Karekök Ders Notu

8. Sınıf Matematik: Karekök 💡

Karekök, bir sayının kendisiyle çarpıldığında o sayıyı veren değeri bulma işlemidir. Bir sayının karekökü, o sayının karesinin ters işlemidir. Karekök sembolü "√" ile gösterilir. Örneğin, 9 sayısının karekökü 3'tür çünkü 3'ün karesi 9'dur. Matematiksel olarak bu durum şu şekilde ifade edilir: \( \sqrt{9} = 3 \).

Tam Kare Sayılar ve Karekökleri

Tam kare sayılar, bir tam sayının karesi olan sayılardır. Bu tür sayıların karekökleri de tam sayıdır.

• \( 1^2 = 1 \implies \sqrt{1} = 1 \)
• \( 2^2 = 4 \implies \sqrt{4} = 2 \)
• \( 3^2 = 9 \implies \sqrt{9} = 3 \)
• \( 4^2 = 16 \implies \sqrt{16} = 4 \)
• \( 5^2 = 25 \implies \sqrt{25} = 5 \)
• \( 10^2 = 100 \implies \sqrt{100} = 10 \)
• \( 12^2 = 144 \implies \sqrt{144} = 12 \)

Negatif Sayıların Karekökü

8. sınıf müfredatında, reel sayılarda negatif bir sayının karekökü tanımsızdır. Yani, karekök içine negatif bir sayı yazılamaz.

• \( \sqrt{-4} \) tanımsızdır.

Karekök Dışına Çıkarma ve İçine Alma

Bir sayının karekökünü daha basit hale getirmek veya karekök içine almak için bazı kurallar kullanılır.

Karekök Dışına Çıkarma

Karekök içindeki sayının çarpanlarından tam kare olanlar, karekök dışına katsayı olarak çıkarılabilir.

• Örnek 1: \( \sqrt{18} \) sayısını inceleyelim. 18'i çarpanlarına ayırdığımızda \( 18 = 9 \times 2 \) olduğunu görürüz. Burada 9 bir tam karedir.
• \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \)
• Örnek 2: \( \sqrt{50} \)
• \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \)
• Örnek 3: \( \sqrt{72} \)
• \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \)

Karekök İçine Alma

Karekök dışındaki bir katsayı, karekök içine alınırken karesi alınarak içeri alınır.

• Örnek 1: \( 2\sqrt{3} \) sayısını karekök içine alalım.
• \( 2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \times 3} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{12} \)
• Örnek 2: \( 5\sqrt{2} \)
• \( 5\sqrt{2} = \sqrt{5^2 \times 2} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{50} \)
• Örnek 3: \( 3\sqrt{5} \)
• \( 3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \times 5} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{45} \)

Kareköklerin Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Kareköklerde toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için kareköklerin içindeki sayılar aynı olmalıdır. Bu işlemde, katsayılar toplanır veya çıkarılır, karekök kısmı aynı kalır.

• Örnek 1: \( \sqrt{2} + 3\sqrt{2} \)
• Burada her iki terimde de \( \sqrt{2} \) vardır. Katsayıları toplarız: \( 1\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (1+3)\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \)
• Örnek 2: \( 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \)
• \( (5-2)\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \)
• Örnek 3: \( \sqrt{8} + \sqrt{18} \)
• Önce karekökleri sadeleştirelim: \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} \) ve \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \)
• Şimdi toplayabiliriz: \( 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (2+3)\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \)
• Örnek 4: \( \sqrt{50} - \sqrt{32} \)
• Sadeleştirme: \( \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \) ve \( \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \)
• Çıkarma: \( 5\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = (5-4)\sqrt{2} = 1\sqrt{2} = \sqrt{2} \)

Kareköklerin Çarpma İşlemleri

Kareköklerin çarpımında, kareköklerin içindeki sayılar birbiriyle çarpılır ve sonuç tek bir karekök içine yazılır. Eğer katsayılar varsa, katsayılar kendi arasında, karekök içleri kendi arasında çarpılır.

• Örnek 1: \( \sqrt{2} \times \sqrt{3} \)
• \( \sqrt{2 \times 3} = \sqrt{6} \)
• Örnek 2: \( 2\sqrt{5} \times 3\sqrt{7} \)
• Katsayıları çarp: \( 2 \times 3 = 6 \)
• Karekök içlerini çarp: \( \sqrt{5} \times \sqrt{7} = \sqrt{35} \)
• Sonuç: \( 6\sqrt{35} \)
• Örnek 3: \( \sqrt{12} \times \sqrt{3} \)
• \( \sqrt{12 \times 3} = \sqrt{36} = 6 \)
• Alternatif olarak: \( \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \). O zaman \( 2\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 2 \times (\sqrt{3} \times \sqrt{3}) = 2 \times 3 = 6 \)

Kareköklerin Bölme İşlemleri

Kareköklerin bölümünde, kareköklerin içindeki sayılar birbiriyle bölünür ve sonuç tek bir karekök içine yazılır. Katsayılar varsa, katsayılar kendi arasında, karekök içleri kendi arasında bölünür.

• Örnek 1: \( \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} \)
• \( \sqrt{\frac{10}{2}} = \sqrt{5} \)
• Örnek 2: \( \frac{6\sqrt{15}}{2\sqrt{3}} \)
• Katsayıları böl: \( \frac{6}{2} = 3 \)
• Karekök içlerini böl: \( \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{15}{3}} = \sqrt{5} \)
• Sonuç: \( 3\sqrt{5} \)

Günlük Yaşamdan Karekök Örnekleri

Karekök kavramı, geometriden mühendisliğe kadar birçok alanda karşımıza çıkar.

• Alan ve Kenar Hesabı: Bir karenin alanı \( a^2 \) ise, bir kenar uzunluğu bu alanın kareköküdür. Örneğin, alanı 36 \( m^2 \) olan bir karenin bir kenar uzunluğu \( \sqrt{36} = 6 \) metredir.
• Pisagor Teoremi: Dik üçgenlerde \( a^2 + b^2 = c^2 \) bağıntısında, hipotenüs \( c \) uzunluğu \( \sqrt{a^2 + b^2} \) ile bulunur.