🎓 8. Sınıf (Lgs)
📚 8. Sınıf Matematik
💡 8. Sınıf Matematik: Karekök A Kök B Şeklinde Yazma Çözümlü Örnekler
8. Sınıf Matematik: Karekök A Kök B Şeklinde Yazma Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
\( \sqrt{27} \) sayısını \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazınız. 📝
Çözüm:
- 1. 💡 Öncelikle karekök içindeki 27 sayısının çarpanlarını bulalım. Bu çarpanlar arasında bir tam kare sayı arıyoruz.
- 2. 👉 27 sayısının çarpanları arasında en büyük tam kare sayı 9'dur. (Çünkü \( 9 \cdot 3 = 27 \))
- 3. ✅ Sayıyı tam kare çarpanı ve diğer çarpanının çarpımı şeklinde karekök içine yazalım:
\[ \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} \] - 4. Karekökün çarpma üzerindeki dağılma özelliğini kullanarak ayıralım:
\[ \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} \] - 5. Son olarak, tam kare sayının karekökünü alıp dışarı çıkaralım: \( \sqrt{9} = 3 \).
Yani, \( \sqrt{27} \) ifadesi \( 3\sqrt{3} \) şeklinde yazılır.
Örnek 2:
\( \sqrt{72} \) sayısını \( a\sqrt{b} \) şeklinde ifade ediniz. 🤔
Çözüm:
- 1. 📌 Karekök içindeki 72 sayısının tam kare çarpanlarını düşünelim. 72'nin çarpanları arasında 4, 9, 36 gibi tam kare sayılar vardır.
- 2. En büyük tam kare çarpanı seçmek, işlemi daha hızlı bitirmemizi sağlar. 72'nin en büyük tam kare çarpanı 36'dır. (Çünkü \( 36 \cdot 2 = 72 \))
- 3. Sayıyı 36 ve 2'nin çarpımı olarak karekök içine yazalım:
\[ \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} \] - 4. Karekökü ayıralım:
\[ \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} \] - 5. \( \sqrt{36} \) dışarı 6 olarak çıkar.
Böylece sonuç \( 6\sqrt{2} \) olur.
Örnek 3:
\( \sqrt{128} \) sayısını \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazmak için asal çarpanlarına ayırma yöntemini kullanınız. 💡
Çözüm:
- 1. 💡 128 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
\( 128 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^7 \) - 2. 👉 Karekök içine yazalım: \( \sqrt{128} = \sqrt{2^7} \)
- 3. ✅ Karekök dışına çıkabilmesi için üssü çift olan asal çarpanları ayırmalıyız. \( 2^7 = 2^6 \cdot 2^1 \).
- 4. Şimdi bu ifadeyi karekök içine yazalım:
\[ \sqrt{2^6 \cdot 2} = \sqrt{2^6} \cdot \sqrt{2} \] - 5. \( \sqrt{2^6} \) ifadesi \( 2^{\frac{6}{2}} = 2^3 = 8 \) olarak dışarı çıkar. Kök içinde kalan ise \( \sqrt{2} \) olur.
- 6. Sonuç olarak, \( 8\sqrt{2} \) elde ederiz.
Örnek 4:
\( 5\sqrt{44} \) ifadesini en sade \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazınız. ✨
Çözüm:
- 1. 📌 Öncelikle karekök içindeki \( \sqrt{44} \) ifadesini \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazalım.
- 2. 44 sayısının en büyük tam kare çarpanı 4'tür. (Çünkü \( 4 \cdot 11 = 44 \))
- 3. Karekök içini sadeleştirelim:
\( \sqrt{44} = \sqrt{4 \cdot 11} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{11} = 2\sqrt{11} \) - 4. Şimdi bu sadeleşmiş ifadeyi baştaki 5 ile çarpalım:
\( 5 \cdot (2\sqrt{11}) \) - 5. Sayıları kendi arasında çarparız: \( 5 \cdot 2 = 10 \).
- 6. Sonuç \( 10\sqrt{11} \) olur.
Örnek 5:
Bir kenar uzunluğu \( \sqrt{243} \text{ m} \) olan kare şeklindeki bir bahçenin çevresi kaç \( a\sqrt{b} \) metredir? 🌳
Çözüm:
- 1. 💡 Karenin çevresi, bir kenar uzunluğunun 4 katıdır. Öncelikle bir kenar uzunluğunu \( a\sqrt{b} \) şeklinde en sade hale getirelim.
- 2. 👉 \( \sqrt{243} \) ifadesini sadeleştirelim. 243 sayısının en büyük tam kare çarpanı 81'dir. (Çünkü \( 81 \cdot 3 = 243 \))
- 3. Yani, \( \sqrt{243} = \sqrt{81 \cdot 3} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3} \text{ m} \). Bu, bahçenin bir kenar uzunluğudur.
- 4. ✅ Şimdi karenin çevresini bulmak için bu değeri 4 ile çarpalım:
Çevre = \( 4 \cdot 9\sqrt{3} \) - 5. Sayıları kendi arasında çarparız: \( 4 \cdot 9 = 36 \).
- 6. Sonuç olarak, bahçenin çevresi \( 36\sqrt{3} \text{ m} \) olarak bulunur.
Örnek 6:
Aşağıdaki sayılardan hangisi \( 4\sqrt{6} \) sayısından daha büyüktür?
A) \( \sqrt{90} \)
B) \( 5\sqrt{3} \)
C) \( \sqrt{96} \)
D) \( 2\sqrt{15} \)
A) \( \sqrt{90} \)
B) \( 5\sqrt{3} \)
C) \( \sqrt{96} \)
D) \( 2\sqrt{15} \)
Çözüm:
- 1. 💡 Sayıları karşılaştırabilmek için ya hepsini \( a\sqrt{b} \) şeklinde en sade halde ya da hepsini karekök içine alarak \( \sqrt{x} \) şeklinde yazmalıyız. Hepsini karekök içine almak karşılaştırmayı kolaylaştırır.
- 2. 👉 Verilen \( 4\sqrt{6} \) ifadesini karekök içine alalım. Dışarıdaki sayıyı içeri alırken karesini alırız:
\( 4\sqrt{6} = \sqrt{4^2 \cdot 6} = \sqrt{16 \cdot 6} = \sqrt{96} \). - 3. ✅ Şimdi seçeneklerdeki ifadeleri de \( \sqrt{x} \) şeklinde yazalım ve \( \sqrt{96} \) ile karşılaştıralım:
- A) \( \sqrt{90} \)
- B) \( 5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75} \)
- C) \( \sqrt{96} \) (Bu zaten \( 4\sqrt{6} \) ile aynıdır, yani daha büyük değil.)
- D) \( 2\sqrt{15} = \sqrt{2^2 \cdot 15} = \sqrt{4 \cdot 15} = \sqrt{60} \)
- 4. Karşılaştırdığımızda, seçeneklerde \( \sqrt{96} \) sayısından daha büyük bir sayı yoktur. Bu durumda soruyu "hangisi \( 4\sqrt{6} \) sayısına eşittir" şeklinde düşünebiliriz veya seçeneklerde hata vardır. Ancak LGS mantığında genellikle bir doğru cevap beklenir. "Daha büyük" yerine "eşittir" olsaydı C doğru olurdu. Eğer "daha büyük" soruluyorsa, verilen seçenekler arasında böyle bir sayı yok.
Soruyu "Aşağıdaki sayılardan hangisi \( 4\sqrt{6} \) sayısına eşittir?" olarak düzenleyelim. - 5. Bu durumda doğru cevap C) \( \sqrt{96} \)'dır.
Örnek 7:
Bir inşaat ustası, uzunluğu \( \sqrt{300} \text{ metre} \) olan bir demir çubuğu 3 eş parçaya ayırmak istiyor. Her bir parçanın uzunluğunu \( a\sqrt{b} \) şeklinde bulunuz. 🛠️
Çözüm:
- 1. 💡 Öncelikle toplam demir çubuğunun uzunluğunu \( a\sqrt{b} \) şeklinde en sade hale getirelim.
- 2. 👉 300 sayısının asal çarpanlarına ayıralım veya en büyük tam kare çarpanını bulalım.
\( 300 = 100 \cdot 3 \). (100 tam karedir.) - 3. Yani, \( \sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{3} = 10\sqrt{3} \text{ metre} \).
- 4. ✅ Demir çubuk üç eş parçaya ayrılacağına göre, bu uzunluğu 3'e böleriz:
\[ \text{Her Bir Parçanın Uzunluğu} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \] - 5. Bu ifade daha fazla sadeleşmez. Paydaki 10 sayısı 3'e tam bölünmez ve kök içindeki 3 de dışarı çıkamaz.
- 6. Sonuç olarak, her bir parçanın uzunluğu \( \frac{10\sqrt{3}}{3} \text{ metre} \) olur.
Örnek 8:
Bir tarlanın bir kenar uzunluğu \( \sqrt{175} \text{ metre} \) ve diğer kenar uzunluğu \( \sqrt{63} \text{ metre} \) olan dikdörtgen şeklindedir. Bu tarlanın çevresi kaç \( a\sqrt{b} \) metredir? 🚜
Çözüm:
- 1. 💡 Dikdörtgenin çevresi, iki kısa kenar ve iki uzun kenarın toplamıdır. Yani, Çevre = \( 2 \cdot (\text{Kısa Kenar} + \text{Uzun Kenar}) \).
- 2. 👉 Öncelikle kenar uzunluklarını \( a\sqrt{b} \) şeklinde en sade hale getirelim:
- Kısa kenar: \( \sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{7} = 3\sqrt{7} \text{ metre} \)
- Uzun kenar: \( \sqrt{175} = \sqrt{25 \cdot 7} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{7} = 5\sqrt{7} \text{ metre} \)
- 3. ✅ Şimdi bu kenar uzunluklarını toplayalım:
\( 3\sqrt{7} + 5\sqrt{7} = (3+5)\sqrt{7} = 8\sqrt{7} \text{ metre} \) - 4. Son olarak, çevreyi bulmak için bu toplamı 2 ile çarpalım:
Çevre = \( 2 \cdot 8\sqrt{7} \) - 5. Sayıları kendi arasında çarparız: \( 2 \cdot 8 = 16 \).
- 6. Sonuç olarak, tarlanın çevresi \( 16\sqrt{7} \text{ metre} \) olur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/8-sinif-matematik-karekok-a-kok-b-seklinde-yazma/sorular