📝 7. Sınıf Matematik: Tam sayılar ve rasyonel sayılar Ders Notu
Matematik dünyasının en temel taşlarından biri olan sayılar, 7. sınıf müfredatında daha derinlemesine ele alınmaktadır. Bu ünitede, tam sayılarla işlemler yapmayı ve rasyonel sayılar kavramını öğrenerek bu sayılarla dört işlem gerçekleştirmeyi kavrayacağız.
🎯 Tam Sayılarla İşlemler
Tam sayılar kümesi; pozitif tam sayılar, negatif tam sayılar ve sıfır sayısından oluşur. Tam sayılarla işlem yaparken sayıların önündeki işaretlere dikkat etmek en önemli kuraldır.
1. Toplama ve Çıkarma İşlemleri
- Aynı işaretli sayılar toplanırken: Sayıların mutlak değerleri toplanır ve ortak işaret sonucun önüne yazılır. Örneğin; \( (+5) + (+3) = +8 \) veya \( (-4) + (-2) = -6 \) olur.
- Zıt işaretli sayılar toplanırken: Mutlak değeri büyük olan sayıdan küçük olan sayı çıkarılır ve mutlak değeri büyük olan sayının işareti sonuca verilir. Örneğin; \( (-7) + (+3) = -4 \) olur.
- Çıkarma işlemi: Çıkarma işlemi yapılırken, çıkan sayının işareti değiştirilir ve işlem toplama işlemine dönüştürülür. Yani, \( a - b = a + (-b) \) kuralı uygulanır. Örneğin; \( (-5) - (-2) = (-5) + (+2) = -3 \) olur.
2. Çarpma ve Bölme İşlemleri
Çarpma ve bölme işlemlerinde işaret belirleme kuralları tamamen aynıdır:
Aynı işaretli iki tam sayının çarpımı veya bölümü pozitif, zıt işaretli iki tam sayının çarpımı veya bölümü negatif bir tam sayıdır.
İşaret kuralları tablosu:
| İşlem Türü | 1. Sayı | 2. Sayı | Sonuç İşareti |
|---|---|---|---|
| Çarpma / Bölme | + | + | + |
| Çarpma / Bölme | - | - | + |
| Çarpma / Bölme | + | - | - |
| Çarpma / Bölme | - | + | - |
📝 Çözümlü Örnek 1
Aşağıdaki işlemin sonucunu işlem önceliğine dikkat ederek bulunuz:
\[ (-12) \div (+3) \times (-2) \]Çözüm: İşlem önceliği kurallarına göre, yan yana gelen bölme ve çarpma işlemlerinde soldan sağa doğru sıra takip edilir.
İlk olarak en soldaki bölme işlemi yapılır: \( (-12) \div (+3) = -4 \)
Ardından elde edilen sonuç ile çarpma işlemi gerçekleştirilir: \( (-4) \times (-2) = +8 \)
Sonuç \( +8 \) olarak bulunur.
🔋 Tam Sayıların Kuvvetleri
Negatif bir tam sayının çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri ise negatiftir. Pozitif tam sayıların tüm kuvvetleri ise her zaman pozitiftir.
- \( (-3)^2 = (-3) \times (-3) = +9 \) (Çift kuvvet olduğundan sonuç pozitiftir)
- \( (-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = -27 \) (Tek kuvvet olduğundan sonuç negatiftir)
- ⚠️ Önemli Uyarı: Parantez kullanımı sonucu doğrudan etkiler. Örneğin; \( -3^2 = -(3 \times 3) = -9 \) iken \( (-3)^2 = +9 \) olur.
🌐 Rasyonel Sayılar
Rasyonel sayılar, \( a \) ve \( b \) birer tam sayı ve \( b \neq 0 \) olmak üzere \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılardır. Rasyonel sayılar kümesi \( Q \) harfi ile gösterilir.
1. Rasyonel Sayıların Sayı Doğrusunda Gösterimi
Bir rasyonel sayıyı sayı doğrusunda gösterirken öncelikle sayının hangi iki tam sayı arasında olduğu belirlenir. Ardından bu iki tam sayının arası, rasyonel sayının paydasındaki sayı kadar eşit parçaya bölünür. Sıfırdan başlanarak paydaki sayı kadar adım ilerlenir. Pozitif rasyonel sayılarda sağa, negatif rasyonel sayılarda ise sola doğru ilerleme yapılır.
2. Ondalık Gösterim ve Devirli Ondalık Sayılar
Bir rasyonel sayıyı ondalık gösterimle ifade etmek için payı paydaya bölünür veya payda genişletilerek 10, 100, 1000 gibi 10'un kuvvetlerine dönüştürülür. Eğer payda 10'un kuvveti yapılamıyorsa, bölme işlemi yapıldığında virgülden sonraki sayılar sürekli tekrar eder. Bu sayılara devirli ondalık sayılar denir.
Devirli ondalık açılımı rasyonel sayıya çevirirken şu kural uygulanır:
Pay kısmına sayının tamamından devretmeyen kısım çıkarılarak yazılır. Payda kısmına ise virgülden sonraki devreden basamak sayısı kadar 9 ve sağına devretmeyen basamak sayısı kadar 0 eklenir.
Örnek:
\[ 1,2555... = 1,2\bar{5} \]Bu devirli ondalık sayıyı rasyonel sayıya dönüştürelim:
\[ \frac{125 - 12}{90} = \frac{113}{90} \]🧮 Rasyonel Sayılarla İşlemler
1. Toplama ve Çıkarma İşlemi
Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için paydaların eşit olması şarttır. Paydalar eşit değilse, uygun sayılarla genişletilerek eşitlenir. Paylar kendi arasında toplanıp veya çıkarılıp paya yazılır, ortak payda ise aynen paydaya yazılır.
\[ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \]2. Çarpma ve Bölme İşlemi
- Çarpma İşlemi: Paylar kendi arasında çarpılıp paya, paydalar kendi arasında çarpılıp paydaya yazılır. İşaret kuralları tam sayılardaki kurallarla aynıdır. \[ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \]
- Bölme İşlemi: Birinci rasyonel sayı aynen yazılır, ikinci rasyonel sayı ters çevrilerek (payı ve paydası yer değiştirilerek) çarpılır. \[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c} \]
📝 Çözümlü Örnek 2
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\[ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) \div \frac{5}{6} \]Çözüm: Öncelikle parantez içindeki çıkarma işlemi paydalar eşitlenerek yapılır. Paydaları 6 sayısında eşitleyelim:
\[ \frac{1}{2} = \frac{3}{6} \] \[ \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \]Parantez içi işlem:
\[ \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} \]Şimdi elde ettiğimiz sonucu \( \frac{5}{6} \) rasyonel sayısına bölelim. Birinci sayıyı aynen yazıp ikinciyi ters çevirip çarpıyoruz:
\[ \frac{1}{6} \div \frac{5}{6} = \frac{1}{6} \times \frac{6}{5} = \frac{1 \times 6}{6 \times 5} = \frac{6}{30} \]Elde edilen sonucu 6 ile sadeleştirirsek:
\[ \frac{1}{5} \]Sonuç \( \frac{1}{5} \) olarak bulunur.