Karekök en zor düzey Ders Notu

8. Sınıf Matematik: Karekök (En Zor Düzey) 📈

Bu bölümde, 8. sınıf matematik müfredatındaki karekök konusunun en zorlayıcı seviyesine odaklanacağız. Karekök alma işleminin temel prensiplerini ve bu prensiplerin karmaşık problemler üzerindeki uygulamalarını detaylıca inceleyeceğiz. Özellikle LGS sınavında karşımıza çıkabilecek, analitik düşünme ve problem çözme becerilerini ölçen sorulara ağırlık vereceğiz.

Karekök Kavramının Derinlemesine İncelenmesi 🧐

Bir sayının karekökü, karesi o sayıya eşit olan pozitif sayıdır. Örneğin, 9'un karekökü 3'tür çünkü \( 3^2 = 9 \). Negatif sayılar için reel sayılarda karekök tanımsızdır. Karekök sembolü \( \sqrt{} \) ile gösterilir.

\( \sqrt{a} \): a sayısının karekökü
\( \sqrt{0} = 0 \)
\( \sqrt{1} = 1 \)
Eğer \( a > 0 \) ise, \( \sqrt{a^2} = a \)

Tam Kare Sayılar ve Karekökleri 💯

Tam kare sayılar, bir tam sayının karesi olan sayılardır. Bu sayıların karekökleri de tam sayıdır. Bu, karekök alma işlemlerini basitleştiren önemli bir özelliktir.

\( 1^2 = 1 \implies \sqrt{1} = 1 \)
\( 2^2 = 4 \implies \sqrt{4} = 2 \)
\( 3^2 = 9 \implies \sqrt{9} = 3 \)
\( 10^2 = 100 \implies \sqrt{100} = 10 \)
\( 15^2 = 225 \implies \sqrt{225} = 15 \)

Karekök Alma İşleminin Özellikleri ve Uygulamaları 🧮

Karekök alma işlemi, çarpma ve bölme işlemleriyle uyumlu özelliklere sahiptir. Bu özellikler, karmaşık ifadelerin karekökünü alırken bize yardımcı olur.

Çarpımın Karekökü: \( \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) (Burada \( a \ge 0 \) ve \( b \ge 0 \))
Bölümün Karekökü: \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \) (Burada \( a \ge 0 \) ve \( b > 0 \))

Örnek 1: Çarpımın Karekökü

Aşağıdaki ifadenin değerini hesaplayınız:

\[ \sqrt{36 \cdot 49} \]

Çözüm:

Özelliği kullanarak:

\[ \sqrt{36 \cdot 49} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{49} = 6 \cdot 7 = 42 \]

Alternatif olarak önce çarpma işlemini yapıp sonra karekök alabiliriz:

\[ \sqrt{36 \cdot 49} = \sqrt{1764} = 42 \]

Örnek 2: Bölümün Karekökü

Aşağıdaki ifadenin değerini hesaplayınız:

\[ \sqrt{\frac{144}{25}} \]

Çözüm:

\[ \sqrt{\frac{144}{25}} = \frac{\sqrt{144}}{\sqrt{25}} = \frac{12}{5} \]

Karekök İfadelerinde Sadeleştirme ✂️

Karekök içindeki sayıyı, tam kare çarpanlarına ayırarak ifadeyi sadeleştirebiliriz. Bu, özellikle büyük sayılarla çalışırken işimizi kolaylaştırır.

Sadeleştirme Kuralı: \( \sqrt{a \cdot b^2} = b\sqrt{a} \) (Burada \( a \ge 0 \))

Örnek 3: Karekök Sadeleştirme

\( \sqrt{72} \) ifadesini sadeleştiriniz.

Çözüm:

72 sayısını tam kare çarpanlarına ayırırız: \( 72 = 36 \cdot 2 \). Burada 36 bir tam karedir (\( 6^2 \)).

\[ \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \]

Örnek 4: Birden Fazla Sadeleştirme

\( \sqrt{18} + \sqrt{50} \) işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

Önce her iki karekökü de sadeleştirelim:

\( \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \)
\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \)

Şimdi bu sadeleştirilmiş ifadeleri toplayalım:

\[ 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (3+5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \]

Karekök İfadelerinde İşlemler (Toplama, Çıkarma, Çarpma, Bölme) ➕➖✖️➗

Karekök ifadeleriyle toplama ve çıkarma yapabilmek için kareköklerin içindeki sayılar aynı olmalıdır (benzer terimler gibi). Çarpma ve bölme ise daha serbesttir.

Toplama/Çıkarma: \( a\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a+b)\sqrt{c} \) ve \( a\sqrt{c} - b\sqrt{c} = (a-b)\sqrt{c} \)
Çarpma: \( a\sqrt{b} \cdot c\sqrt{d} = (a \cdot c)\sqrt{b \cdot d} \)
Bölme: \( \frac{a\sqrt{b}}{c\sqrt{d}} = \frac{a}{c}\sqrt{\frac{b}{d}} \)

Örnek 5: Karekök Toplama ve Çıkarma

\( 5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - \sqrt{12} \) işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

Önce \( \sqrt{12} \) ifadesini sadeleştirelim: \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \).

Şimdi tüm terimleri \( \sqrt{3} \) cinsinden yazıp toplayalım:

\[ 5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = (5+2-2)\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \]

Örnek 6: Karekök Çarpma

\( 3\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{2} \) işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

\[ 3\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{2} = (3 \cdot 4)\sqrt{5 \cdot 2} = 12\sqrt{10} \]

Örnek 7: Karekök Bölme

\( \frac{10\sqrt{18}}{2\sqrt{2}} \) işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

Önce \( \sqrt{18} \) ifadesini sadeleştirelim: \( \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \).

Şimdi ifadeyi yeniden yazalım:

\[ \frac{10 \cdot (3\sqrt{2})}{2\sqrt{2}} = \frac{30\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \]

Sadeleştirme yaparsak:

\[ \frac{30}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 15 \cdot 1 = 15 \]

Karekök İçine Alma ve Dışına Çıkarma ↩️

Bir sayıyı karekök içine alırken, sayının karesi alınarak karekökün içine çarpım olarak yazılır. Karekök dışına çıkarma ise yukarıda bahsedilen sadeleştirme işlemidir.

İçine Alma: \( a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b} \) (Burada \( a > 0 \))

Örnek 8: Karekök İçine Alma

\( 3\sqrt{2} \) ifadesini karekök içine alınız.

Çözüm:

\[ 3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18} \]

Örnek 9: Karşılaştırma

Aşağıdaki sayılardan hangisi daha büyüktür: \( 4\sqrt{3} \) mü yoksa \( \sqrt{45} \) mi?

Çözüm:

Her iki sayıyı da aynı formatta (karekök içine alarak veya dışına çıkararak) karşılaştıralım.

1. Yöntem (İçine Alma):

\( 4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48} \)
\( \sqrt{45} \) zaten karekök içinde.

\( \sqrt{48} > \sqrt{45} \) olduğundan, \( 4\sqrt{3} > \sqrt{45} \) olur.

2. Yöntem (Dışına Çıkarma):

\( 4\sqrt{3} \) zaten sade halde.
\( \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} \)

Bu yöntemde doğrudan karşılaştırma yapmak biraz daha zorlayıcı olabilir çünkü karekök içleri farklıdır. Bu yüzden 1. yöntem genellikle daha pratiktir.

Kareköklerin Yaklaşık Değerleri ve Sayı Doğrusunda Gösterme 📏

Her tam kare olmayan sayının karekökü irrasyonel bir sayıdır ve ondalık gösterimi sonsuza kadar devam eder. Bu tür sayıların yaklaşık değerlerini bulmak için tam kare sayılar arasındaki yerlerini kullanırız.

Örnek 10: Yaklaşık Değer Bulma

\( \sqrt{50} \) sayısının yaklaşık değerini bulunuz.

Çözüm:

50 sayısı, hangi iki tam kare arasında yer alır? \( 7^2 = 49 \) ve \( 8^2 = 64 \). Yani \( 49 < 50 < 64 \).

Bu durumda, \( \sqrt{49} < \sqrt{50} < \sqrt{64} \), yani \( 7 < \sqrt{50} < 8 \).

50 sayısı 49'a daha yakın olduğu için, \( \sqrt{50} \) değeri 7'ye daha yakın olacaktır. Yaklaşık olarak \( \sqrt{50} \approx 7.07 \) olarak bulunabilir.

Sayı Doğrusunda Gösterme:

Örneğin \( \sqrt{2} \) sayısını sayı doğrusunda göstermek için, 1 ile 2 arasında olduğunu biliriz (\( 1^2=1 \), \( 2^2=4 \)). \( \sqrt{2} \approx 1.41 \) olduğundan, 1 ile 2 arasındaki 1.41 noktasına yerleştirilir.

Karekök Problemlerinde Dikkat Edilmesi Gerekenler ⚠️

Karekökün içi negatif olamaz (reel sayılarda).
\( \sqrt{a^2} = |a| \) 'dır. Ancak 8. sınıfta genellikle \( a \ge 0 \) olduğu durumlar ele alınır, bu yüzden \( \sqrt{a^2} = a \) olarak kullanılır.
İşlem önceliğine dikkat edilmelidir.
Sadeleştirme ve ortak payda bulma işlemleri karmaşık problemleri çözmede kritiktir.

Günlük Yaşamdan Karekök Uygulamaları 🏠

Karekök kavramı geometri, mühendislik ve hatta finans gibi birçok alanda karşımıza çıkar. Örneğin, bir karenin alanından kenar uzunluğunu bulmak karekök alma işlemidir. Bir dik üçgende Pisagor teoremini kullanırken de karekök alma işlemi yaparız.

Örnek 11: Alan ve Kenar İlişkisi

Alanı \( 128 \, m^2 \) olan bir kare şeklindeki bahçenin bir kenar uzunluğu kaç metredir?

Çözüm:

Karenin alanı \( a^2 \) ise, kenar uzunluğu \( a = \sqrt{Alan} \) olur.

\[ a = \sqrt{128} \]

Şimdi \( \sqrt{128} \) ifadesini sadeleştirelim:

\[ \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{2} = 8\sqrt{2} \, \text{metre} \]

Bahçenin bir kenar uzunluğu \( 8\sqrt{2} \) metredir.

8. Sınıf Matematik: Karekök (En Zor Düzey) 📈

Karekök Kavramının Derinlemesine İncelenmesi 🧐

\( \sqrt{a} \): a sayısının karekökü
\( \sqrt{0} = 0 \)
\( \sqrt{1} = 1 \)
Eğer \( a > 0 \) ise, \( \sqrt{a^2} = a \)

Tam Kare Sayılar ve Karekökleri 💯

Tam kare sayılar, bir tam sayının karesi olan sayılardır. Bu sayıların karekökleri de tam sayıdır. Bu, karekök alma işlemlerini basitleştiren önemli bir özelliktir.

\( 1^2 = 1 \implies \sqrt{1} = 1 \)
\( 2^2 = 4 \implies \sqrt{4} = 2 \)
\( 3^2 = 9 \implies \sqrt{9} = 3 \)
\( 10^2 = 100 \implies \sqrt{100} = 10 \)
\( 15^2 = 225 \implies \sqrt{225} = 15 \)

Karekök Alma İşleminin Özellikleri ve Uygulamaları 🧮

Karekök alma işlemi, çarpma ve bölme işlemleriyle uyumlu özelliklere sahiptir. Bu özellikler, karmaşık ifadelerin karekökünü alırken bize yardımcı olur.

Çarpımın Karekökü: \( \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) (Burada \( a \ge 0 \) ve \( b \ge 0 \))
Bölümün Karekökü: \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \) (Burada \( a \ge 0 \) ve \( b > 0 \))

Örnek 1: Çarpımın Karekökü

Aşağıdaki ifadenin değerini hesaplayınız:

\[ \sqrt{36 \cdot 49} \]

Çözüm:

Özelliği kullanarak:

\[ \sqrt{36 \cdot 49} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{49} = 6 \cdot 7 = 42 \]

Alternatif olarak önce çarpma işlemini yapıp sonra karekök alabiliriz:

\[ \sqrt{36 \cdot 49} = \sqrt{1764} = 42 \]

Örnek 2: Bölümün Karekökü

Aşağıdaki ifadenin değerini hesaplayınız:

\[ \sqrt{\frac{144}{25}} \]

Çözüm:

\[ \sqrt{\frac{144}{25}} = \frac{\sqrt{144}}{\sqrt{25}} = \frac{12}{5} \]

Karekök İfadelerinde Sadeleştirme ✂️

Karekök içindeki sayıyı, tam kare çarpanlarına ayırarak ifadeyi sadeleştirebiliriz. Bu, özellikle büyük sayılarla çalışırken işimizi kolaylaştırır.

Sadeleştirme Kuralı: \( \sqrt{a \cdot b^2} = b\sqrt{a} \) (Burada \( a \ge 0 \))

Örnek 3: Karekök Sadeleştirme

\( \sqrt{72} \) ifadesini sadeleştiriniz.

Çözüm:

72 sayısını tam kare çarpanlarına ayırırız: \( 72 = 36 \cdot 2 \). Burada 36 bir tam karedir (\( 6^2 \)).

\[ \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \]

Örnek 4: Birden Fazla Sadeleştirme

\( \sqrt{18} + \sqrt{50} \) işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

Önce her iki karekökü de sadeleştirelim:

\( \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \)
\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \)

Şimdi bu sadeleştirilmiş ifadeleri toplayalım:

\[ 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (3+5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \]

Karekök İfadelerinde İşlemler (Toplama, Çıkarma, Çarpma, Bölme) ➕➖✖️➗

Karekök ifadeleriyle toplama ve çıkarma yapabilmek için kareköklerin içindeki sayılar aynı olmalıdır (benzer terimler gibi). Çarpma ve bölme ise daha serbesttir.

Toplama/Çıkarma: \( a\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a+b)\sqrt{c} \) ve \( a\sqrt{c} - b\sqrt{c} = (a-b)\sqrt{c} \)
Çarpma: \( a\sqrt{b} \cdot c\sqrt{d} = (a \cdot c)\sqrt{b \cdot d} \)
Bölme: \( \frac{a\sqrt{b}}{c\sqrt{d}} = \frac{a}{c}\sqrt{\frac{b}{d}} \)

Örnek 5: Karekök Toplama ve Çıkarma

\( 5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - \sqrt{12} \) işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

Önce \( \sqrt{12} \) ifadesini sadeleştirelim: \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \).

Şimdi tüm terimleri \( \sqrt{3} \) cinsinden yazıp toplayalım:

\[ 5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = (5+2-2)\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \]

Örnek 6: Karekök Çarpma

\( 3\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{2} \) işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

\[ 3\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{2} = (3 \cdot 4)\sqrt{5 \cdot 2} = 12\sqrt{10} \]

Örnek 7: Karekök Bölme

\( \frac{10\sqrt{18}}{2\sqrt{2}} \) işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

Önce \( \sqrt{18} \) ifadesini sadeleştirelim: \( \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \).

Şimdi ifadeyi yeniden yazalım:

\[ \frac{10 \cdot (3\sqrt{2})}{2\sqrt{2}} = \frac{30\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \]

Sadeleştirme yaparsak:

\[ \frac{30}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 15 \cdot 1 = 15 \]

Karekök İçine Alma ve Dışına Çıkarma ↩️

Bir sayıyı karekök içine alırken, sayının karesi alınarak karekökün içine çarpım olarak yazılır. Karekök dışına çıkarma ise yukarıda bahsedilen sadeleştirme işlemidir.

İçine Alma: \( a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b} \) (Burada \( a > 0 \))

Örnek 8: Karekök İçine Alma

\( 3\sqrt{2} \) ifadesini karekök içine alınız.

Çözüm:

\[ 3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18} \]

Örnek 9: Karşılaştırma

Aşağıdaki sayılardan hangisi daha büyüktür: \( 4\sqrt{3} \) mü yoksa \( \sqrt{45} \) mi?

Çözüm:

Her iki sayıyı da aynı formatta (karekök içine alarak veya dışına çıkararak) karşılaştıralım.

1. Yöntem (İçine Alma):

\( 4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48} \)
\( \sqrt{45} \) zaten karekök içinde.

\( \sqrt{48} > \sqrt{45} \) olduğundan, \( 4\sqrt{3} > \sqrt{45} \) olur.

2. Yöntem (Dışına Çıkarma):

\( 4\sqrt{3} \) zaten sade halde.
\( \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} \)

Bu yöntemde doğrudan karşılaştırma yapmak biraz daha zorlayıcı olabilir çünkü karekök içleri farklıdır. Bu yüzden 1. yöntem genellikle daha pratiktir.

Kareköklerin Yaklaşık Değerleri ve Sayı Doğrusunda Gösterme 📏

Örnek 10: Yaklaşık Değer Bulma

\( \sqrt{50} \) sayısının yaklaşık değerini bulunuz.

Çözüm:

50 sayısı, hangi iki tam kare arasında yer alır? \( 7^2 = 49 \) ve \( 8^2 = 64 \). Yani \( 49 < 50 < 64 \).

Bu durumda, \( \sqrt{49} < \sqrt{50} < \sqrt{64} \), yani \( 7 < \sqrt{50} < 8 \).

50 sayısı 49'a daha yakın olduğu için, \( \sqrt{50} \) değeri 7'ye daha yakın olacaktır. Yaklaşık olarak \( \sqrt{50} \approx 7.07 \) olarak bulunabilir.

Sayı Doğrusunda Gösterme:

Karekök Problemlerinde Dikkat Edilmesi Gerekenler ⚠️

Karekökün içi negatif olamaz (reel sayılarda).
\( \sqrt{a^2} = |a| \) 'dır. Ancak 8. sınıfta genellikle \( a \ge 0 \) olduğu durumlar ele alınır, bu yüzden \( \sqrt{a^2} = a \) olarak kullanılır.
İşlem önceliğine dikkat edilmelidir.
Sadeleştirme ve ortak payda bulma işlemleri karmaşık problemleri çözmede kritiktir.

Günlük Yaşamdan Karekök Uygulamaları 🏠

Örnek 11: Alan ve Kenar İlişkisi

Alanı \( 128 \, m^2 \) olan bir kare şeklindeki bahçenin bir kenar uzunluğu kaç metredir?

Çözüm:

Karenin alanı \( a^2 \) ise, kenar uzunluğu \( a = \sqrt{Alan} \) olur.

\[ a = \sqrt{128} \]

Şimdi \( \sqrt{128} \) ifadesini sadeleştirelim:

\[ \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{2} = 8\sqrt{2} \, \text{metre} \]

Bahçenin bir kenar uzunluğu \( 8\sqrt{2} \) metredir.

📝 8. Sınıf Matematik: Karekök en zor düzey Ders Notu

Karekök en zor düzey Ders Notu

8. Sınıf Matematik: Karekök (En Zor Düzey) 📈

Karekök Kavramının Derinlemesine İncelenmesi 🧐

Tam Kare Sayılar ve Karekökleri 💯

Karekök Alma İşleminin Özellikleri ve Uygulamaları 🧮

Örnek 1: Çarpımın Karekökü

Örnek 2: Bölümün Karekökü

Karekök İfadelerinde Sadeleştirme ✂️

Örnek 3: Karekök Sadeleştirme

Örnek 4: Birden Fazla Sadeleştirme

Karekök İfadelerinde İşlemler (Toplama, Çıkarma, Çarpma, Bölme) ➕➖✖️➗

Örnek 5: Karekök Toplama ve Çıkarma

Örnek 6: Karekök Çarpma

Örnek 7: Karekök Bölme

Karekök İçine Alma ve Dışına Çıkarma ↩️

Örnek 8: Karekök İçine Alma

Örnek 9: Karşılaştırma

Kareköklerin Yaklaşık Değerleri ve Sayı Doğrusunda Gösterme 📏

Örnek 10: Yaklaşık Değer Bulma

Karekök Problemlerinde Dikkat Edilmesi Gerekenler ⚠️

Günlük Yaşamdan Karekök Uygulamaları 🏠

Örnek 11: Alan ve Kenar İlişkisi

8. Sınıf Matematik: Karekök (En Zor Düzey) 📈

Karekök Kavramının Derinlemesine İncelenmesi 🧐

Tam Kare Sayılar ve Karekökleri 💯

Karekök Alma İşleminin Özellikleri ve Uygulamaları 🧮

Örnek 1: Çarpımın Karekökü

Örnek 2: Bölümün Karekökü

Karekök İfadelerinde Sadeleştirme ✂️

Örnek 3: Karekök Sadeleştirme

Örnek 4: Birden Fazla Sadeleştirme

Karekök İfadelerinde İşlemler (Toplama, Çıkarma, Çarpma, Bölme) ➕➖✖️➗

Örnek 5: Karekök Toplama ve Çıkarma

Örnek 6: Karekök Çarpma

Örnek 7: Karekök Bölme

Karekök İçine Alma ve Dışına Çıkarma ↩️

Örnek 8: Karekök İçine Alma

Örnek 9: Karşılaştırma

Kareköklerin Yaklaşık Değerleri ve Sayı Doğrusunda Gösterme 📏

Örnek 10: Yaklaşık Değer Bulma

Karekök Problemlerinde Dikkat Edilmesi Gerekenler ⚠️

Günlük Yaşamdan Karekök Uygulamaları 🏠

Örnek 11: Alan ve Kenar İlişkisi

İçerik Hazırlanıyor...