Eşitsizlik, üçgenler, eşitlik ve benzerlik, dönüşüm geometrisi Ders Notu

Eşitsizlikler ⚖️

Eşitsizlikler, günlük hayatta bir sınırın altında veya üstünde kalma durumlarını ifade etmek için kullanılır. Bir sayının diğerinden büyük, küçük, büyük eşit veya küçük eşit olduğu durumları belirtmek için eşitsizlik sembolleri kullanılır. "Büyük" için \( > \), "küçük" için \( < \), "büyük veya eşit" için \( \geq \), "küçük veya eşit" için \( \leq \) sembolleri tercih edilir.

• Bir sayının 5 fazlası 10'dan küçüktür: \( x + 5 < 10 \)
• Bir sayının 2 katının 3 eksiği 7'ye eşit veya büyüktür: \( 2x - 3 \geq 7 \)

Dikkat: Bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.

Örnek: \( -2x < 10 \) eşitsizliğinde her iki tarafı -2'ye bölersek \( x > -5 \) olur.

Üçgenler ve Üçgen Eşitsizliği 📐

Bir üçgenin kenar uzunlukları arasında belirli kurallar vardır. Üçgen eşitsizliğine göre, herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farklarının mutlak değerinden ise büyüktür. Bir ABC üçgeninde kenarlar a, b ve c olsun. Bu durumda: \( |b - c| < a < b + c \) kuralı geçerlidir.

Örnek: Kenar uzunlukları 5 cm, 8 cm ve x cm olan bir üçgende x'in alabileceği tam sayı değerlerini bulalım. \( |8 - 5| < x < 8 + 5 \) yani \( 3 < x < 13 \) olur. Bu durumda x; 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 değerlerini alabilir.

Eşlik ve Benzerlik 🔍

İki çokgenin karşılıklı kenar uzunlukları ve karşılıklı açıları birbirine eşitse bu çokgenlere "eş çokgenler" denir. Benzerlikte ise karşılıklı açılar eşittir ancak kenarlar arasında belirli bir orantı vardır. Bu orana "benzerlik oranı" denir.

Kavram	Açılar	Kenarlar
Eşlik	Eşit	Eşit
Benzerlik	Eşit	Orantılı

İki üçgenin benzer olması için açı-açı-açı (AAA) benzerlik kuralı yeterlidir. Eğer iki üçgenin karşılıklı tüm açıları eşitse, kenarları da aynı oranda büyür veya küçülür.

Dönüşüm Geometrisi 🔄

Düzlemdeki şekillerin yerini veya yönünü değiştiren işlemlere dönüşüm geometrisi denir. LGS müfredatında üç temel dönüşüm vardır:

• Öteleme: Şeklin sadece konumunun değişmesidir. Şeklin boyutu ve yönü değişmez. Bir nokta \( (x, y) \) koordinat sisteminde a birim sağa, b birim yukarı ötelenirse yeni koordinat \( (x + a, y + b) \) olur.
• Yansıma: Şeklin bir doğruya göre simetriğinin alınmasıdır. X eksenine göre yansımada \( (x, y) \) noktası \( (x, -y) \) olur. Y eksenine göre yansımada ise \( (-x, y) \) olur.
• Dönme: Şeklin bir nokta etrafında belirli bir açıyla döndürülmesidir. Dönme hareketinde şeklin boyutu ve şekli değişmez, sadece yönü değişebilir.

Örnek: \( (3, 4) \) noktasının x eksenine göre yansıması \( (3, -4) \) noktasıdır. Bu nokta daha sonra 2 birim sola ötelenirse yeni koordinat \( (3 - 2, -4) = (1, -4) \) olur.