🎓 8. Sınıf (Lgs)
📚 8. Sınıf Matematik
💡 8. Sınıf Matematik: Dik Prizmalar Çözümlü Örnekler
8. Sınıf Matematik: Dik Prizmalar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Kenar uzunlukları 3 cm olan bir küpün hacmini ve yüzey alanını hesaplayınız. 🎲
Çözüm:
Bir küpün tüm ayrıtları birbirine eşittir. Küp, özel bir dikdörtgenler prizmasıdır.
-
Adım 1: Küpün Hacmini Bulma 📦
Küpün hacmi, bir ayrıtının küpü alınarak bulunur. Ayrıt uzunluğu \(a\) ise hacim \(V = a^3\) formülüyle hesaplanır. \[ V = a^3 \] \[ V = 3^3 \] \[ V = 3 \times 3 \times 3 \] \[ V = 27 \text{ cm}^3 \] 👉 Küpün hacmi 27 santimetreküptür. -
Adım 2: Küpün Yüzey Alanını Bulma 🖼️
Küpün 6 tane eş karesel yüzeyi vardır. Bir yüzeyinin alanı \(a^2\) olduğundan, toplam yüzey alanı \(6a^2\) formülüyle hesaplanır. \[ A = 6 \times a^2 \] \[ A = 6 \times 3^2 \] \[ A = 6 \times 9 \] \[ A = 54 \text{ cm}^2 \] 👉 Küpün yüzey alanı 54 santimetrekaredir.
Örnek 2:
Boyutları 5 cm, 8 cm ve 10 cm olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmini ve yanal alanını hesaplayınız. 🎁
Çözüm:
Dikdörtgenler prizmasının tabanı dikdörtgen, yan yüzeyleri de dikdörtgendir.
-
Adım 1: Prizmanın Hacmini Bulma 📦
Dikdörtgenler prizmasının hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımına eşittir. Boyutlar \(a, b, c\) ise hacim \(V = a \times b \times c\) formülüyle hesaplanır. \[ V = 5 \times 8 \times 10 \] \[ V = 400 \text{ cm}^3 \] 👉 Dikdörtgenler prizmasının hacmi 400 santimetreküptür. -
Adım 2: Prizmanın Yanal Alanını Bulma 🖼️
Yanal alan, taban çevresi ile yüksekliğin çarpımına eşittir. Taban ayrıtları 5 cm ve 8 cm, yükseklik 10 cm'dir. Önce taban çevresini bulalım: \[ \text{Taban Çevresi} = 2 \times (5 + 8) \] \[ \text{Taban Çevresi} = 2 \times 13 \] \[ \text{Taban Çevresi} = 26 \text{ cm} \] Şimdi yanal alanı hesaplayalım: \[ \text{Yanal Alan} = \text{Taban Çevresi} \times \text{Yükseklik} \] \[ \text{Yanal Alan} = 26 \times 10 \] \[ \text{Yanal Alan} = 260 \text{ cm}^2 \] 👉 Dikdörtgenler prizmasının yanal alanı 260 santimetrekaredir.
Örnek 3:
Taban ayrıtları 6 cm, 8 cm ve 10 cm olan dik üçgen şeklinde bir tabana sahip olan dik üçgen prizmanın yüksekliği 12 cm'dir. Bu prizmanın hacmini bulunuz. 🔺
Çözüm:
Dik üçgen prizmanın hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımına eşittir.
-
Adım 1: Taban Alanını Bulma 📐
Taban bir dik üçgendir ve ayrıtları 6 cm, 8 cm ve 10 cm'dir. Dik üçgende dik kenarlar 6 cm ve 8 cm'dir (hipotenüs en uzun kenar olan 10 cm'dir). Dik üçgenin alanı = \( \frac{(\text{dik kenar 1}) \times (\text{dik kenar 2})}{2} \) \[ \text{Taban Alanı} = \frac{6 \times 8}{2} \] \[ \text{Taban Alanı} = \frac{48}{2} \] \[ \text{Taban Alanı} = 24 \text{ cm}^2 \] 👉 Taban alanı 24 santimetrekaredir. -
Adım 2: Prizmanın Hacmini Bulma 📦
Prizmanın hacmi = Taban Alanı \( \times \) Yükseklik. Yükseklik 12 cm olarak verilmiştir. \[ V = \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik} \] \[ V = 24 \times 12 \] \[ V = 288 \text{ cm}^3 \] 👉 Dik üçgen prizmanın hacmi 288 santimetreküptür.
Örnek 4:
Bir kare prizmanın taban ayrıtının uzunluğu 4 cm ve yüksekliği 7 cm'dir. Bu prizmanın açınımındaki tüm yüzeylerin toplam alanını (yüzey alanını) bulunuz. 📏
Çözüm:
Kare prizmanın tabanları kare, yan yüzeyleri ise dikdörtgendir. Açınımındaki tüm yüzeylerin toplam alanı, prizmanın yüzey alanı demektir.
-
Adım 1: Taban Alanlarını Bulma ⏹️
Kare prizmanın iki tane kare tabanı vardır. Bir tabanın kenar uzunluğu 4 cm'dir. Bir tabanın alanı = \( 4 \times 4 = 16 \text{ cm}^2 \). İki tabanın toplam alanı = \( 2 \times 16 = 32 \text{ cm}^2 \). 👉 İki tabanın toplam alanı 32 santimetrekaredir. -
Adım 2: Yanal Alanı Bulma 🖼️
Kare prizmanın 4 tane eş dikdörtgen yan yüzü vardır. Her bir yan yüzün bir kenarı taban ayrıtı (4 cm), diğer kenarı ise prizmanın yüksekliğidir (7 cm). Bir yan yüzün alanı = \( 4 \times 7 = 28 \text{ cm}^2 \). Dört yan yüzün toplam alanı (yanal alan) = \( 4 \times 28 = 112 \text{ cm}^2 \). 👉 Yanal alan 112 santimetrekaredir. -
Adım 3: Toplam Yüzey Alanını Bulma ✨
Toplam yüzey alanı = İki tabanın toplam alanı + Yanal alan. \[ \text{Toplam Yüzey Alanı} = 32 + 112 \] \[ \text{Toplam Yüzey Alanı} = 144 \text{ cm}^2 \] 👉 Kare prizmanın yüzey alanı 144 santimetrekaredir.
Örnek 5:
Bir kutu üreticisi, boyutları 20 cm, 10 cm ve 5 cm olan dikdörtgenler prizması şeklinde hediye kutuları üretmektedir. Müşterilerden gelen talep üzerine, kutunun hacmini iki katına çıkarmak istemektedirler. Ancak, kutunun en uzun kenarı (20 cm olan) ve en kısa kenarı (5 cm olan) sabit kalacaktır. Buna göre, ortadaki kenar (10 cm olan) kaç cm olmalıdır? 🤔
Çözüm:
Bu bir hacim problemi olup, boyutlar arasındaki ilişkiyi anlamamızı gerektirir.
-
Adım 1: Mevcut Kutunun Hacmini Hesaplama 📦
Mevcut kutunun boyutları: \(a = 20\) cm, \(b = 10\) cm, \(c = 5\) cm. \[ V_{\text{eski}} = a \times b \times c \] \[ V_{\text{eski}} = 20 \times 10 \times 5 \] \[ V_{\text{eski}} = 1000 \text{ cm}^3 \] 👉 Mevcut kutunun hacmi 1000 santimetreküptür. -
Adım 2: Yeni Kutunun Hedef Hacmini Belirleme 🎯
Kutunun hacmi iki katına çıkarılmak istendiği için yeni hacim: \[ V_{\text{yeni}} = 2 \times V_{\text{eski}} \] \[ V_{\text{yeni}} = 2 \times 1000 \] \[ V_{\text{yeni}} = 2000 \text{ cm}^3 \] 👉 Yeni kutunun hacmi 2000 santimetreküp olmalıdır. -
Adım 3: Yeni Ortadaki Kenarı Bulma 📏
Yeni kutunun en uzun kenarı (20 cm) ve en kısa kenarı (5 cm) sabit kalacaktır. Ortadaki kenara \(x\) diyelim. \[ V_{\text{yeni}} = 20 \times x \times 5 \] \[ 2000 = 100 \times x \] Her iki tarafı 100'e bölelim: \[ x = \frac{2000}{100} \] \[ x = 20 \text{ cm} \] 👉 Ortadaki kenar 20 cm olmalıdır.
Örnek 6:
Bir inşaat firması, boyutları 4 metre, 3 metre ve 2 metre olan dikdörtgenler prizması şeklinde bir beton blok dökmüştür. Bu bloğun içinden, kenar uzunluğu 1 metre olan bir küp şeklinde boşluk (oyuk) açılmıştır. Kalan beton bloğun hacmi kaç metreküptür? 🏗️
Çözüm:
Bu problem, iki prizmanın hacimlerinin farkını bularak çözülür.
-
Adım 1: Büyük Beton Bloğun Hacmini Hesaplama 🏗️
Büyük bloğun boyutları: \(a = 4\) m, \(b = 3\) m, \(c = 2\) m. \[ V_{\text{büyük}} = a \times b \times c \] \[ V_{\text{büyük}} = 4 \times 3 \times 2 \] \[ V_{\text{büyük}} = 24 \text{ m}^3 \] 👉 Büyük beton bloğun hacmi 24 metreküptür. -
Adım 2: Açılan Küp Şeklindeki Boşluğun Hacmini Hesaplama 📦
Küçük küp şeklindeki boşluğun kenar uzunluğu 1 metredir. \[ V_{\text{küp}} = 1^3 \] \[ V_{\text{küp}} = 1 \times 1 \times 1 \] \[ V_{\text{küp}} = 1 \text{ m}^3 \] 👉 Açılan boşluğun hacmi 1 metreküptür. -
Adım 3: Kalan Beton Bloğun Hacmini Bulma ✨
Kalan betonun hacmi, büyük bloğun hacminden küp boşluğun hacminin çıkarılmasıyla bulunur. \[ V_{\text{kalan}} = V_{\text{büyük}} - V_{\text{küp}} \] \[ V_{\text{kalan}} = 24 - 1 \] \[ V_{\text{kalan}} = 23 \text{ m}^3 \] 👉 Kalan beton bloğun hacmi 23 metreküptür.
Örnek 7:
Ayşe Hanım, bahçesine su depolamak için dikdörtgenler prizması şeklinde bir su deposu yaptırmak istiyor. Deponun iç boyutları 200 cm uzunluk, 150 cm genişlik ve 100 cm yükseklik olacaktır. Bu depo tamamen dolduğunda kaç litre su alır? (Not: \(1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ litre}\)) 💧
Çözüm:
Deponun hacmini bulup, ardından litreye çevirmemiz gerekiyor.
-
Adım 1: Boyutları Metreye Çevirme 📏
Hesaplamaları kolaylaştırmak için santimetre cinsinden verilen boyutları metreye çevirelim. (\(1 \text{ m} = 100 \text{ cm}\)) Uzunluk: \(200 \text{ cm} = 2 \text{ m}\) Genişlik: \(150 \text{ cm} = 1.5 \text{ m}\) Yükseklik: \(100 \text{ cm} = 1 \text{ m}\) 👉 Yeni boyutlar 2 m, 1.5 m ve 1 m'dir. -
Adım 2: Deponun Hacmini Metreküp Cinsinden Hesaplama 📦
Depo dikdörtgenler prizması şeklinde olduğu için hacim formülü \(V = \text{uzunluk} \times \text{genişlik} \times \text{yükseklik}\) kullanılır. \[ V = 2 \times 1.5 \times 1 \] \[ V = 3 \text{ m}^3 \] 👉 Deponun hacmi 3 metreküptür. -
Adım 3: Hacmi Litreye Çevirme 💧
Verilen bilgiye göre \(1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ litre}\). \[ \text{Litre} = V \times 1000 \] \[ \text{Litre} = 3 \times 1000 \] \[ \text{Litre} = 3000 \text{ litre} \] 👉 Depo tamamen dolduğunda 3000 litre su alır.
Örnek 8:
Bir fırıncı, taban ayrıtları 40 cm ve 60 cm, yüksekliği ise 10 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kek pişiriyor. Bu keki tamamen streç film ile kaplamak için en az kaç santimetrekare streç filme ihtiyaç vardır? (Kekin alt yüzeyi de dahil olmak üzere her yerinin kaplandığı varsayılacaktır.) 🎂
Çözüm:
Keki tamamen kaplamak için gereken streç film miktarı, kekin toplam yüzey alanına eşittir.
-
Adım 1: Kekin Taban Alanını Hesaplama 🍰
Kekin tabanı dikdörtgen şeklindedir. Taban ayrıtları 40 cm ve 60 cm'dir. \[ \text{Taban Alanı} = 40 \times 60 \] \[ \text{Taban Alanı} = 2400 \text{ cm}^2 \] 👉 Bir tabanın alanı 2400 santimetrekaredir. -
Adım 2: Kekin Yanal Alanını Hesaplama 🖼️
Yanal alan, taban çevresi ile yüksekliğin çarpımına eşittir. Kekin yüksekliği 10 cm'dir. Taban çevresi = \( 2 \times (40 + 60) \) Taban çevresi = \( 2 \times 100 \) Taban çevresi = \( 200 \text{ cm} \) Yanal alan = Taban çevresi \( \times \) Yükseklik \[ \text{Yanal Alan} = 200 \times 10 \] \[ \text{Yanal Alan} = 2000 \text{ cm}^2 \] 👉 Kekin yanal alanı 2000 santimetrekaredir. -
Adım 3: Kekin Toplam Yüzey Alanını Bulma ✨
Toplam yüzey alanı = İki taban alanı + Yanal alan. (Kekin altı da kaplandığı için iki taban alanı alınır.) \[ \text{Toplam Yüzey Alanı} = (2 \times \text{Taban Alanı}) + \text{Yanal Alan} \] \[ \text{Toplam Yüzey Alanı} = (2 \times 2400) + 2000 \] \[ \text{Toplam Yüzey Alanı} = 4800 + 2000 \] \[ \text{Toplam Yüzey Alanı} = 6800 \text{ cm}^2 \] 👉 Keki kaplamak için en az 6800 santimetrekare streç filme ihtiyaç vardır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/8-sinif-matematik-dik-prizmalar/sorular