Karekökler Ders Notu

8. Sınıf Matematik (LGS) - Karekökler

Karekök, bir sayının kendisiyle çarpıldığında verilen sayıyı elde ettiğimiz sayıyı bulma işlemidir. Karekök alma işlemi, üslü ifadelerin tersi olarak düşünülebilir. Örneğin, 4'ün karesi 16'dır. Bu durumda, 16'nın karekökü 4'tür. Karekök sembolü \( \sqrt{} \) ile gösterilir.

Tam Kare Sayılar ve Karekökleri

Bir tam sayının karesi olan sayılara tam kare sayılar denir. Bu sayıların karekökleri de tam sayıdır.

• \( 1^2 = 1 \Rightarrow \sqrt{1} = 1 \)
• \( 2^2 = 4 \Rightarrow \sqrt{4} = 2 \)
• \( 3^2 = 9 \Rightarrow \sqrt{9} = 3 \)
• \( 4^2 = 16 \Rightarrow \sqrt{16} = 4 \)
• \( 5^2 = 25 \Rightarrow \sqrt{25} = 5 \)
• \( 10^2 = 100 \Rightarrow \sqrt{100} = 10 \)
• \( 12^2 = 144 \Rightarrow \sqrt{144} = 12 \)

Karekökün Özellikleri

1. Karekökün İçindeki Sayı Negatif Olamaz

Reel sayılarda, bir sayının karekökünün içi negatif olamaz. Çünkü hiçbir reel sayının karesi negatif değildir.

• \( \sqrt{-9} \) tanımsızdır.

2. \( \sqrt{a^2} = |a| \)

Bir sayının karesinin karekökü, o sayının mutlak değerine eşittir. Ancak LGS müfredatında genellikle karekökün içi pozitif kabul edildiği için \( \sqrt{a^2} = a \) olarak da karşımıza çıkabilir.

• \( \sqrt{5^2} = \sqrt{25} = 5 \)
• \( \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 \). Burada \( |-5| = 5 \) olur.

3. Karekök Alma İşleminin Ters İşlemi

Kare alma işleminin tersi karekök almadır.

• \( 7^2 = 49 \) ise \( \sqrt{49} = 7 \)

Kareköklerin Basitleştirilmesi

Karekök içindeki sayıyı, tam kare çarpanlarına ayırarak karekökü basitleştirebiliriz.

Örnek:

• \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \)
• \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \)
• \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \)
• \( \sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = \sqrt{100} \times \sqrt{2} = 10\sqrt{2} \)

Kareköklerin Çarpılması

Kareköklerin çarpımında, kareköklerin içindeki sayılar çarpılır ve sonuç tek bir karekök içine yazılır.

\[ \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} \]

Örnek:

• \( \sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = 4 \)
• \( \sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36} = 6 \)
• \( 2\sqrt{5} \times 3\sqrt{2} = (2 \times 3) \sqrt{5 \times 2} = 6\sqrt{10} \)

Kareköklerin Bölünmesi

Kareköklerin bölümünde, kareköklerin içindeki sayılar bölünür ve sonuç tek bir karekök içine yazılır.

\[ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \quad (b \neq 0) \]

Örnek:

• \( \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3 \)
• \( \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5 \)

Kareköklerin Toplanması ve Çıkarılması

Kareköklerin toplanıp çıkarılabilmesi için kareköklerin içindeki sayıların aynı olması gerekir. Bu durumda katsayılar toplanır veya çıkarılır.

\[ a\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a+b)\sqrt{c} \] \[ a\sqrt{c} - b\sqrt{c} = (a-b)\sqrt{c} \]

Örnek:

• \( \sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (1+3)\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \)
• \( 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = (5-2)\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \)
• \( \sqrt{18} + \sqrt{8} \). Önce basitleştirilir: \( \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \) ve \( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \). O halde \( 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = (3+2)\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \) olur.
• \( \sqrt{50} - \sqrt{32} \). Basitleştirme: \( \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \) ve \( \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \). O halde \( 5\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = (5-4)\sqrt{2} = \sqrt{2} \) olur.

Karekök İçine Sayı Alma

Bir sayıyı karekök içine almak için, sayının karesi alınarak karekökün içine yazılır.

\[ a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \times b} \]

Örnek:

• \( 3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \times 2} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{18} \)
• \( 5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \times 3} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{75} \)

Kareköklerin Yaklaşık Değerleri

Tam kare olmayan sayıların karekökleri irrasyonel sayılardır ve yaklaşık değerleri hesaplanabilir. LGS müfredatında genellikle \( \sqrt{2} \approx 1.41 \), \( \sqrt{3} \approx 1.73 \), \( \sqrt{5} \approx 2.23 \) gibi değerler kullanılır veya soruda verilir.

Örnek:

\( \sqrt{12} \) sayısının yaklaşık değerini bulalım.

\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \).

Eğer \( \sqrt{3} \approx 1.73 \) olarak verilirse, \( 2\sqrt{3} \approx 2 \times 1.73 = 3.46 \) olur.

Günlük Yaşamdan Karekök Örnekleri

Kare şeklindeki bir bahçenin alanından kenar uzunluğunu bulma, bir karenin köşegen uzunluğunu hesaplama gibi problemlerde karekök kavramı kullanılır.

Örnek:

Alanı 64 \( m^2 \) olan kare şeklindeki bir bahçenin bir kenar uzunluğu kaç metredir?

Bahçenin bir kenar uzunluğu \( a \) olsun. Alanı \( a^2 \) olur.

\( a^2 = 64 m^2 \)

Her iki tarafın karekökü alınırsa:

\( a = \sqrt{64 m^2} = 8 m \)

Bahçenin bir kenar uzunluğu 8 metredir.

Çözümlü Örnek

Soru: \( \sqrt{81} + \sqrt{16} - \sqrt{4} \) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Önce her bir karekökü ayrı ayrı hesaplayalım:

• \( \sqrt{81} = 9 \)
• \( \sqrt{16} = 4 \)
• \( \sqrt{4} = 2 \)

Şimdi bu değerleri işlemde yerine koyalım:

\( 9 + 4 - 2 = 13 - 2 = 11 \)

İşlemin sonucu 11'dir.

Soru: \( \sqrt{72} + \sqrt{18} - \sqrt{50} \) işleminin sonucu nedir?

Çözüm:

Öncelikle karekökleri basitleştirelim:

• \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \)
• \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \)
• \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \)

Şimdi basitleştirilmiş ifadeleri yerine koyarak işlemi yapalım:

\( 6\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 5\sqrt{2} \)

Katsayıları toplayıp çıkaralım:

\( (6 + 3 - 5)\sqrt{2} = (9 - 5)\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \)

İşlemin sonucu \( 4\sqrt{2} \)'dir.