Tam ve rasyonel sayılar Ders Notu

Tam Sayılarla İşlemler 🔢

Tam sayılar, günlük hayatımızda yönlü büyüklükleri ifade etmek için kullanılır. Pozitif tam sayılar \( (+1, +2, +3, ...) \) sıfırın sağında veya üzerinde olan değerleri, negatif tam sayılar \( (-1, -2, -3, ...) \) ise sıfırın solunda veya altında olan değerleri temsil eder. Sıfır \( 0 \) sayısı ise başlangıç noktasıdır ve işaretsizdir.

Tam Sayılarda Toplama ve Çıkarma

• Aynı işaretli sayılar: Sayıların mutlak değerleri toplanır ve ortak işaret sonucun önüne yazılır. Örneğin: \( (-5) + (-3) = -8 \)
• Zıt işaretli sayılar: Büyük olanın mutlak değerinden küçük olanın mutlak değeri çıkarılır, mutlak değeri büyük olan sayının işareti sonuca verilir. Örneğin: \( (+10) + (-4) = +6 \)
• Çıkarma işlemi: Bir tam sayıdan bir tam sayıyı çıkarmak, çıkan sayının işaretini değiştirip toplamak demektir. Örneğin: \( 7 - (-3) = 7 + 3 = 10 \)

Tam Sayılarda Çarpma ve Bölme

Önemli Kural: Aynı işaretli iki sayının çarpımı veya bölümü pozitif, zıt işaretli iki sayının çarpımı veya bölümü negatiftir.

İşlem	Sonuç
\( (+) \times (+) \)	\( (+) \)
\( (-) \times (-) \)	\( (+) \)
\( (+) \times (-) \)	\( (-) \)

Rasyonel Sayılar ℚ

a ve b birer tam sayı ve \( b \neq 0 \) olmak üzere, \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar hem pozitif hem de negatif olabilir.

Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi

Bir rasyonel sayıyı ondalık gösterime çevirmek için payda \( 10, 100, 1000 \) olacak şekilde genişletilir veya pay paydaya bölünür.

Örnek: \( \frac{3}{4} \) rasyonel sayısını ondalık gösterime çevirelim.

Paydayı \( 25 \) ile genişletirsek: \( \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} = 0,75 \)

Rasyonel Sayılarda Sıralama

• Pozitif rasyonel sayılarda paydalar eşitse payı büyük olan daha büyüktür.
• Paylar eşitse paydası küçük olan daha büyüktür.
• Negatif rasyonel sayılarda ise sıralama pozitifmiş gibi yapılır, ardından eşitsizlik yön değiştirir.

Çözümlü Örnekler

Soru 1: \( -12 \div (-3) + (-2) \times 4 \) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Önce bölme ve çarpma işlemleri yapılır. \( -12 \div (-3) = 4 \) ve \( (-2) \times 4 = -8 \). Sonuç: \( 4 + (-8) = -4 \)

Soru 2: \( \frac{1}{2} \) ve \( \frac{2}{3} \) sayılarını karşılaştırınız.

Çözüm: Paydaları \( 6 \) sayısında eşitleyelim. \( \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6} \) ve \( \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6} \). Buradan \( \frac{4}{6} > \frac{3}{6} \), yani \( \frac{2}{3} > \frac{1}{2} \) olduğu görülür.