📝 7. Sınıf Matematik: Yöndeş, ters, iç ters ve dış ters açılar Ders Notu
7. Sınıf Matematik: Açılar ve İlişkileri 📐
Paralel iki doğrunun bir kesenle kesişmesi durumunda oluşan açılar, geometrinin temel taşlarından biridir. Bu açılar arasında belirli ilişkiler bulunur ve bu ilişkileri anlamak, problemlerin çözümünde bize büyük kolaylık sağlar. Bu dersimizde yöndeş açılar, ters açıları, iç ters açılar ve dış ters açıları detaylı bir şekilde inceleyeceğiz.
1. Yöndeş Açılar ⬆️➡️
Yöndeş açılar, iki paralel doğrunun bir kesenle kesişmesi sonucu oluşan ve hem yönleri hem de bulundukları konumlar itibarıyla aynı olan açılardır. Birbirine eşittirler.
- Birinci paralel doğru üzerindeki açının yönü ile ikinci paralel doğru üzerindeki açının yönü aynıdır.
- Her iki açı da kesenin aynı tarafında yer alır.
- Biri içte, diğeri dışta bulunur.
Örnek:
İki paralel doğru \( d_1 \) ve \( d_2 \) ile bu doğruları kesen bir \( k \) doğrusu çizelim. \( d_1 \) doğrusunun üzerindeki ve \( k \) doğrusunun solunda kalan bir açının yöndeşi, \( d_2 \) doğrusunun üzerindeki ve \( k \) doğrusunun solunda kalan açıdır. Bu iki açı birbirine eşittir.
2. Ters Açılar ↔️
Ters açılar, iki doğrunun kesişmesiyle oluşan ve köşeleri ortak olan, birbirine zıt yönlü açılardır. Ters açıların ölçüleri her zaman birbirine eşittir.
- İki doğru kesiştiğinde, kesişim noktasının zıt yönlerinde kalan açılar ters açılardır.
- Herhangi bir açının ters açısı, o açıyla aynı köşeye sahiptir ve kolları diğer açının kollarının tersidir.
Örnek:
Birbirini kesen iki doğru \( a \) ve \( b \) düşünelim. Bu doğruların kesişim noktasında oluşan dört açıdan, karşılıklı olanlar ters açılardır. Örneğin, bir açı \( \alpha \) ise, onun ters açısı da \( \alpha \) olacaktır.
3. İç Ters Açılar ↩️
İç ters açılar, iki paralel doğruyu kesen bir doğrunun oluşturduğu açılardan, paralel doğruların "içinde" kalan ve kesenin "zıt" taraflarında bulunan açılardır. İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
- Paralel doğruların arasında kalan açılardır.
- Kesen doğrusunun zıt yönlerinde yer alırlar.
Örnek:
Paralel \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularını kesen \( k \) doğrusunu ele alalım. \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularının arasında kalan ve \( k \) doğrusunun sol tarafında kalan bir açının iç ters açısı, \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularının arasında kalan ve \( k \) doğrusunun sağ tarafında kalan açıdır. Bu iki açı birbirine eşittir.
4. Dış Ters Açılar ↪️
Dış ters açılar, iki paralel doğruyu kesen bir doğrunun oluşturduğu açılardan, paralel doğruların "dışında" kalan ve kesenin "zıt" taraflarında bulunan açılardır. Dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
- Paralel doğruların dışında kalan açılardır.
- Kesen doğrusunun zıt yönlerinde yer alırlar.
Örnek:
Paralel \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularını kesen \( k \) doğrusunu düşünelim. \( d_1 \) doğrusunun üstünde ve \( k \) doğrusunun solunda kalan bir açının dış ters açısı, \( d_2 \) doğrusunun altında ve \( k \) doğrusunun sağında kalan açıdır. Bu iki açı birbirine eşittir.
Örnek Problem ve Çözümü 💡
Aşağıdaki şekilde, \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları paraleldir. Kesen \( k \) doğrusu bu doğruları kesmektedir. Verilen açılara göre \( x \) ile gösterilen açının kaç derece olduğunu bulalım.
Şekil Tanımı: İki paralel yatay doğru \( d_1 \) (üstte) ve \( d_2 \) (altta) çizilmiştir. Bu doğruları kesen eğik bir doğru \( k \) vardır. \( d_1 \) doğrusunun üzerinde, \( k \) doğrusunun solunda kalan bir açı \( 70^\circ \) olarak verilmiştir. Bu açının altında kalan ve \( d_1 \) ile \( d_2 \) arasında, \( k \) doğrusunun solunda kalan açı \( y \) olarak belirtilmiştir. \( d_2 \) doğrusunun altında, \( k \) doğrusunun sağında kalan açı ise \( x \) olarak belirtilmiştir.
Çözüm:
- \( 70^\circ \) ile \( y \) açısı yöndeş açılardır. Bu nedenle \( y = 70^\circ \) olur.
- \( y \) açısı ile \( x \) açısı iç ters açılardır. Paralel doğruların iç kısmında kalırlar ve kesenin zıt yönlerindedirler. Bu nedenle \( y = x \) olmalıdır.
- \( y = 70^\circ \) olduğundan, \( x = 70^\circ \) olur.
Alternatif Çözüm:
- \( 70^\circ \) açısının ters açısı da \( 70^\circ \) olur. Bu ters açı, \( d_1 \) doğrusunun altında ve \( k \) doğrusunun solunda kalan açıdır.
- \( d_1 \) doğrusunun altında ve \( k \) doğrusunun solunda kalan \( 70^\circ \)'lik açı ile \( x \) açısı, dış ters açılardır. Paralel doğruların dışında kalırlar ve kesenin zıt yönlerindedirler. Bu nedenle bu iki açı birbirine eşittir.
- Dolayısıyla \( x = 70^\circ \) olur.
Günlük Hayattan Örnekler 🏡
Bu açı türlerini günlük hayatımızda da görebiliriz. Örneğin, yan yana dizilmiş iki tren rayı paralel doğrular gibidir. Bu rayları kesen bir köprü veya yol, kesen doğruyu temsil eder. Köprü ayaklarının raylara göre oluşturduğu açılar, yöndeş, ters, iç ters veya dış ters açılara örnek olabilir.