Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler Ders Notu

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler, matematikte temel bir konudur ve LGS sınavında da önemli bir yere sahiptir. Bu tür denklemlerde, bilinmeyenin üssü her zaman 1'dir ve denklemde sadece bir tane bilinmeyen bulunur. Amacımız, bu bilinmeyeni yalnız bırakarak değerini bulmaktır.

Denklem Çözme Adımları

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözerken izlenecek temel adımlar şunlardır:

Bilinmeyenleri Bir Tarafa, Sabitleri Diğer Tarafa Toplama: Eşitliğin her iki tarafındaki bilinmeyenli terimleri (x'li terimler) bir tarafa, sabit terimleri (sayılar) ise diğer tarafa toplarız. Bir terim eşitliğin diğer tarafına geçerken işareti değişir.
Terimleri Birleştirme: Eşitliğin aynı tarafında bulunan benzer terimleri (bilinmeyenli terimleri kendi arasında, sabit terimleri kendi arasında) toplar veya çıkarırız.
Bilinmeyeni Yalnız Bırakma: Bilinmeyenin katsayısını (bilinmeyenin önündeki sayı) yok etmek için eşitliğin her iki tarafını bu katsayıya böleriz.

Örnek 1: Basit Denklem

Aşağıdaki denklemi çözelim:

\[ 3x + 5 = 14 \]

Adım 1: Sabit terimi eşitliğin sağ tarafına atalım. 5'i sağ tarafa geçirdiğimizde işareti değişir:

\[ 3x = 14 - 5 \] \[ 3x = 9 \]

Adım 2: Bilinmeyenin katsayısı olan 3'e her iki tarafı bölelim:

\[ \frac{3x}{3} = \frac{9}{3} \] \[ x = 3 \]

Bu denklemin çözüm kümesi {3}'tür.

Örnek 2: Dağılma Özelliği İçeren Denklem

Şimdi daha karmaşık bir örnek inceleyelim:

\[ 2(x + 4) = 18 \]

Adım 1: Parantez içindeki ifadeyi dağılma özelliği ile çarpalım:

\[ 2x + 8 = 18 \]

Adım 2: Sabit terimi eşitliğin sağ tarafına atalım:

\[ 2x = 18 - 8 \] \[ 2x = 10 \]

Adım 3: Bilinmeyenin katsayısı olan 2'ye her iki tarafı bölelim:

\[ \frac{2x}{2} = \frac{10}{2} \] \[ x = 5 \]

Bu denklemin çözüm kümesi {5}'tir.

Örnek 3: Bilinmeyenlerin Her İki Tarafta Olduğu Denklem

Bu tür denklemlerde öncelikle bilinmeyenleri bir tarafa toplamalıyız:

\[ 5x - 7 = 2x + 8 \]

Adım 1: Bilinmeyen terimleri (5x ve 2x) eşitliğin sol tarafına, sabit terimleri (8 ve -7) ise sağ tarafına toplayalım:

2x'i sol tarafa aldığımızda işareti değişir, -7'yi sağ tarafa aldığımızda işareti değişir.

\[ 5x - 2x = 8 + 7 \]

Adım 2: Benzer terimleri birleştirelim:

\[ 3x = 15 \]

Adım 3: Bilinmeyenin katsayısı olan 3'e her iki tarafı bölelim:

\[ \frac{3x}{3} = \frac{15}{3} \] \[ x = 5 \]

Bu denklemin çözüm kümesi {5}'tir.

Denklem Çözümünde Dikkat Edilmesi Gerekenler

Eşitliğin her iki tarafına aynı sayıyı ekleyip çıkarabiliriz.
Eşitliğin her iki tarafını aynı sıfırdan farklı sayıya çarpıp bölebiliriz.
İşlem önceliğine dikkat etmek önemlidir.
Bulduğumuz x değerini denklemde yerine koyarak sağlamasını yapabiliriz.

Sağlama İşlemi

Bir denklemi çözdükten sonra bulduğumuz değeri denklemde yerine koyarak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol etmektir. Bu, çözümümüzün doğruluğunu teyit eder.

Örnek 1'deki denklemimiz \( 3x + 5 = 14 \) idi ve çözümümüz \( x = 3 \) bulmuştuk. Sağlamasını yapalım:

\[ 3(3) + 5 = 14 \] \[ 9 + 5 = 14 \] \[ 14 = 14 \]

Eşitlik sağlandığı için çözümümüz doğrudur.

Kesirleri İçeren Denklemler

Kesirli denklemleri çözerken, tüm terimleri paydaların en küçük ortak katı (EKOK) ile çarparak kesirlerden kurtulabiliriz.

Örnek 4: Kesirli Denklem

\[ \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5 \]

Paydalar 2 ve 3'tür. EKOK(2, 3) = 6'dır. Denklemin her iki tarafını 6 ile çarpalım:

\[ 6 \times (\frac{x}{2} + \frac{x}{3}) = 6 \times 5 \] \[ 6 \times \frac{x}{2} + 6 \times \frac{x}{3} = 30 \] \[ 3x + 2x = 30 \] \[ 5x = 30 \] \[ \frac{5x}{5} = \frac{30}{5} \] \[ x = 6 \]

Bu denklemin çözüm kümesi {6}'dır.