Doğrusal ilişkiler Ders Notu

Doğrusal İlişkiler

8. Sınıf Matematik müfredatında doğrusal ilişkiler, iki değişken arasındaki sabit bir oranda değişim gösteren durumları ifade eder. Bu tür ilişkilerde, bir değişkenin değeri değiştiğinde, diğer değişkenin değeri de belirli bir kurala göre değişir. Doğrusal ilişkiler, grafik üzerinde düz bir çizgi ile gösterilir.

Doğrusal İlişkinin Tanımı ve Gösterimi

İki nicelik (değişken) arasındaki ilişki, birindeki değişimin diğerindeki değişime sabit bir oranda bağlı olması durumunda doğrusal bir ilişki söz konusudur. Bu ilişkiyi üç farklı şekilde gösterebiliriz:

• Denklem ile Gösterim: Genellikle \( y = ax + b \) formundaki denklemlerle ifade edilir. Burada \( x \) ve \( y \) değişkenlerdir, \( a \) eğimi (değişim oranını) ve \( b \) ise sabit terimi (orijinden farklı bir başlangıç noktasını) temsil eder.
• Tablo ile Gösterim: Değişkenlerin aldığı değerler bir tablo halinde sunulur. Tablodaki değerler arasındaki ilişki incelenerek doğrusal olup olmadığı anlaşılır.
• Grafik ile Gösterim: Koordinat düzleminde \( x \) ve \( y \) değerleri işaretlenerek çizilen düz bir çizgi ile gösterilir.

Denklem ile Doğrusal İlişkiler

Bir doğrusal ilişkinin denklemi \( y = ax + b \) şeklindedir. Bu denklemde:

• \( a \): Eğimdir. \( x \) değişkeni 1 birim arttığında \( y \) değişkeninin ne kadar değiştiğini gösterir.
• \( b \): Sabit terimdir. \( x = 0 \) olduğunda \( y \) değerini gösterir. Bu, grafiğin y eksenini kestiği noktadır.

Örnek 1:

Bir taksinin açılış ücreti 5 TL'dir ve kilometre başına 3 TL ek ücret alınmaktadır. Bu durumu ifade eden doğrusal ilişki denklemini bulalım.

Burada, gidilen yol (kilometre) \( x \) ve ödenecek toplam ücret \( y \) olsun.

• Açılış ücreti sabit bir değerdir, bu \( b \) değerine karşılık gelir: \( b = 5 \).
• Kilometre başına alınan ücret, \( x \) değişkeninin katsayısıdır, yani eğimdir: \( a = 3 \).

Bu durumda denklemimiz şu şekilde olur:

\[ y = 3x + 5 \]

Eğer 10 km yol gidilirse ödenecek ücret:

\( y = 3 \times 10 + 5 = 30 + 5 = 35 \) TL olur.

Tablo ile Doğrusal İlişkiler

Doğrusal bir ilişkide, \( x \) değerindeki sabit bir artışa karşılık \( y \) değerinde de sabit bir artış veya azalış gözlemlenir. Bu sabit değişim oranı, ilişkinin doğrusal olduğunu gösterir.

Örnek 2:

Aşağıdaki tablo bir doğrusal ilişkiyi göstermektedir. Denklemini bulalım.

\( x \)	\( y \)
1	7
2	10
3	13
4	16

Tabloya baktığımızda, \( x \) değeri her 1 birim arttığında, \( y \) değeri de 3 birim artmaktadır. Bu, ilişkinin eğiminin \( a = 3 \) olduğunu gösterir.

Şimdi sabit terimi \( b \) bulmak için tablodaki herhangi bir \( (x, y) \) ikilisini denklemde yerine koyabiliriz. Örneğin \( (1, 7) \) noktasını kullanalım:

\( y = ax + b \)

\( 7 = 3 \times 1 + b \)

\( 7 = 3 + b \)

\( b = 7 - 3 = 4 \)

O halde doğrusal ilişkinin denklemi \( y = 3x + 4 \) olur.

Grafik ile Doğrusal İlişkiler

Doğrusal bir ilişkinin grafiği, koordinat düzleminde çizilen düz bir çizgidir. Bu çizginin eğimi, ilişkinin değişim oranını verir. Çizginin y eksenini kestiği nokta ise sabit terimi gösterir.

Örnek 3:

Aşağıdaki grafiği verilen doğrusal ilişkinin denklemini yazalım.

Grafikte, çizginin y eksenini kestiği nokta 2'dir. Bu, sabit terim \( b = 2 \) anlamına gelir.

Çizginin eğimini bulmak için grafikteki iki farklı noktayı alalım. Örneğin, \( (0, 2) \) ve \( (1, 5) \) noktalarını alalım.

Eğim \( a = \frac{\text{değişim } y}{\text{değişim } x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

\( a = \frac{5 - 2}{1 - 0} = \frac{3}{1} = 3 \)

Eğim \( a = 3 \) ve sabit terim \( b = 2 \) olduğuna göre, denklemi:

\[ y = 3x + 2 \]

olarak bulunur.

Günlük Yaşamdan Doğrusal İlişki Örnekleri

• Su Deposu Doldurma: Bir su deposuna sabit bir hızla su akıtıldığında, depodaki su miktarı ile geçen zaman arasında doğrusal bir ilişki vardır.
• Maaş Hesaplama: Bir çalışanın maaşı, sabit bir taban ücrete ek olarak çalıştığı saat başına aldığı ücret ile doğrusal bir ilişki içindedir.
• Bisiklet Sürme: Sabit bir hızla bisiklet süren bir kişinin aldığı yol ile geçen zaman arasında doğrusal bir ilişki bulunur.