Pisagor bağıntısı Ders Notu

8. Sınıf Matematik LGS Konuları

Pisagor Bağıntısı 📐

Pisagor bağıntısı, dik üçgenlerde kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi gösteren temel bir geometrik kuraldır. Bu bağıntı, Antik Yunan matematikçisi Pisagor tarafından ortaya konmuştur ve günümüzde mühendislikten mimariye kadar pek çok alanda kullanılır.

Dik Üçgen Nedir?

Dik üçgen, bir açısı tam olarak 90 derece olan üçgendir. 90 derecelik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir. Diğer iki kenara ise dik kenarlar adı verilir.

Pisagor Bağıntısının Formülü

Bir dik üçgende, dik kenarların uzunluklarının karesinin toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir. Eğer dik kenarların uzunlukları a ve b, hipotenüsün uzunluğu ise c ise, Pisagor bağıntısı şu şekilde ifade edilir:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Pisagor Bağıntısının Kullanım Alanları

Bu bağıntı sayesinde, bir dik üçgenin iki kenarının uzunluğunu biliyorsak, üçüncü kenarının uzunluğunu hesaplayabiliriz. Bu, özellikle inşaat, haritacılık ve navigasyon gibi alanlarda doğru ölçümler yapmak için kritik öneme sahiptir.

Örnek 1: Hipotenüsü Bulma

Bir dik üçgenin dik kenarlarından biri 6 birim, diğeri ise 8 birim uzunluğundadır. Bu üçgenin hipotenüsünün uzunluğunu bulalım.

Pisagor bağıntısını kullanalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \)

Verilen değerleri yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)

Kareleri hesaplayalım: \( 36 + 64 = c^2 \)

Toplamı bulalım: \( 100 = c^2 \)

Her iki tarafın karekökünü alarak c'yi bulalım: \( c = \sqrt{100} \)

Sonuç: \( c = 10 \) birim

Dolayısıyla, hipotenüsün uzunluğu 10 birimdir.

Örnek 2: Bir Dik Kenarı Bulma

Bir dik üçgenin hipotenüsü 13 birim, dik kenarlarından biri ise 5 birim uzunluğundadır. Diğer dik kenarın uzunluğunu bulalım.

Pisagor bağıntısı: \( a^2 + b^2 = c^2 \)

Bilinen değerleri yerine koyalım. Hipotenüs c = 13, bir dik kenar a = 5 olsun. Diğer dik kenarı b bulacağız.

\( 5^2 + b^2 = 13^2 \)

Kareleri hesaplayalım: \( 25 + b^2 = 169 \)

\( b^2 \) yalnız bırakalım: \( b^2 = 169 - 25 \)

Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 144 \)

Her iki tarafın karekökünü alalım: \( b = \sqrt{144} \)

Sonuç: \( b = 12 \) birim

Diğer dik kenarın uzunluğu 12 birimdir.

Günlük Yaşamdan Örnekler

• Bir merdivenin duvara dayanması: Merdivenin boyu (hipotenüs), duvarın yüksekliği (bir dik kenar) ve duvardan uzaklığı (diğer dik kenar) bir dik üçgen oluşturur.
• Bir televizyon ekranının köşegeni: Ekranın eni ve boyu dik kenarlar, köşegen ise hipotenüs olur.
• Bir parkta iki nokta arasındaki en kısa mesafe: Eğer bu noktalar bir yolun kenarlarında ve bir kavşakta ise, dik üçgen oluşturabilirler.

Pisagor Üçlüleri

Kenar uzunlukları tam sayı olan dik üçgenlere Pisagor üçlüleri denir. En bilinen Pisagor üçlüleri şunlardır:

• (3, 4, 5)
• (5, 12, 13)
• (8, 15, 17)
• (7, 24, 25)

Bu üçlüleri bilmek, bazı problemleri daha hızlı çözmenize yardımcı olabilir.

Örnek 3: Pisagor Üçlüsü Kullanımı

Bir dik üçgenin dik kenarları 9 birim ve 12 birimdir. Hipotenüsü bulunuz.

Bu kenar uzunlukları, (3, 4, 5) üçlüsünün 3 katıdır: \( 9 = 3 \times 3 \), \( 12 = 4 \times 3 \). Bu durumda hipotenüs de \( 5 \times 3 = 15 \) birim olacaktır.

Kontrol edelim: \( 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \). \( \sqrt{225} = 15 \). Doğrudur.

Önemli Notlar

• Pisagor bağıntısı SADECE dik üçgenlerde geçerlidir.
• Hipotenüs, her zaman dik açının karşısındaki en uzun kenardır.
• Kare alma ve karekök alma işlemlerine hakim olmak, Pisagor bağıntısını kullanmayı kolaylaştırır.