🎓 7. Sınıf
📚 7. Sınıf Matematik
💡 7. Sınıf Matematik: Ters orantı doğru orantı Çözümlü Örnekler
7. Sınıf Matematik: Ters orantı doğru orantı Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birbirine doğru orantılı iki sayının toplamı 24'tür. Bu iki sayının farkı 8 olduğuna göre, bu sayılar kaçtır?
👉 İpucu: Sayılara x ve y diyelim. Doğru orantı kuralını ve verilen bilgileri kullanarak denklem kurun.
👉 İpucu: Sayılara x ve y diyelim. Doğru orantı kuralını ve verilen bilgileri kullanarak denklem kurun.
Çözüm:
- İki sayıya x ve y diyelim.
- Bu sayılar birbirine doğru orantılı ise, oranları sabittir. Bu sabite k dersek: \( \frac{x}{y} = k \) veya \( x = ky \) şeklinde yazabiliriz.
- Soruda verilen ilk bilgi: Sayıların toplamı 24'tür. Yani \( x + y = 24 \).
- Soruda verilen ikinci bilgi: Sayıların farkı 8'dir. Yani \( x - y = 8 \).
- Şimdi elimizde iki bilinmeyenli iki denklem var:
1) \( x + y = 24 \)
2) \( x - y = 8 \) - Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak:
- \( (x + y) + (x - y) = 24 + 8 \)
- \( 2x = 32 \)
- \( x = \frac{32}{2} \)
- \( x = 16 \)
- Bulduğumuz x değerini ilk denklemde yerine koyalım:
- \( 16 + y = 24 \)
- \( y = 24 - 16 \)
- \( y = 8 \)
- O halde sayılar 16 ve 8'dir.
Örnek 2:
3 işçi bir işi 12 günde bitirebiliyorsa, aynı işi 9 işçi kaç günde bitirir?
💡 Bu bir ters orantı problemidir. İşçi sayısı arttıkça işin bitme süresi azalır.
💡 Bu bir ters orantı problemidir. İşçi sayısı arttıkça işin bitme süresi azalır.
Çözüm:
- İşçi sayısı ile işin bitme süresi ters orantılıdır.
- Ters orantıda, ilgili niceliklerin çarpımı sabittir.
- İlk durumda: 3 işçi \( \times \) 12 gün = 36 (işçi-gün)
- İkinci durumda: 9 işçi \( \times \) ? gün = 36 (işçi-gün)
- Bilinmeyen gün sayısına x diyelim:
- \( 9 \times x = 36 \)
- \( x = \frac{36}{9} \)
- \( x = 4 \) gün
- Yani, 9 işçi aynı işi 4 günde bitirir.
Örnek 3:
Bir miktar parayı A, B ve C kişilerine sırasıyla 2, 3 ve 5 sayıları ile doğru orantılı olarak paylaştırırsak, en az parayı kim alır ve en çok parayı kim alır?
📌 Doğru orantılı paylaştırmada, orantı katsayısı büyük olan daha fazla pay alır.
📌 Doğru orantılı paylaştırmada, orantı katsayısı büyük olan daha fazla pay alır.
Çözüm:
- Paranın A, B ve C kişilerine paylaştırılma oranları sırasıyla 2, 3 ve 5'tir.
- Bu, A'nın aldığı paranın 2k, B'nin aldığı paranın 3k ve C'nin aldığı paranın 5k olacağı anlamına gelir. Burada k bir orantı sabitidir.
- En az parayı kim alır?
- Oran katsayısı en küçük olan kişi en az parayı alır. Bu durumda A kişisi (orantı katsayısı 2) en az parayı alır.
- En çok parayı kim alır?
- Oran katsayısı en büyük olan kişi en çok parayı alır. Bu durumda C kişisi (orantı katsayısı 5) en çok parayı alır.
- Örnek: Eğer toplam para 100 TL olsaydı:
- Toplam oran katsayısı: \( 2 + 3 + 5 = 10 \)
- 1 birim paranın değeri: \( \frac{100 \text{ TL}}{10} = 10 \text{ TL} \)
- A'nın payı: \( 2 \times 10 \text{ TL} = 20 \text{ TL} \)
- B'nin payı: \( 3 \times 10 \text{ TL} = 30 \text{ TL} \)
- C'nin payı: \( 5 \times 10 \text{ TL} = 50 \text{ TL} \)
Örnek 4:
5 musluk bir havuzu 10 saatte dolduruyorsa, aynı havuzu 2 musluk kaç saatte doldurur?
👉 Musluk sayısı ile havuzun dolma süresi ters orantılıdır.
👉 Musluk sayısı ile havuzun dolma süresi ters orantılıdır.
Çözüm:
- Musluk sayısı ve havuzun dolma süresi arasında ters orantı vardır.
- Ters orantıda, niceliklerin çarpımı sabittir.
- İlk durumda: 5 musluk \( \times \) 10 saat = 50 (musluk-saat)
- İkinci durumda: 2 musluk \( \times \) ? saat = 50 (musluk-saat)
- Bilinmeyen saat sayısına x diyelim:
- \( 2 \times x = 50 \)
- \( x = \frac{50}{2} \)
- \( x = 25 \) saat
- Yani, 2 musluk aynı havuzu 25 saatte doldurur.
Örnek 5:
Bir çiftlikte bulunan 15 tavuk, 20 gün yetecek kadar yemle beslenmektedir. Tavuk sayısı 25'e çıkarılırsa, bu yem kaç gün yeter?
🤔 Tavuk sayısı ile yemin yetme süresi arasında nasıl bir ilişki vardır?
🤔 Tavuk sayısı ile yemin yetme süresi arasında nasıl bir ilişki vardır?
Çözüm:
- Tavuk sayısı ile yemin yetme süresi ters orantılıdır. Çünkü tavuk sayısı artarsa, aynı miktardaki yem daha kısa sürede biter.
- Ters orantıda, ilgili niceliklerin çarpımı sabittir.
- İlk durumda: 15 tavuk \( \times \) 20 gün = 300 (tavuk-gün)
- İkinci durumda: 25 tavuk \( \times \) ? gün = 300 (tavuk-gün)
- Bilinmeyen gün sayısına x diyelim:
- \( 25 \times x = 300 \)
- \( x = \frac{300}{25} \)
- \( x = 12 \) gün
- Yani, 25 tavuk olursa yem 12 gün yeter.
Örnek 6:
Bir grup arkadaş, bir hediyeyi eşit olarak paylaşmaya karar veriyor. Eğer grupta 2 kişi daha olsaydı, kişi başı düşen tutar 15 TL azalacaktı. Hediyenin toplam fiyatı 600 TL olduğuna göre, başlangıçta grupta kaç kişi vardı?
💡 Bu problemde kişi sayısı ile kişi başı düşen tutar ters orantılıdır.
💡 Bu problemde kişi sayısı ile kişi başı düşen tutar ters orantılıdır.
Çözüm:
O halde, başlangıçta grupta 8 kişi vardı.
✅ Kontrol edelim: Başlangıçta 8 kişi varsa, kişi başı 600/8 = 75 TL düşer. 2 kişi artarsa 10 kişi olur, kişi başı 600/10 = 60 TL düşer. Aradaki fark 75 - 60 = 15 TL'dir. Bu, sorudaki bilgiyi doğrular.
- Hediyenin toplam fiyatı 600 TL'dir.
- Başlangıçtaki kişi sayısına x diyelim.
- Başlangıçta kişi başı düşen tutar: \( \frac{600}{x} \) TL olur.
- Eğer grupta 2 kişi daha olsaydı, kişi sayısı \( x + 2 \) olurdu.
- Bu durumda kişi başı düşen tutar: \( \frac{600}{x + 2} \) TL olur.
- Soruda verilen bilgiye göre, kişi başı düşen tutar 15 TL azalıyor:
- \( \frac{600}{x} - \frac{600}{x + 2} = 15 \)
- Bu denklemi çözerek x'i bulacağız.
- Denklemin her iki tarafını 15'e bölelim:
- \( \frac{40}{x} - \frac{40}{x + 2} = 1 \)
- Paydaları eşitleyelim:
- \( \frac{40(x + 2)}{x(x + 2)} - \frac{40x}{x(x + 2)} = 1 \)
- \( \frac{40x + 80 - 40x}{x(x + 2)} = 1 \)
- \( \frac{80}{x^2 + 2x} = 1 \)
- \( 80 = x^2 + 2x \)
- \( x^2 + 2x - 80 = 0 \)
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak veya deneyerek çözebiliriz. Çarpımları -80, toplamları +2 olan iki sayı 10 ve -8'dir.
- \( (x + 10)(x - 8) = 0 \)
- Buradan \( x = -10 \) veya \( x = 8 \) bulunur. Kişi sayısı negatif olamayacağı için \( x = 8 \) olmalıdır.
Örnek 7:
Bir pastanede 5 usta, günde 8 saat çalışarak günde 120 adet pasta yapabiliyor. Aynı pastanede 4 usta günde 10 saat çalışırsa günde kaç adet pasta yapabilir?
📌 Bu problemde usta sayısı, çalışma süresi ve yapılan pasta sayısı arasındaki ilişkiyi incelemeliyiz. Usta sayısı ve çalışma süresi arttıkça yapılan pasta sayısı artar (doğru orantı).
📌 Bu problemde usta sayısı, çalışma süresi ve yapılan pasta sayısı arasındaki ilişkiyi incelemeliyiz. Usta sayısı ve çalışma süresi arttıkça yapılan pasta sayısı artar (doğru orantı).
Çözüm:
- Bu tür problemlerde, yapılan iş (pasta sayısı) diğer niceliklerle doğru orantılıdır.
- Yani, pasta sayısı \( \propto \) (usta sayısı \( \times \) çalışma süresi)
- Bu ilişkiyi bir orantı sabiti (k) ile ifade edebiliriz: Pasta Sayısı = \( k \times \) Usta Sayısı \( \times \) Çalışma Süresi
- İlk durumdan k sabitini bulalım:
- 120 pasta = \( k \times \) 5 usta \( \times \) 8 saat
- 120 = \( k \times 40 \)
- \( k = \frac{120}{40} \)
- \( k = 3 \)
- Şimdi bu k sabitini kullanarak ikinci durumda kaç pasta yapılacağını hesaplayalım:
- Yapılacak Pasta Sayısı = \( 3 \times \) 4 usta \( \times \) 10 saat
- Yapılacak Pasta Sayısı = \( 3 \times 40 \)
- Yapılacak Pasta Sayısı = 120 adet
- Yani, 4 usta günde 10 saat çalışırsa yine günde 120 adet pasta yapabilirler.
Örnek 8:
\( a \) ile \( b \) doğru orantılıdır. \( a = 6 \) iken \( b = 18 \) ise, \( a = 10 \) iken \( b \) kaç olur?
👉 Doğru orantıda \( \frac{a}{b} \) oranı sabittir.
👉 Doğru orantıda \( \frac{a}{b} \) oranı sabittir.
Çözüm:
- \( a \) ile \( b \) doğru orantılı olduğu için, \( \frac{a}{b} \) oranı sabittir.
- Bu sabite k diyelim: \( \frac{a}{b} = k \)
- İlk verilen değerleri kullanarak k'yı bulalım:
- \( a = 6 \) ve \( b = 18 \)
- \( k = \frac{6}{18} \)
- \( k = \frac{1}{3} \)
- Şimdi \( a = 10 \) iken \( b \) değerini bulmak için aynı oranı kullanalım:
- \( \frac{a}{b} = \frac{1}{3} \)
- \( \frac{10}{b} = \frac{1}{3} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım:
- \( 10 \times 3 = 1 \times b \)
- \( 30 = b \)
- \( b = 30 \)
- Yani, \( a = 10 \) iken \( b \) 30 olur.
Örnek 9:
\( x \) ile \( y \) ters orantılıdır. \( x = 4 \) iken \( y = 12 \) ise, \( x = 6 \) iken \( y \) kaç olur?
📌 Ters orantıda \( x \times y \) çarpımı sabittir.
📌 Ters orantıda \( x \times y \) çarpımı sabittir.
Çözüm:
- \( x \) ile \( y \) ters orantılı olduğu için, \( x \times y \) çarpımı sabittir.
- Bu sabite k diyelim: \( x \times y = k \)
- İlk verilen değerleri kullanarak k'yı bulalım:
- \( x = 4 \) ve \( y = 12 \)
- \( k = 4 \times 12 \)
- \( k = 48 \)
- Şimdi \( x = 6 \) iken \( y \) değerini bulmak için aynı çarpımı kullanalım:
- \( x \times y = 48 \)
- \( 6 \times y = 48 \)
- Her iki tarafı 6'ya bölelim:
- \( y = \frac{48}{6} \)
- \( y = 8 \)
- Yani, \( x = 6 \) iken \( y \) 8 olur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/7-sinif-matematik-ters-oranti-dogru-oranti/sorular