Karekök A Kök B Şeklinde Yazma Ders Notu

Karekök içindeki bir sayıyı \(a\sqrt{b}\) şeklinde yazmak, kareköklü sayılarla yapılan işlemleri (toplama, çıkarma, çarpma, bölme) kolaylaştırmak için oldukça önemlidir. Bu işlem, karekök içindeki sayının tam kare çarpanlarını bularak kök dışına çıkarmak prensibine dayanır.

Karekök \(a\sqrt{b}\) Şeklinde Yazma Nedir?

Karekök içindeki bir sayının bir kısmı kök dışına çıkarılabilir ve bu durumda sayı \(a\sqrt{b}\) şeklinde ifade edilir. Burada \(a\) bir tam sayı, \(b\) ise karekök içinde kalan bir doğal sayıdır ve \(b\) bir tam kare sayı içermez (yani daha fazla sadeleşemez).

Örneğin, \( \sqrt{12} \) sayısını ele alalım. \(12\) sayısının çarpanlarından biri tam karedir. \(12 = 4 \times 3\) şeklinde yazılabilir. Buna göre, \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} \) olur. Karekökün özelliklerinden biri olan \( \sqrt{x \times y} = \sqrt{x} \times \sqrt{y} \) kuralını kullanarak bu ifadeyi açabiliriz: \[ \sqrt{12} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2 \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \] Yani, \( \sqrt{12} \) sayısı \( 2\sqrt{3} \) şeklinde yazılabilir. Burada \(a=2\) ve \(b=3\)'tür.

Karekökü \(a\sqrt{b}\) Şeklinde Yazma Yöntemleri

Karekök içindeki bir sayıyı \(a\sqrt{b}\) şeklinde yazmak için iki temel yöntem kullanılır:

1. Yöntem: Tam Kare Çarpan Bulma 🔍

Bu yöntemde, karekök içindeki sayının en büyük tam kare çarpanı bulunur. Tam kare sayılar 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ... gibi sayılardır.

• Karekök içindeki sayıyı, tam kare bir sayı ile başka bir sayının çarpımı şeklinde yazın.
• Tam kare olan çarpanı karekök dışına çıkarın.
• Kök içinde kalan sayıyı yazın.

Örnekler:

• \( \sqrt{18} \):
  • \(18\) sayısının tam kare çarpanı \(9\)'dur. (\(18 = 9 \times 2\))
  • \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \)
• \( \sqrt{50} \):
  • \(50\) sayısının tam kare çarpanı \(25\)'tir. (\(50 = 25 \times 2\))
  • \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \)
• \( \sqrt{72} \):
  • \(72\) sayısının en büyük tam kare çarpanı \(36\)'dır. (\(72 = 36 \times 2\))
  • \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \)

2. Yöntem: Asal Çarpanlara Ayırma ✨

Bu yöntem, özellikle büyük sayılar için veya tam kare çarpanı hemen görülemeyen durumlarda daha sistematiktir.

1. Karekök içindeki sayıyı asal çarpanlarına ayırın.
2. Aynı asal çarpanlardan oluşan her iki taneyi bir grup olarak düşünün (yani \(x^2\) şeklinde).
3. Her \(x^2\) grubundan bir tane \(x\) sayısını karekök dışına çıkarın.
4. Karekök içinde tek başına kalan (eşleşmeyen) asal çarpanları birbiriyle çarpıp karekök içinde bırakın.
5. Kök dışına çıkan sayıları birbiriyle çarpın.

Örnek: \( \sqrt{72} \) sayısını \(a\sqrt{b}\) şeklinde yazma

Öncelikle \(72\) sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

\[ 72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \]

Şimdi aynı asal çarpanları gruplayalım (üstü çift olanları):

\[ 72 = (2 \times 2) \times 2 \times (3 \times 3) \] \[ 72 = 2^2 \times 3^2 \times 2 \]

Bu ifadeyi karekök içine alalım:

\[ \sqrt{72} = \sqrt{2^2 \times 3^2 \times 2} \]

Karekök içindeki tam kare ifadeler kök dışına çıkar:

\[ \sqrt{2^2} \times \sqrt{3^2} \times \sqrt{2} \] \[ 2 \times 3 \times \sqrt{2} \]

Kök dışındaki sayıları çarpalım:

\[ 6\sqrt{2} \]

Yani, \( \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \)'dir.

Diğer Örnekler:

Sayı	Asal Çarpanlara Ayırma	\(a\sqrt{b}\) Şeklinde Yazılışı
\( \sqrt{48} \)	\( 48 = 2^4 \times 3 = (2^2 \times 2^2) \times 3 \)	\( 2 \times 2 \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \)
\( \sqrt{98} \)	\( 98 = 2 \times 7^2 \)	\( 7\sqrt{2} \)
\( \sqrt{108} \)	\( 108 = 2^2 \times 3^3 = 2^2 \times 3^2 \times 3 \)	\( 2 \times 3 \times \sqrt{3} = 6\sqrt{3} \)
\( \sqrt{200} \)	\( 200 = 2^3 \times 5^2 = 2^2 \times 2 \times 5^2 \)	\( 2 \times 5 \times \sqrt{2} = 10\sqrt{2} \)

Önemli Notlar ve İpuçları 💡

• Karekök içindeki sayının tam kare çarpanlarını veya asal çarpanlarını ne kadar hızlı bulursanız, işlemi o kadar çabuk tamamlarsınız.
• Bir sayıyı \(a\sqrt{b}\) şeklinde yazdıktan sonra, \(b\) sayısının içinde başka bir tam kare çarpan kalmamasına dikkat edin. Aksi takdirde sadeleştirme işlemi tamamlanmamış demektir. Örneğin, \( \sqrt{72} = 3\sqrt{8} \) yanlıştır çünkü \( \sqrt{8} \) daha da sadeleşebilir (\( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} \)). Doğru sonuç \( 6\sqrt{2} \) olmalıdır.
• Küçük tam kare sayıları (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225) ezbere bilmek, özellikle birinci yöntemde size zaman kazandıracaktır.