🪄 İçerik Hazırla
Ana Sayfa / 8. Sınıf (Lgs) / 8. Sınıf Matematik / Ebob ve ekok / Ders Notları
🎓 8. Sınıf (Lgs) 📚 8. Sınıf Matematik

📝 8. Sınıf Matematik: Ebob ve ekok Ders Notu

Pozitif tam sayıların çarpanları ve katları, matematiğin temel taşlarından biridir. İki veya daha fazla pozitif tam sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne En Büyük Ortak Bölen (EBOB), ortak katlarının en küçüğüne ise En Küçük Ortak Kat (EKOK) denir. LGS Matematik sınavında EBOB ve EKOK kavramları, genellikle gerçek yaşam senaryolarına dayalı günlük hayat problemleri şeklinde karşımıza çıkar.

En Büyük Ortak Bölen (EBOB) 📌

İki ya da daha fazla sayıyı aynı anda bölebilen en büyük pozitif tam sayıya bu sayıların EBOB'u denir. İki sayının EBOB'unu bulmak için sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan üssü en küçük olanlar seçilerek çarpılır.

Örneğin \( 24 \) ve \( 36 \) sayılarını asal çarpanlarına ayıralım:

  • \( 24 = 2^3 \times 3^1 \)
  • \( 36 = 2^2 \times 3^2 \)

Ortak asal tabanlar \( 2 \) ve \( 3 \)'tür. Üssü küçük olanları seçtiğimizde EBOB\( (24, 36) = 2^2 \times 3^1 = 12 \) olarak bulunur.

EBOB Problemleri Nasıl Anlaşılır? 🔍

Bir problemin EBOB kullanılarak çözüleceğini anlamak için şu ipuçlarına dikkat edilmelidir:

  • Bütünden parçaya gidiliyorsa (büyük parçalar daha küçük eşit parçalara ayrılıyorsa),
  • Tarlanın, bahçenin veya odanın etrafına eşit aralıklarla ağaç, direk veya fidan dikiliyorsa,
  • Farklı miktarlardaki çuval, bidon veya depolarda bulunan ürünler birbirine karıştırılmadan eşit hacimli kaplara/poşetlere dolduruluyorsa,
  • Kumaşlar, tahta çubuklar veya teller eşit uzunlukta parçalara bölünecekse EBOB yöntemi kullanılır.

Çözümlü EBOB Problemi 📝

Soru: \( 48 \text{ kg} \) pirinç ve \( 60 \text{ kg} \) nohut, birbirine karıştırılmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit büyüklükteki torbalara doldurulacaktır. Bu işlem için en az kaç torba gereklidir?

Çözüm: Torba sayısının en az olması için her bir torbanın alacağı ürün miktarının en fazla olması gerekir. Bu miktar \( 48 \) ve \( 60 \) sayılarının EBOB'udur.

\( 48 = 2^4 \times 3^1 \)

\( 60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \)

Ortak çarpanlardan üssü küçük olanları çarparsak: EBOB\( (48, 60) = 2^2 \times 3^1 = 12 \text{ kg} \)

Bir torba en fazla \( 12 \text{ kg} \) ürün alabilir. Torba sayılarını bulalım:

  • Pirinç için: \( 48 \div 12 = 4 \) torba
  • Nohut için: \( 60 \div 12 = 5 \) torba

Toplam torba sayısı \( 4 + 5 = 9 \) adet olarak bulunur.

En Küçük Ortak Kat (EKOK) 🔄

İki ya da daha fazla sayının pozitif katlarından en küçük olanına bu sayıların EKOK'u denir. Sayılar asal çarpanlarına ayrıldıktan sonra, ortak olan asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar ile ortak olmayan tüm asal çarpanlar alınarak çarpılır.

Örneğin \( 15 \) ve \( 20 \) sayılarını asal çarpanlarına ayıralım:

  • \( 15 = 3^1 \times 5^1 \)
  • \( 20 = 2^2 \times 5^1 \)

Bütün farklı asal tabanlardan üssü en büyük olanları alırsak: EKOK\( (15, 20) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 60 \) bulunur.

EKOK Problemleri Nasıl Anlaşılır? 🔍

Bir problemin EKOK ile çözüleceğini gösteren temel durumlar şunlardır:

  • Parçadan bütüne gidiliyorsa (küçük parçalar birleştirilerek büyük bir yapı oluşturuluyorsa),
  • Farklı zaman aralıklarında çalan ziller, yanan lambalar veya sefer yapan otobüslerin bir sonraki birlikte yapacakları eylem soruluyorsa,
  • Birlikte nöbet tutan kişilerin tekrar aynı gün nöbet tutma süreleri hesaplanıyorsa,
  • Tuğla veya küpler bir araya getirilerek daha büyük bir kare veya küp elde ediliyorsa EKOK kullanılır.

Çözümlü EKOK Problemi 📝

Soru: İki otobüsten birincisi \( 15 \) dakikada bir, ikincisi ise \( 18 \) dakikada bir sefer yapmaktadır. Bu iki otobüs saat \( 08:00 \)'de ilk kez birlikte sefere çıktıklarına göre, en erken saat kaçta tekrar birlikte sefere çıkarlar?

Çözüm: Otobüslerin tekrar birlikte sefere çıkma süreleri \( 15 \) ve \( 18 \) sayılarının ortak bir katı olmalıdır. En erken süreyi bulmak için EKOK hesaplanır.

\( 15 = 3^1 \times 5^1 \)

\( 18 = 2^1 \times 3^2 \)

EKOK\( (15, 18) = 2^1 \times 3^2 \times 5^1 = 90 \) dakika bulunur.

\( 90 \) dakika \( = 1 \) saat \( 30 \) dakikadır. İlk karşılaşma saati olan \( 08:00 \)'e bu süreyi ekleyelim:

\( 08:00 + 01:30 = 09:30 \)

Otobüsler saat \( 09:30 \)'da tekrar birlikte sefere çıkarlar.

EBOB ve EKOK ile İlgili Önemli Kurallar 💡

LGS sorularında pratik çözüm yapmanızı sağlayacak temel kural ve özellikler şunlardır:

  • Aralarında Asal Sayılar: Aralarında asal iki pozitif tam sayının EBOB'u her zaman \( 1 \)'e eşittir. Bu sayıların EKOK'u ise sayıların çarpımına eşittir.
    Örnek: \( 8 \) ve \( 9 \) aralarında asaldır. EBOB\( (8, 9) = 1 \) ve EKOK\( (8, 9) = 8 \times 9 = 72 \)'dir.
  • Birbirinin Katı Olan Sayılar: Birbirinin tam katı olan iki pozitif tam sayıdan küçük olan sayı EBOB'a, büyük olan sayı ise EKOK'a eşittir.
    Örnek: \( 12 \) ve \( 36 \) sayılarında \( 36 \), \( 12 \)'nin katıdır. EBOB\( (12, 36) = 12 \) ve EKOK\( (12, 36) = 36 \)'dır.
  • İki Sayının Çarpımı Bağıntısı: Herhangi iki pozitif tam sayı \( a \) ve \( b \) için; sayıların çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir: \[ a \times b = \text{EBOB}(a, b) \times \text{EKOK}(a, b) \]
Kavram Problem Tipi Temel Yaklaşım
EBOB Bütünden Parçaya Büyük miktarları eşit küçük parçalara bölme
EKOK Parçadan Bütüne Tekrarlayan periyotları ve katları birleştirme