Kesirler Ders Notu

Kesirler 🍎

Kesirler, bir bütünün eş parçalara ayrılması durumunu ifade eder. Bir kesir, yatay bir çizgiyle ayrılan pay ve paydadan oluşur. Pay, bütünün kaç parçasının alındığını gösterirken, payda ise bütünün kaç eş parçaya ayrıldığını gösterir.

1. Kesir Çeşitleri

a) Basit Kesirler

Payı, paydasından küçük olan kesirlerdir. Bu kesirlerin değeri her zaman 1'den küçüktür.

• Örnek: \( \frac{2}{5} \), \( \frac{7}{10} \), \( \frac{1}{3} \)

b) Bileşik Kesirler

Payı, paydasına eşit veya payından büyük olan kesirlerdir. Bu kesirlerin değeri 1'e eşit veya 1'den büyüktür.

• Örnek: \( \frac{5}{5} \), \( \frac{8}{3} \), \( \frac{12}{7} \)

c) Tam Sayılı Kesirler

Bir tam sayı ile bir basit kesrin toplamından oluşan kesirlerdir. Bileşik kesirler tam sayılı kesirlere çevrilebilir.

• Örnek: \( 2 \frac{1}{3} \), \( 5 \frac{2}{7} \)

2. Denk Kesirler

Değerleri birbirine eşit olan kesirlerdir. Bir kesrin pay ve paydası aynı pozitif tam sayı ile çarpılır veya bölünürse denk kesirler elde edilir.

• Örnek: \( \frac{1}{2} \) kesrinin denk kesirleri: \( \frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{2}{4} \), \( \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6} \), \( \frac{2}{4} = \frac{2 \div 2}{4 \div 2} = \frac{1}{2} \)

3. Kesirlerde Sadeleştirme ve Genişletme

a) Genişletme

Bir kesrin pay ve paydasını aynı pozitif tam sayı ile çarparak kesri büyütme işlemidir. Bu işlem, payda eşitleme gibi durumlarda kullanılır.

• Örnek: \( \frac{3}{4} \) kesrini 5 ile genişletirsek: \( \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20} \)

b) Sadeleştirme

Bir kesrin pay ve paydasını aynı pozitif tam sayıya bölerek kesri küçültme işlemidir. En sade halindeki kesir, pay ve paydasının en büyük ortak bölenine (EBOB) bölünerek bulunur.

• Örnek: \( \frac{18}{24} \) kesrini sadeleştirelim. 18 ve 24'ün EBOB'u 6'dır. \( \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4} \)

4. Kesirlerde Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Kesirlerle toplama ve çıkarma işlemleri yapılırken paydaların eşit olması gerekir. Eğer paydalar eşit değilse, önce paydalar eşitlenir (genişletme işlemi kullanılır).

a) Paydalar Eşit İken

• Toplama: \( \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \)
• Çıkarma: \( \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} \)

Örnek: \( \frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2+3}{7} = \frac{5}{7} \)

Örnek: \( \frac{9}{10} - \frac{4}{10} = \frac{9-4}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)

b) Paydalar Eşit Değil İken

Paydaları eşitlemek için paydaların en küçük ortak katı (EKOK) bulunur ve kesirler bu EKOK'a göre genişletilir.

Örnek: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \)

3 ve 2'nin EKOK'u 6'dır.

Kesirleri 6'ya göre genişletelim: \( \frac{1 \times 2}{3 \times 2} + \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6} \)

5. Kesirlerde Çarpma İşlemi

Kesirlerde çarpma işlemi yapılırken paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır.

• Formül: \( \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \)

Örnek: \( \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15} \)

Tam sayılı kesirlerle çarpma işlemi yapılırken önce tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilir.

Örnek: \( 1 \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \)

Önce çevirelim: \( \frac{3}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{2 \times 4} = \frac{9}{8} \)

6. Kesirlerde Bölme İşlemi

Kesirlerde bölme işlemi yapılırken birinci kesir aynı kalır, ikinci kesir ters çevrilir ve çarpma işlemi yapılır.

• Formül: \( \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c} \)

Örnek: \( \frac{3}{4} \div \frac{1}{2} \)

İkinci kesri ters çevirip çarpalım: \( \frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{3 \times 2}{4 \times 1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)

Tam sayılı kesirlerle bölme işlemi yapılırken önce tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilir.

Örnek: \( 2 \frac{1}{3} \div \frac{1}{2} \)

Önce çevirelim: \( \frac{7}{3} \div \frac{1}{2} = \frac{7}{3} \times \frac{2}{1} = \frac{7 \times 2}{3 \times 1} = \frac{14}{3} \)

7. Kesir Problemleri ve Çözümleri

Kesir problemleri genellikle bir bütünün parçaları veya bir bütünün belirli bir oranının hesaplanması üzerine kuruludur. Problemdeki bilgileri dikkatlice okuyarak kesir modelini oluşturmak önemlidir.

Örnek Problem 1:

Bir pastanın \( \frac{1}{4} \) i Ayşe'ye, \( \frac{2}{5} \) i Mehmet'e verilmiştir. Geriye pastanın kaçta kaçı kalmıştır?

Çözüm:

Önce Ayşe ve Mehmet'e verilen toplam pasta miktarını bulalım. Paydaları eşitlememiz gerekiyor. 4 ve 5'in EKOK'u 20'dir.

Ayşe'nin payı: \( \frac{1}{4} = \frac{1 \times 5}{4 \times 5} = \frac{5}{20} \)

Mehmet'in payı: \( \frac{2}{5} = \frac{2 \times 4}{5 \times 4} = \frac{8}{20} \)

Toplam verilen: \( \frac{5}{20} + \frac{8}{20} = \frac{13}{20} \)

Geriye kalan pasta miktarını bulmak için bütünden (1 tamdan) bu miktarı çıkarırız.

Kalan: \( 1 - \frac{13}{20} = \frac{20}{20} - \frac{13}{20} = \frac{7}{20} \)

Cevap: Pastanın \( \frac{7}{20} \) si kalmıştır.

Örnek Problem 2:

Bir kitabın önce \( \frac{1}{3} \) ü okunmuş, sonra kalan kısmın \( \frac{1}{2} \) si daha okunmuştur. Kitabın tamamı okunmuş olsaydı kaçta kaçı daha okunması gerekirdi?

Çözüm:

İlk okunan kısım: \( \frac{1}{3} \)

Kalan kısım: \( 1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \)

Kalan kısmın \( \frac{1}{2} \) si okunmuş: \( \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)

Toplam okunan kısım: \( \frac{1}{3} \) (ilk) + \( \frac{1}{3} \) (sonra) = \( \frac{2}{3} \)

Eğer tamamı okunmuş olsaydı okunması gereken miktar, tamamı ile toplam okunan arasındaki fark olurdu.

Okunması gereken: \( 1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \)

Cevap: Kitabın tamamı okunmuş olsaydı \( \frac{1}{3} \) ü daha okunması gerekirdi.