçgenin çevresini hesaplayabiliriz. Çevre = dik kenar 1 + dik kenar 2 + hipotenüs
- Çevre = \( 10 \) cm + \( 24 \) cm + \( 26 \) cm
- Toplamı bulalım: Çevre = \( 60 \) cm.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/8-sinif-matematik-pisagor-bagintisi/sorular