🎓 8. Sınıf (Lgs)
📚 8. Sınıf Matematik
💡 8. Sınıf Matematik: Karekök en zor düzey Çözümlü Örnekler
8. Sınıf Matematik: Karekök en zor düzey Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir kenarının uzunluğu \( \sqrt{72} \) cm olan karenin alanı kaç \( \text{cm}^2 \) dir? Bu karenin çevre uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
- Karenin alanı, bir kenarının uzunluğunun karesine eşittir.
- Verilen kenar uzunluğu \( a = \sqrt{72} \) cm'dir.
- Alan \( A = a^2 \) olduğundan, \( A = (\sqrt{72})^2 \) olur.
- Karekök ve kare birbirini götürdüğünden, alan \( A = 72 \) \( \text{cm}^2 \) bulunur. 💡
- Karenin çevre uzunluğu, bir kenarının 4 katıdır.
- Çevre \( Ç = 4a \) olduğundan, \( Ç = 4 \times \sqrt{72} \) olur.
- \( \sqrt{72} \) ifadesini \( \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \) şeklinde sadeleştirebiliriz.
- Bu durumda çevre \( Ç = 4 \times 6\sqrt{2} = 24\sqrt{2} \) cm olur. ✅
Örnek 2:
\( \sqrt{180} \) sayısının yaklaşık değerini bulmak için aşağıdaki adımları izleyelim. Hangi iki tam sayı arasında olduğunu ve hangisine daha yakın olduğunu belirleyelim.
Çözüm:
- Öncelikle \( \sqrt{180} \) sayısını sadeleştirelim.
- \( 180 = 36 \times 5 \) olduğundan, \( \sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = \sqrt{36} \times \sqrt{5} = 6\sqrt{5} \) şeklinde yazılabilir.
- Şimdi \( \sqrt{5} \) değerini tahmin etmeye çalışalım.
- \( 2^2 = 4 \) ve \( 3^2 = 9 \) olduğundan, \( \sqrt{5} \) sayısı 2 ile 3 arasındadır.
- \( \sqrt{5} \) sayısı 4'e (yani \( 2^2 \)) daha yakındır, bu yüzden 2'ye daha yakındır. Yaklaşık olarak 2.236 değerini alır.
- Bu durumda \( \sqrt{180} = 6\sqrt{5} \) yaklaşık olarak \( 6 \times 2.236 \) olur.
- \( 6 \times 2.236 = 13.416 \) olur.
- Yani \( \sqrt{180} \) sayısı 13 ile 14 tam sayıları arasındadır. 📌
- \( 13^2 = 169 \) ve \( 14^2 = 196 \) olduğundan, 180 sayısı 169'a (13'ün karesi) daha yakındır.
- Dolayısıyla \( \sqrt{180} \) sayısı 13'e daha yakındır. 👉
Örnek 3:
Bir çiftçi, tarlasının bir kenarını \( \sqrt{50} \) metre uzunluğunda yapmıştır. Tarlasının tamamı kare şeklinde olduğuna göre, çiftçinin tarlasının etrafına kaç metre tel çekmesi gerekir?
Çözüm:
- Karenin bir kenar uzunluğu \( a = \sqrt{50} \) metredir.
- Karenin etrafına çekilecek tel miktarı, karenin çevre uzunluğuna eşittir.
- Çevre \( Ç = 4a \) formülü ile bulunur.
- \( a = \sqrt{50} \) metreyi sadeleştirelim: \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \) metre.
- Şimdi çevre uzunluğunu hesaplayalım: \( Ç = 4 \times 5\sqrt{2} \).
- \( Ç = 20\sqrt{2} \) metre tel çekilmesi gerekir. ✅
- Eğer yaklaşık bir değer istenirse, \( \sqrt{2} \approx 1.414 \) alarak \( 20 \times 1.414 = 28.28 \) metre diyebiliriz.
Örnek 4:
\( \sqrt{a} = 7 \) ise \( a \) kaçtır? \( \sqrt{b} = \sqrt{12} \) ise \( b \) kaçtır? \( \sqrt{c} = 5\sqrt{3} \) ise \( c \) kaçtır?
Çözüm:
- İlk denklem \( \sqrt{a} = 7 \) verilmiş. Her iki tarafın karesini alırsak: \( (\sqrt{a})^2 = 7^2 \), bu da \( a = 49 \) eder. 💡
- İkinci denklem \( \sqrt{b} = \sqrt{12} \) verilmiş. Her iki tarafın karesini alırsak: \( (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{12})^2 \), bu da \( b = 12 \) eder.
- Üçüncü denklem \( \sqrt{c} = 5\sqrt{3} \) verilmiş. Her iki tarafın karesini alalım: \( (\sqrt{c})^2 = (5\sqrt{3})^2 \).
- \( (5\sqrt{3})^2 \) ifadesini hesaplarken hem 5'in hem de \( \sqrt{3} \) 'ün karesini alırız: \( 5^2 \times (\sqrt{3})^2 = 25 \times 3 = 75 \).
- Dolayısıyla \( c = 75 \) bulunur. ✅
Örnek 5:
Bir kenar uzunluğu \( \sqrt{242} \) metre olan kare şeklindeki bir bahçenin etrafına, her \( \sqrt{2} \) metreye bir fidan dikilecektir. Toplam kaç fidan dikilir?
Çözüm:
- Öncelikle bahçenin bir kenar uzunluğunu sadeleştirelim: \( \sqrt{242} = \sqrt{121 \times 2} = \sqrt{121} \times \sqrt{2} = 11\sqrt{2} \) metre.
- Bahçenin çevre uzunluğu \( Ç = 4 \times \text{kenar uzunluğu} \) formülü ile bulunur.
- \( Ç = 4 \times 11\sqrt{2} = 44\sqrt{2} \) metredir.
- Her \( \sqrt{2} \) metreye bir fidan dikileceğine göre, dikilecek fidan sayısı çevre uzunluğunun \( \sqrt{2} \) 'ye bölünmesiyle bulunur.
- Fidan sayısı = \( \frac{44\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \).
- \( \sqrt{2} \) 'ler sadeleşir ve sonuç 44 olur.
- Toplamda 44 fidan dikilir. 💡
Örnek 6:
\( \sqrt{x^2} = 9 \) denklemini sağlayan pozitif \( x \) değeri kaçtır?
Çözüm:
- \( \sqrt{x^2} \) ifadesi \( |x| \) olarak çıkar.
- Yani denklem \( |x| = 9 \) olur.
- Mutlak değerin tanımına göre, \( |x| = 9 \) denkleminin iki çözümü vardır: \( x = 9 \) ve \( x = -9 \).
- Soruda pozitif \( x \) değeri sorulduğu için cevap \( x = 9 \) olur. ✅
Örnek 7:
Bir marangoz, \( \sqrt{128} \) cm uzunluğunda bir tahta parçasını eşit uzunlukta 4 parçaya ayırmak istiyor. Her bir parçanın uzunluğu kaç cm olur?
Çözüm:
- Toplam tahta uzunluğu \( L = \sqrt{128} \) cm'dir.
- Bu uzunluğu 4 eşit parçaya ayırmak için \( L \div 4 \) işlemi yapılır.
- Öncelikle \( \sqrt{128} \) sayısını sadeleştirelim: \( \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = \sqrt{64} \times \sqrt{2} = 8\sqrt{2} \) cm.
- Şimdi her bir parçanın uzunluğunu bulalım: \( \frac{8\sqrt{2}}{4} \).
- Sadeleştirme yaparsak, her bir parçanın uzunluğu \( 2\sqrt{2} \) cm olur. 💡
- Yaklaşık değer istenseydi, \( \sqrt{2} \approx 1.414 \) alarak \( 2 \times 1.414 = 2.828 \) cm diyebilirdik.
Örnek 8:
\( \sqrt{50} + \sqrt{72} - \sqrt{18} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
- Bu tür işlemleri yapabilmek için kök içlerini aynı yapmamız gerekir. Bunun için her bir köklü ifadeyi sadeleştirelim:
- \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \)
- \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \)
- \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \)
- Şimdi bu sadeleştirilmiş ifadeleri orijinal işlemde yerine koyalım:
- \( 5\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 3\sqrt{2} \)
- Kökler aynı olduğu için katsayıları toplayıp çıkarabiliriz: \( (5 + 6 - 3)\sqrt{2} \).
- \( 5 + 6 = 11 \) ve \( 11 - 3 = 8 \).
- Sonuç \( 8\sqrt{2} \) olur. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/8-sinif-matematik-karekok-en-zor-duzey/sorular