Karekök nasıl bulunur Ders Notu

Karekök Nasıl Bulunur? 🔢

Karekök alma işlemi, bir sayının kendisiyle çarpıldığında verilen sayıyı elde ettiğimiz sayıyı bulma işlemidir. Karekök sembolü \( \sqrt{} \) ile gösterilir. Örneğin, 9'un karekökü 3'tür çünkü \( 3 \times 3 = 9 \). Bu işlem, bir sayının karesinin tersidir.

Tam Kare Sayılar ve Karekökleri

Bazı sayılar, bir tam sayının kendisiyle çarpılmasıyla elde edilir. Bu sayılara tam kare sayılar denir. Tam kare sayıların karekökleri de bir tam sayıdır.

• \( 1^2 = 1 \), bu yüzden \( \sqrt{1} = 1 \)
• \( 2^2 = 4 \), bu yüzden \( \sqrt{4} = 2 \)
• \( 3^2 = 9 \), bu yüzden \( \sqrt{9} = 3 \)
• \( 4^2 = 16 \), bu yüzden \( \sqrt{16} = 4 \)
• \( 5^2 = 25 \), bu yüzden \( \sqrt{25} = 5 \)
• \( 10^2 = 100 \), bu yüzden \( \sqrt{100} = 10 \)

Bu şekilde devam ederek daha büyük tam kare sayıların kareköklerini de bulabiliriz. Örneğin, \( 12^2 = 144 \) olduğundan \( \sqrt{144} = 12 \)'dir.

Karekök Bulma Yöntemleri

Tam kare olmayan sayıların kareköklerini bulmak için farklı yöntemler kullanabiliriz. 8. sınıfta genellikle iki temel yöntem üzerinde durulur:

1. Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi

Bir sayının karekökünü bulmak için o sayıyı asal çarpanlarına ayırabiliriz. Daha sonra, aynı olan asal çarpanları ikili gruplar halinde eşleştiririz. Her gruptan bir tane çarpan alarak bu çarpanları çarptığımızda sayının karekökünü elde ederiz.

Örnek 1: \( \sqrt{144} \) sayısının karekökünü bulalım.

144 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

\[ 144 = 2 \times 72 = 2 \times 2 \times 36 = 2 \times 2 \times 2 \times 18 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 9 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \]

Asal çarpanları gruplandıralım:

\[ 144 = (2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (3 \times 3) \]

Her gruptan bir tane çarpan alalım:

\[ \sqrt{144} = 2 \times 2 \times 3 = 12 \]

Sonuç: \( \sqrt{144} = 12 \)

Örnek 2: \( \sqrt{72} \) sayısının karekökünü bulalım.

72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

\[ 72 = 2 \times 36 = 2 \times 2 \times 18 = 2 \times 2 \times 2 \times 9 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \]

Asal çarpanları gruplandıralım:

\[ 72 = (2 \times 2) \times 2 \times (3 \times 3) \]

Her tam gruptan bir tane çarpan alıp, tek kalan çarpanı kök dışına çıkaramayız:

\[ \sqrt{72} = \sqrt{(2 \times 2) \times (3 \times 3) \times 2} = 2 \times 3 \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \]

Bu durumda \( \sqrt{72} \) tam bir sayı değildir ve \( 6\sqrt{2} \) şeklinde ifade edilir.

2. Tam Kare Katsayılar Yardımıyla Sadeleştirme

Bazen bir sayının karekökünü alırken, sayının çarpanlarından biri tam kare ise, o tam kare sayının karekökünü dışarı alarak ifadeyi sadeleştirebiliriz.

Örnek 3: \( \sqrt{50} \) sayısını sadeleştirelim.

50 sayısını çarpanlarına ayıralım ve tam kare çarpanları bulalım:

\[ 50 = 25 \times 2 \]

Burada 25 bir tam karedir (\( 5^2 \)).

\[ \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5 \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \]

Sonuç: \( \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \)

Örnek 4: \( \sqrt{180} \) sayısını sadeleştirelim.

180 sayısını çarpanlarına ayıralım:

\[ 180 = 18 \times 10 = (9 \times 2) \times (2 \times 5) = 9 \times 4 \times 5 \]

Burada 9 (\( 3^2 \)) ve 4 (\( 2^2 \)) tam karelerdir.

\[ \sqrt{180} = \sqrt{9 \times 4 \times 5} = \sqrt{9} \times \sqrt{4} \times \sqrt{5} = 3 \times 2 \times \sqrt{5} = 6\sqrt{5} \]

Sonuç: \( \sqrt{180} = 6\sqrt{5} \)

Günlük Yaşamdan Karekök Örnekleri

Karekök kavramı, geometride alan hesaplamalarında sıkça karşımıza çıkar. Örneğin, bir karenin alanı \( a^2 \) ise, bir kenar uzunluğu \( a \) olur. Alanı \( A \) olan bir karenin bir kenar uzunluğunu bulmak için \( \sqrt{A} \) işlemi yapılır.

Örnek 5: Bir bahçenin alanı 64 metrekaredir. Bu bahçe kare şeklinde olduğuna göre, bir kenar uzunluğu kaç metredir?

Bahçenin alanı \( A = 64 \, m^2 \) ise, bir kenar uzunluğu \( a = \sqrt{A} \) olur.

\[ a = \sqrt{64 \, m^2} = 8 \, m \]

Bahçenin bir kenar uzunluğu 8 metredir.

Karekök alma, sadece matematiksel bir işlem olmakla kalmayıp, alan, hacim ve çeşitli mühendislik problemlerinde temel bir rol oynar.