Ters orantı doğru orantı Ders Notu

7. Sınıf Matematik: Doğru ve Ters Orantı 📐

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu dersimizde matematikte temel kavramlardan ikisi olan doğru orantı ve ters orantıyı öğreneceğiz. Bu iki kavram, iki çokluk arasındaki ilişkiyi anlamamıza yardımcı olur ve birçok problem çözümünde karşımıza çıkar.

Doğru Orantı ⬆️⬇️

İki çokluktan biri arttığında, diğeri de aynı oranda artıyorsa veya biri azaldığında, diğeri de aynı oranda azalıyorsa, bu iki çokluk arasında doğru orantı vardır. Doğru orantılı çokluklar, bir kesir olarak ifade edilebilir ve bu kesrin değeri sabittir.

Eğer a ve b gibi iki çokluk doğru orantılı ise, bu ilişkiyi şu şekilde gösterebiliriz:

\[ \frac{a}{b} = k \]

Burada k bir sabit sayıdır ve orantı sabitini ifade eder. Bu denklemi şu şekilde de yazabiliriz:

\[ a = k \cdot b \]

Örnek 1: Bir çiftçi, 10 dönüm tarlaya 50 kg gübre kullanıyor. Bu çiftçi 20 dönüm tarlaya kaç kg gübre kullanmalıdır?

Bu soruda dönüm sayısı ile kullanılan gübre miktarı arasında doğru orantı vardır. Dönüm sayısı arttıkça gübre miktarı da aynı oranda artacaktır.

Dönüm sayısı (a) ve gübre miktarı (b) olsun.

İlk durumda: \( a_1 = 10 \) dönüm, \( b_1 = 50 \) kg

İkinci durumda: \( a_2 = 20 \) dönüm, \( b_2 = ? \) kg

Doğru orantı olduğu için:

\[ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} \] \[ \frac{10}{50} = \frac{20}{b_2} \]

İçler dışlar çarpımı yaparsak:

\[ 10 \cdot b_2 = 50 \cdot 20 \] \[ 10 \cdot b_2 = 1000 \] \[ b_2 = \frac{1000}{10} \] \[ b_2 = 100 \]

Yani, 20 dönüm tarlaya 100 kg gübre kullanmalıdır.

Ters Orantı ⬆️⬅️

İki çokluktan biri arttığında, diğeri aynı oranda azalıyorsa veya biri azaldığında, diğeri aynı oranda artıyorsa, bu iki çokluk arasında ters orantı vardır. Ters orantılı çoklukların çarpımı sabittir.

Eğer a ve b gibi iki çokluk ters orantılı ise, bu ilişkiyi şu şekilde gösterebiliriz:

\[ a \cdot b = k \]

Burada k bir sabit sayıdır ve orantı sabitini ifade eder.

Örnek 2: Bir işi 6 işçi 12 günde bitirebiliyor. Bu işi 4 işçi kaç günde bitirebilir?

Bu soruda işçi sayısı ile işin bitme süresi arasında ters orantı vardır. İşçi sayısı azaldıkça işin bitme süresi artacaktır.

İşçi sayısı (a) ve gün sayısı (b) olsun.

İlk durumda: \( a_1 = 6 \) işçi, \( b_1 = 12 \) gün

İkinci durumda: \( a_2 = 4 \) işçi, \( b_2 = ? \) gün

Ters orantı olduğu için:

\[ a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2 \] \[ 6 \cdot 12 = 4 \cdot b_2 \] \[ 72 = 4 \cdot b_2 \] \[ b_2 = \frac{72}{4} \] \[ b_2 = 18 \]

Yani, 4 işçi bu işi 18 günde bitirebilir.

Doğru ve Ters Orantı Karşılaştırması ⚖️

İki çokluk arasındaki ilişkiyi belirlerken şu soruları sormak faydalı olacaktır:

• Birinci çokluk artarken ikinci çokluk da artıyor mu? (Doğru orantı olabilir)
• Birinci çokluk artarken ikinci çokluk azalıyorsa, bu çokluklar arasında ters bir ilişki var mı?

Örnek 3: 5 kalemin fiyatı 20 TL ise, 8 kalemin fiyatı kaç TL'dir?

Kalem sayısı ile fiyatı arasında doğru orantı vardır. Daha fazla kalem alırsanız, daha fazla ödeme yaparsınız.

Kalem sayısı (a) ve fiyatı (b) olsun.

İlk durum: \( a_1 = 5 \) kalem, \( b_1 = 20 \) TL

İkinci durum: \( a_2 = 8 \) kalem, \( b_2 = ? \) TL

Doğru orantı:

\[ \frac{5}{20} = \frac{8}{b_2} \] \[ 5 \cdot b_2 = 20 \cdot 8 \] \[ 5 \cdot b_2 = 160 \] \[ b_2 = \frac{160}{5} \] \[ b_2 = 32 \]

8 kalemin fiyatı 32 TL'dir.

Örnek 4: Bir depodaki su, 10 musluk ile 6 saatte boşalıyor. Aynı depodaki su, 5 musluk ile kaç saatte boşalır?

Musluk sayısı ile deponun boşalma süresi arasında ters orantı vardır. Daha az musluk açarsanız, deponun boşalması daha uzun sürer.

Musluk sayısı (a) ve saat (b) olsun.

İlk durum: \( a_1 = 10 \) musluk, \( b_1 = 6 \) saat

İkinci durum: \( a_2 = 5 \) musluk, \( b_2 = ? \) saat

Ters orantı:

\[ 10 \cdot 6 = 5 \cdot b_2 \] \[ 60 = 5 \cdot b_2 \] \[ b_2 = \frac{60}{5} \] \[ b_2 = 12 \]

Depodaki su, 5 musluk ile 12 saatte boşalır.

Doğru ve ters orantı, günlük hayatımızda sıkça karşılaştığımız birçok durumu modellememize yardımcı olan önemli matematiksel araçlardır. Bu kavramları iyi anladığınızda, daha karmaşık problemleri çözmek sizin için daha kolay olacaktır.