🎓 8. Sınıf (Lgs)
📚 8. Sınıf Matematik
💡 8. Sınıf Matematik: Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Çözümlü Örnekler
8. Sınıf Matematik: Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki denklemlerden hangisi birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklemdir?
- \( 3x + 5 = 11 \)
- \( x^2 - 4y = 7 \)
- \( 2x - 3y = 8 \)
- \( 5a = 15 \)
👉 Bu soruda, birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemin tanımını hatırlayalım.
Çözüm:
Birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklem, içinde iki farklı bilinmeyen (genellikle \(x\) ve \(y\)) bulunan ve bu bilinmeyenlerin en yüksek kuvvetinin 1 olduğu denklemdir.
Şimdi seçenekleri inceleyelim:
Şimdi seçenekleri inceleyelim:
- 💡 1. Seçenek: \( 3x + 5 = 11 \)
Bu denklemde sadece bir bilinmeyen (\(x\)) vardır. Bu nedenle birinci dereceden tek bilinmeyenli bir denklemdir. - 💡 2. Seçenek: \( x^2 - 4y = 7 \)
Bu denklemde iki bilinmeyen (\(x\) ve \(y\)) vardır, ancak \(x\)'in kuvveti 2'dir. Bu nedenle bu denklem birinci dereceden değildir. - ✅ 3. Seçenek: \( 2x - 3y = 8 \)
Bu denklemde hem \(x\) hem de \(y\) olmak üzere iki farklı bilinmeyen vardır. Ayrıca, \(x\)'in kuvveti 1, \(y\)'nin kuvveti de 1'dir. Bu tanıma %100 uymaktadır. - 💡 4. Seçenek: \( 5a = 15 \)
Bu denklemde sadece bir bilinmeyen (\(a\)) vardır. Bu nedenle birinci dereceden tek bilinmeyenli bir denklemdir.
Sonuç olarak, doğru cevap 3. seçenektir.
Örnek 2:
\( 3x + y = 10 \) denklemini sağlayan aşağıdaki sıralı ikililerden (çözüm kümesi elemanlarından) hangileri doğrudur?
- \( (1, 7) \)
- \( (3, 1) \)
- \( (2, 4) \)
👉 Bir sıralı ikilinin denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek için, ikilinin ilk elemanını \(x\) yerine, ikinci elemanını \(y\) yerine koyarız.
Çözüm:
Bir sıralı ikili \( (x, y) \), verilen denklemi doğru yapıyorsa o denklemin bir çözümüdür.
Denklemimiz: \( 3x + y = 10 \)
Denklemimiz: \( 3x + y = 10 \)
- 📌 1. Seçenek: \( (1, 7) \) için
\(x=1\) ve \(y=7\) değerlerini denklemde yerine yazalım:
\( 3 \cdot (1) + 7 = 3 + 7 = 10 \)
Sonuç 10 olduğuna göre, bu sıralı ikili denklemi sağlar. ✅ - 📌 2. Seçenek: \( (3, 1) \) için
\(x=3\) ve \(y=1\) değerlerini denklemde yerine yazalım:
\( 3 \cdot (3) + 1 = 9 + 1 = 10 \)
Sonuç 10 olduğuna göre, bu sıralı ikili denklemi sağlar. ✅ - 📌 3. Seçenek: \( (2, 4) \) için
\(x=2\) ve \(y=4\) değerlerini denklemde yerine yazalım:
\( 3 \cdot (2) + 4 = 6 + 4 = 10 \)
Sonuç 10 olduğuna göre, bu sıralı ikili denklemi sağlar. ✅
Görüldüğü gibi, verilen tüm sıralı ikililer denklemi sağlamaktadır.
Örnek 3:
\( x - 2y = 6 \) denklemini sağlayan ve \(x\) ile \(y\) değerleri tam sayı olan 3 farklı sıralı ikili bulunuz.
👉 İki bilinmeyenli denklemlerin sonsuz sayıda çözümü olabilir. Bizden sadece 3 tanesini bulmamız isteniyor.
Çözüm:
Denklemimiz: \( x - 2y = 6 \)
Bu tür sorularda genellikle bilinmeyenlerden birine rastgele tam sayı değerler vererek diğer bilinmeyenin değerini buluruz.
Bu tür sorularda genellikle bilinmeyenlerden birine rastgele tam sayı değerler vererek diğer bilinmeyenin değerini buluruz.
- 💡 1. Sıralı İkiliyi Bulalım:
Eğer \(y=0\) olursa:
\( x - 2 \cdot (0) = 6 \)
\( x - 0 = 6 \)
\( x = 6 \)
Böylece ilk sıralı ikilimiz \( (6, 0) \) olur. - 💡 2. Sıralı İkiliyi Bulalım:
Eğer \(y=1\) olursa:
\( x - 2 \cdot (1) = 6 \)
\( x - 2 = 6 \)
\( x = 6 + 2 \)
\( x = 8 \)
Böylece ikinci sıralı ikilimiz \( (8, 1) \) olur. - 💡 3. Sıralı İkiliyi Bulalım:
Eğer \(x=0\) olursa:
\( 0 - 2y = 6 \)
\( -2y = 6 \)
\( y = \frac{6}{-2} \)
\( y = -3 \)
Böylece üçüncü sıralı ikilimiz \( (0, -3) \) olur.
Bu denklemi sağlayan üç farklı sıralı ikili örneği: \( (6, 0) \), \( (8, 1) \) ve \( (0, -3) \).
Unutmayın, sonsuz farklı çözüm bulunabilir!
Örnek 4:
Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
\[ \begin{array}{l} x + y = 7 \\ x - y = 3 \end{array} \]
\[ \begin{array}{l} x + y = 7 \\ x - y = 3 \end{array} \]
👉 Bu tür denklem sistemlerini çözmek için yok etme veya yerine koyma yöntemlerini kullanabiliriz.
Çözüm:
Denklem sistemini çözmek için yok etme yöntemini kullanalım.
Verilen denklemler:
Verilen denklemler:
1. Denklem: \( x + y = 7 \)
2. Denklem: \( x - y = 3 \)
- 📌 Adım 1: Denklemleri Alt Alta Toplama
Denklemleri alt alta topladığımızda \(+y\) ve \(-y\) birbirini yok edecektir (bu yüzden "yok etme" yöntemi denir).
\[ \begin{array}{l} \quad x + y = 7 \\ + \quad x - y = 3 \\ 2x + 0y = 10 \end{array} \] Buradan \( 2x = 10 \) elde ederiz. - 📌 Adım 2: \(x\) Değerini Bulma
\( 2x = 10 \) denklemini çözerek \(x\) değerini bulalım:
\( x = \frac{10}{2} \)
\( x = 5 \) - 📌 Adım 3: \(y\) Değerini Bulma
Bulduğumuz \(x=5\) değerini ilk denklemde (\( x + y = 7 \)) yerine yazalım:
\( 5 + y = 7 \)
\( y = 7 - 5 \)
\( y = 2 \) - ✅ Adım 4: Çözüm Kümesini Belirtme
Denklem sisteminin çözüm kümesi, sıralı ikili olarak \( (x, y) = (5, 2) \) şeklindedir.
Sağlamasını yapalım:
1. Denklem: \( 5 + 2 = 7 \) (Doğru)
2. Denklem: \( 5 - 2 = 3 \) (Doğru)
Çözüm kümesi \( \{ (5, 2) \} \) dir.
Örnek 5:
\( 2x + 3y = 20 \) ve \( 5x - 2y = 11 \) denklem sistemini sağlayan \(x\) ve \(y\) değerlerini bulunuz.
👉 Bu soruda katsayılar doğrudan birbirini götürmüyor, bu yüzden denklemlerden birini veya ikisini de uygun sayılarla çarpmamız gerekecek.
Çözüm:
Bu denklem sistemini çözmek için yine yok etme yöntemini kullanalım.
Verilen denklemler:
Verilen denklemler:
1. Denklem: \( 2x + 3y = 20 \)
2. Denklem: \( 5x - 2y = 11 \)
- 📌 Adım 1: Bilinmeyenlerden Birini Yok Etmek İçin Denklemleri Düzenleme
\(y\) bilinmeyenini yok etmek için 1. denklemi 2 ile, 2. denklemi 3 ile çarpalım. Böylece \(y\) katsayıları \(+6y\) ve \(-6y\) olacaktır.
1. Denklem \( \times 2 \): \( 2 \cdot (2x + 3y) = 2 \cdot 20 \Rightarrow 4x + 6y = 40 \)
2. Denklem \( \times 3 \): \( 3 \cdot (5x - 2y) = 3 \cdot 11 \Rightarrow 15x - 6y = 33 \) - 📌 Adım 2: Denklemleri Alt Alta Toplama
Şimdi bu yeni denklemleri alt alta toplayalım:
\[ \begin{array}{l} \quad 4x + 6y = 40 \\ + \quad 15x - 6y = 33 \\ 19x + 0y = 73 \end{array} \] Buradan \( 19x = 73 \) elde ederiz. - 📌 Adım 3: \(x\) Değerini Bulma
\( 19x = 73 \) denklemini çözerek \(x\) değerini bulalım:
\( x = \frac{73}{19} \)
Bu durumda \(x\) tam sayı çıkmadı, bu da mümkündür. - 📌 Adım 4: \(y\) Değerini Bulma
Bulduğumuz \(x = \frac{73}{19}\) değerini ilk denklemde (\( 2x + 3y = 20 \)) yerine yazalım:
\( 2 \cdot \left( \frac{73}{19} \right) + 3y = 20 \)
\( \frac{146}{19} + 3y = 20 \)
\( 3y = 20 - \frac{146}{19} \)
\( 3y = \frac{20 \cdot 19}{19} - \frac{146}{19} \)
\( 3y = \frac{380 - 146}{19} \)
\( 3y = \frac{234}{19} \)
\( y = \frac{234}{19 \cdot 3} \)
\( y = \frac{78}{19} \) - ✅ Adım 5: Çözüm Kümesini Belirtme
Denklem sisteminin çözüm kümesi \( \left( \frac{73}{19}, \frac{78}{19} \right) \) sıralı ikilisidir.
Örnek 6:
Bir otobüste \(x\) tane erkek ve \(y\) tane kadın yolcu bulunmaktadır. Erkek yolcuların sayısı, kadın yolcuların sayısının 2 katından 5 eksiktir. Otobüsteki toplam yolcu sayısı 55 olduğuna göre, otobüste kaç erkek yolcu vardır?
👉 Bu problemde iki bilinmeyenli iki denklem kurmamız gerekecek.
Çözüm:
Problemi çözmek için verilen bilgileri matematiksel denklemlere dönüştürelim:
- 📌 Adım 1: Denklemleri Kurma
Bilgi 1: Erkek yolcuların sayısı (\(x\)), kadın yolcuların sayısı (\(y\)) nın 2 katından 5 eksiktir.
Bu ifadeyi denklem olarak yazarsak: \( x = 2y - 5 \) (1. Denklem)
Bilgi 2: Otobüsteki toplam yolcu sayısı 55'tir.
Bu ifadeyi denklem olarak yazarsak: \( x + y = 55 \) (2. Denklem) - 📌 Adım 2: Denklem Sistemini Çözme
Şimdi bu iki denklemi kullanarak \(x\) ve \(y\) değerlerini bulalım. Yerine koyma yöntemini kullanalım, çünkü 1. denklemde \(x\) zaten yalnız bırakılmıştır.
1. denklemdeki \(x\) değerini ( \(2y - 5\) ) 2. denklemdeki \(x\) yerine yazalım:
\( (2y - 5) + y = 55 \)
\( 3y - 5 = 55 \)
\( 3y = 55 + 5 \)
\( 3y = 60 \)
\( y = \frac{60}{3} \)
\( y = 20 \) (Kadın yolcu sayısı) - 📌 Adım 3: Erkek Yolcu Sayısını Bulma
\(y=20\) değerini 1. denklemde (\( x = 2y - 5 \)) yerine yazarak \(x\) değerini bulalım:
\( x = 2 \cdot (20) - 5 \)
\( x = 40 - 5 \)
\( x = 35 \) (Erkek yolcu sayısı) - ✅ Adım 4: Kontrol Etme
Toplam yolcu sayısı \( 35 + 20 = 55 \), bu da doğrudur.
Erkek yolcu sayısı kadın yolcu sayısının 2 katından 5 eksik mi? \( 2 \cdot 20 - 5 = 40 - 5 = 35 \), bu da doğrudur.
Otobüste 35 erkek yolcu vardır.
Örnek 7:
Bir manavda elmaların kilogram fiyatı \(x\) TL, muzların kilogram fiyatı \(y\) TL'dir.
Ayşe Hanım 3 kg elma ve 2 kg muz alarak toplam 41 TL ödemiştir.
Fatma Hanım ise 2 kg elma ve 4 kg muz alarak toplam 58 TL ödemiştir.
Buna göre, 1 kg elma ve 1 kg muzun toplam fiyatı kaç TL'dir?
Ayşe Hanım 3 kg elma ve 2 kg muz alarak toplam 41 TL ödemiştir.
Fatma Hanım ise 2 kg elma ve 4 kg muz alarak toplam 58 TL ödemiştir.
Buna göre, 1 kg elma ve 1 kg muzun toplam fiyatı kaç TL'dir?
👉 Bu problemde iki farklı alışveriş durumu için iki bilinmeyenli iki denklem kurup çözmemiz gerekiyor.
Çözüm:
Verilen bilgilere göre iki farklı denklem oluşturalım:
- 📌 Adım 1: Denklemleri Kurma
Ayşe Hanım'ın alışverişi: 3 kg elma (\(3x\)) + 2 kg muz (\(2y\)) = 41 TL
Denklem: \( 3x + 2y = 41 \) (1. Denklem)
Fatma Hanım'ın alışverişi: 2 kg elma (\(2x\)) + 4 kg muz (\(4y\)) = 58 TL
Denklem: \( 2x + 4y = 58 \) (2. Denklem) - 📌 Adım 2: Denklem Sistemini Çözme
Bu sistemi yok etme yöntemiyle çözelim. \(y\) bilinmeyenini yok etmek için 1. denklemi \(-2\) ile çarpalım.
1. Denklem \( \times (-2) \): \( -2 \cdot (3x + 2y) = -2 \cdot 41 \Rightarrow -6x - 4y = -82 \)
2. Denklem: \( 2x + 4y = 58 \)
Şimdi bu yeni denklemleri alt alta toplayalım:
\[ \begin{array}{l} \quad -6x - 4y = -82 \\ + \quad 2x + 4y = 58 \\ -4x + 0y = -24 \end{array} \] Buradan \( -4x = -24 \) elde ederiz. - 📌 Adım 3: \(x\) Değerini Bulma (Elma Fiyatı)
\( -4x = -24 \)
\( x = \frac{-24}{-4} \)
\( x = 6 \) TL (1 kg elmanın fiyatı) - 📌 Adım 4: \(y\) Değerini Bulma (Muz Fiyatı)
Bulduğumuz \(x=6\) değerini 1. denklemde (\( 3x + 2y = 41 \)) yerine yazalım:
\( 3 \cdot (6) + 2y = 41 \)
\( 18 + 2y = 41 \)
\( 2y = 41 - 18 \)
\( 2y = 23 \)
\( y = \frac{23}{2} \)
\( y = 11.5 \) TL (1 kg muzun fiyatı) - ✅ Adım 5: 1 kg elma ve 1 kg muzun toplam fiyatını bulma
Toplam fiyat = \( x + y = 6 + 11.5 = 17.5 \) TL
1 kg elma ve 1 kg muzun toplam fiyatı 17.5 TL'dir.
Örnek 8:
Bir sinemada öğrenci bileti \(x\) TL, tam bilet \(y\) TL'dir.
Salı günü bu sinemada 120 öğrenci ve 80 tam bilet satılarak toplam 3000 TL gelir elde edilmiştir.
Aynı gün, eğer 100 öğrenci ve 100 tam bilet satılsaydı toplam 3200 TL gelir elde edilecekti.
Buna göre, bir öğrenci bileti ve bir tam biletin fiyatını bulunuz.
Salı günü bu sinemada 120 öğrenci ve 80 tam bilet satılarak toplam 3000 TL gelir elde edilmiştir.
Aynı gün, eğer 100 öğrenci ve 100 tam bilet satılsaydı toplam 3200 TL gelir elde edilecekti.
Buna göre, bir öğrenci bileti ve bir tam biletin fiyatını bulunuz.
👉 Bu bir günlük hayat senaryosu olup, iki farklı durum için iki bilinmeyenli denklem sistemi kurmayı ve çözmeyi gerektirir.
Çözüm:
Verilen bilgilere göre iki farklı denklem sistemi oluşturalım:
- 📌 Adım 1: Denklemleri Kurma
1. Durum (Salı günü gerçekleşen satış): 120 öğrenci bileti (\(120x\)) + 80 tam bilet (\(80y\)) = 3000 TL
Denklem: \( 120x + 80y = 3000 \)
Bu denklemi sadeleştirebiliriz. Her tarafı 40'a bölelim:
\( 3x + 2y = 75 \) (1. Denklem)
2. Durum (Varsayımsal satış): 100 öğrenci bileti (\(100x\)) + 100 tam bilet (\(100y\)) = 3200 TL
Denklem: \( 100x + 100y = 3200 \)
Bu denklemi de sadeleştirelim. Her tarafı 100'e bölelim:
\( x + y = 32 \) (2. Denklem) - 📌 Adım 2: Denklem Sistemini Çözme
Denklem sistemi:
\( 3x + 2y = 75 \)
\( x + y = 32 \)
Yerine koyma yöntemini kullanalım. 2. denklemden \( x = 32 - y \) yazabiliriz.
Bu ifadeyi 1. denklemde yerine yazalım:
\( 3 \cdot (32 - y) + 2y = 75 \)
\( 96 - 3y + 2y = 75 \)
\( 96 - y = 75 \)
\( -y = 75 - 96 \)
\( -y = -21 \)
\( y = 21 \) TL (Tam bilet fiyatı) - 📌 Adım 3: \(x\) Değerini Bulma (Öğrenci Bileti Fiyatı)
Bulduğumuz \(y=21\) değerini 2. denklemde (\( x + y = 32 \)) yerine yazalım:
\( x + 21 = 32 \)
\( x = 32 - 21 \)
\( x = 11 \) TL (Öğrenci bileti fiyatı) - ✅ Adım 4: Kontrol Etme
1. Denklem için: \( 3 \cdot 11 + 2 \cdot 21 = 33 + 42 = 75 \) (Doğru)
2. Denklem için: \( 11 + 21 = 32 \) (Doğru)
Bir öğrenci bileti 11 TL, bir tam bilet ise 21 TL'dir.
Örnek 9:
Bir kumbarada sadece 50 kuruşluk ve 1 TL'lik madeni paralar bulunmaktadır.
Kumbaradaki toplam madeni para sayısı 25 adettir.
Paraların toplam değeri 17 TL olduğuna göre, kumbarada kaç tane 50 kuruşluk ve kaç tane 1 TL'lik madeni para vardır?
Kumbaradaki toplam madeni para sayısı 25 adettir.
Paraların toplam değeri 17 TL olduğuna göre, kumbarada kaç tane 50 kuruşluk ve kaç tane 1 TL'lik madeni para vardır?
👉 Kuruş ve TL birimlerine dikkat ederek denklemleri kurmalıyız. 1 TL = 100 kuruş olduğunu unutmayın.
Çözüm:
Kumbaradaki 50 kuruşluk paraların sayısına \(x\), 1 TL'lik paraların sayısına \(y\) diyelim.
- 📌 Adım 1: Denklemleri Kurma
Toplam madeni para sayısı:
\( x + y = 25 \) (1. Denklem)
Paraların toplam değeri:
50 kuruş = 0.5 TL'dir. O zaman değer denklemini TL cinsinden yazalım:
\( 0.5x + 1y = 17 \) (2. Denklem)
İkinci denklemi daha kolay işlem yapmak için 10 ile çarpalım (ondalıktan kurtulmak için):
\( 5x + 10y = 170 \) (Sadeleştirilmiş 2. Denklem) - 📌 Adım 2: Denklem Sistemini Çözme
Denklem sistemi:
\( x + y = 25 \)
\( 5x + 10y = 170 \)
1. denklemi \(-5\) ile çarpıp yok etme yöntemini kullanalım:
\( -5 \cdot (x + y) = -5 \cdot 25 \Rightarrow -5x - 5y = -125 \)
Şimdi bu denklemi sadeleştirilmiş 2. denklemle toplayalım:
\[ \begin{array}{l} \quad -5x - 5y = -125 \\ + \quad 5x + 10y = 170 \\ 0x + 5y = 45 \end{array} \] Buradan \( 5y = 45 \) elde ederiz. - 📌 Adım 3: \(y\) Değerini Bulma (1 TL'lik paralar)
\( 5y = 45 \)
\( y = \frac{45}{5} \)
\( y = 9 \) (1 TL'lik madeni para sayısı) - 📌 Adım 4: \(x\) Değerini Bulma (50 kuruşluk paralar)
Bulduğumuz \(y=9\) değerini 1. denklemde (\( x + y = 25 \)) yerine yazalım:
\( x + 9 = 25 \)
\( x = 25 - 9 \)
\( x = 16 \) (50 kuruşluk madeni para sayısı) - ✅ Adım 5: Kontrol Etme
Toplam para sayısı: \( 16 + 9 = 25 \) (Doğru)
Toplam değer: \( 16 \cdot 0.5 \text{ TL} + 9 \cdot 1 \text{ TL} = 8 \text{ TL} + 9 \text{ TL} = 17 \text{ TL} \) (Doğru)
Kumbarada 16 tane 50 kuruşluk ve 9 tane 1 TL'lik madeni para bulunmaktadır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/8-sinif-matematik-birinci-dereceden-iki-bilinmeyenli-denklem/sorular