Denklem Ders Notu

Denklem Nedir? 🤔

Denklem, bilinmeyen bir değeri içeren ve eşitlik sembolüyle (=) birbirine bağlanan iki ifadeden oluşan matematiksel bir ifadedir. Amacımız, bu bilinmeyenin (genellikle x, y gibi harflerle gösterilir) değerini bulmaktır. Denklem çözmek, eşitliğin her iki tarafını da dengelemeyi gerektirir. Tıpkı bir terazi gibi, bir kefeye eklediğiniz veya çıkardığınız her şeyi diğer kefeye de uygulamanız gerekir.

Temel Denklem Türleri ve Çözüm Yöntemleri

1. Birinci Dereceden Denklemler

Bu denklemlerde bilinmeyenin üssü 1'dir. En sık karşılaştığımız denklem türüdür.

Örnek 1: Basit Toplama ve Çıkarma İşlemleri İçeren Denklemler

Denklem: \( x + 5 = 12 \)

Amacımız x'i yalnız bırakmaktır. Eşitliğin her iki tarafından 5 çıkararak bunu başarabiliriz:

\[ x + 5 - 5 = 12 - 5 \]

\[ x = 7 \]

Sağlamasını yapalım: \( 7 + 5 = 12 \). Eşitlik doğru.

Denklem: \( y - 3 = 8 \)

Her iki tarafa 3 ekleyelim:

\[ y - 3 + 3 = 8 + 3 \]

\[ y = 11 \]

Sağlaması: \( 11 - 3 = 8 \). Eşitlik doğru.

Örnek 2: Çarpma ve Bölme İşlemleri İçeren Denklemler

Denklem: \( 3x = 18 \)

x'i yalnız bırakmak için eşitliğin her iki tarafını 3'e böleriz:

\[ \frac{3x}{3} = \frac{18}{3} \]

\[ x = 6 \]

Sağlaması: \( 3 \times 6 = 18 \). Eşitlik doğru.

Denklem: \( \frac{a}{4} = 5 \)

a'yı yalnız bırakmak için eşitliğin her iki tarafını 4 ile çarparız:

\[ \frac{a}{4} \times 4 = 5 \times 4 \]

\[ a = 20 \]

Sağlaması: \( \frac{20}{4} = 5 \). Eşitlik doğru.

Örnek 3: Birden Fazla İşlem İçeren Denklemler

Denklem: \( 2x + 4 = 16 \)

Önce sabit terimi (4) eşitliğin diğer tarafına atarız (işaret değiştirerek):

\[ 2x = 16 - 4 \]

\[ 2x = 12 \]

Şimdi x'i yalnız bırakmak için her iki tarafı 2'ye böleriz:

\[ \frac{2x}{2} = \frac{12}{2} \]

\[ x = 6 \]

Sağlaması: \( 2 \times 6 + 4 = 12 + 4 = 16 \). Eşitlik doğru.

Denklem: \( \frac{b}{3} - 2 = 7 \)

Önce -2'yi eşitliğin diğer tarafına atarız:

\[ \frac{b}{3} = 7 + 2 \]

\[ \frac{b}{3} = 9 \]

Şimdi b'yi yalnız bırakmak için her iki tarafı 3 ile çarparız:

\[ \frac{b}{3} \times 3 = 9 \times 3 \]

\[ b = 27 \]

Sağlaması: \( \frac{27}{3} - 2 = 9 - 2 = 7 \). Eşitlik doğru.

2. Parantezli Denklemler

Parantezli denklemlerde öncelikle parantez içindeki veya parantez dışındaki sayıyı parantez içine dağıtarak işlemi basitleştiririz.

Örnek 4: Parantez Dağıtma

Denklem: \( 3(x + 2) = 21 \)

3'ü parantez içine dağıtalım:

\[ 3 \times x + 3 \times 2 = 21 \]

\[ 3x + 6 = 21 \]

Bu denklem artık Örnek 3'teki gibi çözülebilir:

\[ 3x = 21 - 6 \]

\[ 3x = 15 \]

\[ \frac{3x}{3} = \frac{15}{3} \]

\[ x = 5 \]

Sağlaması: \( 3(5 + 2) = 3(7) = 21 \). Eşitlik doğru.

3. Bilinmeyenlerin Her İki Tarafta Bulunduğu Denklemler

Bu tür denklemlerde bilinmeyenleri eşitliğin bir tarafına, sabit sayıları ise diğer tarafına toplarız.

Örnek 5: Bilinmeyenleri Bir Araya Getirme

Denklem: \( 5x - 3 = 2x + 9 \)

Küçük olan bilinmeyenli terimi (2x) diğer tarafa atalım (işaret değiştirerek):

\[ 5x - 2x - 3 = 9 \]

\[ 3x - 3 = 9 \]

Şimdi sabit terimi (-3) diğer tarafa atalım:

\[ 3x = 9 + 3 \]

\[ 3x = 12 \]

Son olarak x'i yalnız bırakalım:

\[ \frac{3x}{3} = \frac{12}{3} \]

\[ x = 4 \]

Sağlaması: \( 5 \times 4 - 3 = 20 - 3 = 17 \) ve \( 2 \times 4 + 9 = 8 + 9 = 17 \). Eşitlik doğru.

Günlük Hayattan Denklem Örnekleri

Ali'nin kumbarasında bir miktar parası vardı. Kumbarasına 15 TL daha koyunca toplam 40 TL oldu. Ali'nin kumbarasında başlangıçta kaç TL vardı?

Başlangıçtaki para miktarına \( x \) diyelim.

Denklem: \( x + 15 = 40 \)

Çözüm:

\[ x = 40 - 15 \]

\[ x = 25 \]

Ali'nin kumbarasında başlangıçta 25 TL vardı.

Bir çiftçi tarlasının 3'te 2'sini sürdü. Geriye 20 dönüm tarla kaldı. Çiftçinin tarlasının tamamı kaç dönümdür?

Tarlanın tamamına \( T \) diyelim.

Sürülen kısım: \( \frac{2}{3}T \)

Kalan kısım: \( 20 \) dönüm.

Denklem: \( \frac{2}{3}T = 20 \)

Çözüm:

\[ T = 20 \times \frac{3}{2} \]

\[ T = \frac{60}{2} \]

\[ T = 30 \]

Çiftçinin tarlasının tamamı 30 dönümdür.