🎓 7. Sınıf
📚 7. Sınıf Matematik
💡 7. Sınıf Matematik: Rasyonel Sayılar Çözümlü Örnekler
7. Sınıf Matematik: Rasyonel Sayılar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Rasyonel sayıların ne olduğunu hatırlayalım! Aşağıdaki sayılardan hangileri bir rasyonel sayı olarak ifade edilebilir?
a) \( 5 \)
b) \( -3 \)
c) \( \frac{2}{7} \)
d) \( 0.4 \)
e) \( -1.25 \)
f) \( 0 \)
a) \( 5 \)
b) \( -3 \)
c) \( \frac{2}{7} \)
d) \( 0.4 \)
e) \( -1.25 \)
f) \( 0 \)
Çözüm:
Bir sayının rasyonel sayı olabilmesi için \( a \) bir tam sayı ve \( b \) sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilmesi gerekir. 👉 Tüm tam sayılar ve ondalık sayılar rasyonel sayıdır.
- a) \( 5 \): Evet, çünkü \( 5 = \frac{5}{1} \) şeklinde yazılabilir. ✅
- b) \( -3 \): Evet, çünkü \( -3 = \frac{-3}{1} \) şeklinde yazılabilir. ✅
- c) \( \frac{2}{7} \): Evet, zaten \( \frac{a}{b} \) formunda. ✅
- d) \( 0.4 \): Evet, çünkü \( 0.4 = \frac{4}{10} \) şeklinde yazılabilir. ✅
- e) \( -1.25 \): Evet, çünkü \( -1.25 = -\frac{125}{100} \) şeklinde yazılabilir. ✅
- f) \( 0 \): Evet, çünkü \( 0 = \frac{0}{1} \) şeklinde yazılabilir. ✅
Örnek 2:
Sayı doğrusunda \( -1 \) ile \( 0 \) arasında bulunan ve paydayı \( 4 \) olarak kabul edebileceğimiz bir rasyonel sayıyı gösteriniz.
Bu sayı \( -\frac{3}{4} \) olsun. Bu sayıyı sayı doğrusunda nasıl işaretleriz?
Bu sayı \( -\frac{3}{4} \) olsun. Bu sayıyı sayı doğrusunda nasıl işaretleriz?
Çözüm:
👉 Bir rasyonel sayıyı sayı doğrusunda göstermek için önce tam sayı kısmına bakarız, sonra kesir kısmını değerlendiririz.
- Adım 1: Sayının işaretine bakalım. \( -\frac{3}{4} \) negatif bir sayıdır, bu yüzden sayı doğrusunda \( 0 \)'ın solunda yer alacaktır.
- Adım 2: Sayının hangi iki tam sayı arasında olduğuna bakalım. \( -\frac{3}{4} \) sayısı \( -1 \) ile \( 0 \) arasındadır.
- Adım 3: \( -1 \) ile \( 0 \) arasını paydada yazan sayı kadar eşit parçaya bölelim. Payda \( 4 \) olduğu için bu aralığı \( 4 \) eşit parçaya böleriz.
- Adım 4: Payda yazan sayı kadar, \( 0 \)'dan başlayarak sola doğru sayalım. Pay \( 3 \) olduğu için \( 0 \)'dan sola doğru \( 3 \) birim sayarız.
Örnek 3:
Aşağıdaki rasyonel sayıları ondalık gösterim şeklinde yazınız.
a) \( \frac{3}{5} \)
b) \( -\frac{7}{20} \)
c) \( \frac{1}{3} \)
a) \( \frac{3}{5} \)
b) \( -\frac{7}{20} \)
c) \( \frac{1}{3} \)
Çözüm:
Rasyonel sayıları ondalık gösterime çevirmenin iki yolu vardır: paydayı \( 10, 100, 1000 \) yapmak veya payı paydaya bölmek.
- a) \( \frac{3}{5} \):
- Yöntem 1 (Paydayı Genişletme): Paydayı \( 10 \) yapmak için kesri \( 2 \) ile genişletiriz.
\[ \frac{3}{5} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10} = 0.6 \] - Yöntem 2 (Bölme): \( 3 \)'ü \( 5 \)'e böleriz.
\( 3 \div 5 = 0.6 \) - Sonuç: \( 0.6 \) ✅
- Yöntem 1 (Paydayı Genişletme): Paydayı \( 10 \) yapmak için kesri \( 2 \) ile genişletiriz.
- b) \( -\frac{7}{20} \):
- Yöntem 1 (Paydayı Genişletme): Paydayı \( 100 \) yapmak için kesri \( 5 \) ile genişletiriz.
\[ -\frac{7}{20} = -\frac{7 \times 5}{20 \times 5} = -\frac{35}{100} = -0.35 \] - Yöntem 2 (Bölme): \( 7 \)'yi \( 20 \)'ye böleriz ve başına eksiyi koyarız.
\( 7 \div 20 = 0.35 \Rightarrow -0.35 \) - Sonuç: \( -0.35 \) ✅
- Yöntem 1 (Paydayı Genişletme): Paydayı \( 100 \) yapmak için kesri \( 5 \) ile genişletiriz.
- c) \( \frac{1}{3} \):
- Yöntem (Bölme): Paydayı \( 10, 100, 1000 \) yapamayız, bu yüzden \( 1 \)'i \( 3 \)'e böleriz.
\( 1 \div 3 = 0.333... \) - Bu bir devirli ondalık gösterimdir. Tekrar eden rakamın üzerine çizgi koyarak gösteririz.
\[ 0.333... = 0.\overline{3} \] - Sonuç: \( 0.\overline{3} \) ✅
- Yöntem (Bölme): Paydayı \( 10, 100, 1000 \) yapamayız, bu yüzden \( 1 \)'i \( 3 \)'e böleriz.
Örnek 4:
Aşağıdaki ondalık gösterimleri rasyonel sayı (kesir) şeklinde yazınız.
a) \( 0.75 \)
b) \( -2.8 \)
c) \( 0.\overline{6} \)
a) \( 0.75 \)
b) \( -2.8 \)
c) \( 0.\overline{6} \)
Çözüm:
Ondalık gösterimleri rasyonel sayıya çevirirken, sayının virgülden sonraki basamak sayısına veya devirli olup olmadığına dikkat ederiz.
- a) \( 0.75 \):
- Virgülden sonra iki basamak olduğu için paydaya \( 100 \) yazarız.
\[ 0.75 = \frac{75}{100} \] - Kesri sadeleştirelim (her iki tarafı \( 25 \) ile bölelim).
\[ \frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4} \] - Sonuç: \( \frac{3}{4} \) ✅
- Virgülden sonra iki basamak olduğu için paydaya \( 100 \) yazarız.
- b) \( -2.8 \):
- Sayının tam kısmı \( -2 \), ondalık kısmı \( 0.8 \). Bunu bileşik kesre çevirebiliriz.
\[ -2.8 = -\frac{28}{10} \] - Kesri sadeleştirelim (her iki tarafı \( 2 \) ile bölelim).
\[ -\frac{28 \div 2}{10 \div 2} = -\frac{14}{5} \] - Sonuç: \( -\frac{14}{5} \) ✅
- Sayının tam kısmı \( -2 \), ondalık kısmı \( 0.8 \). Bunu bileşik kesre çevirebiliriz.
- c) \( 0.\overline{6} \):
- Devirli ondalık sayıları kesre çevirme kuralı:
\( \frac{\text{Sayının tamamı} - \text{Devretmeyen kısım}}{\text{Virgülden sonra devreden kadar } 9 \text{, devretmeyen kadar } 0} \) - Burada sayının tamamı \( 6 \), devretmeyen kısım \( 0 \). Virgülden sonra bir basamak devrediyor ( \( 6 \) ).
\[ 0.\overline{6} = \frac{6 - 0}{9} = \frac{6}{9} \] - Kesri sadeleştirelim (her iki tarafı \( 3 \) ile bölelim).
\[ \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3} \] - Sonuç: \( \frac{2}{3} \) ✅
- Devirli ondalık sayıları kesre çevirme kuralı:
Örnek 5:
Aşağıdaki rasyonel sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
\( \frac{1}{2}, -\frac{3}{4}, \frac{2}{3}, 0, -\frac{1}{4} \)
\( \frac{1}{2}, -\frac{3}{4}, \frac{2}{3}, 0, -\frac{1}{4} \)
Çözüm:
Rasyonel sayıları sıralarken, paydaları eşitlemek veya ondalık gösterimlere çevirmek pratik yöntemlerdir. Negatif sayıların pozitif sayılardan her zaman daha küçük olduğunu unutmayalım.
- Adım 1: Negatif ve pozitif sayıları ayıralım.
Negatif sayılar: \( -\frac{3}{4}, -\frac{1}{4} \)
Pozitif sayılar: \( \frac{1}{2}, \frac{2}{3} \)
Sıfır: \( 0 \) - Adım 2: Negatif sayıları kendi aralarında sıralayalım.
Paydaları eşit olduğu için payı küçük olan daha büyük (sayı doğrusunda sağda) olacaktır.
\( -\frac{3}{4} \) ve \( -\frac{1}{4} \) için, \( -3 < -1 \) olduğundan \( -\frac{3}{4} < -\frac{1}{4} \) olur. - Adım 3: Pozitif sayıları kendi aralarında sıralayalım.
\( \frac{1}{2} \) ve \( \frac{2}{3} \) için paydaları eşitleyelim. Ortak payda \( 6 \) olabilir.
\( \frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6} \)
\( \frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6} \)
\( \frac{3}{6} < \frac{4}{6} \) olduğundan \( \frac{1}{2} < \frac{2}{3} \) olur. - Adım 4: Tüm sayıları birleştirelim. Negatifler en küçük, sonra sıfır, sonra pozitifler gelir.
En küçükten en büyüğe sıralama:
\[ -\frac{3}{4} < -\frac{1}{4} < 0 < \frac{1}{2} < \frac{2}{3} \]
Örnek 6:
Aşağıdaki rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerini yapınız.
a) \( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \)
b) \( \frac{3}{4} - \frac{1}{8} \)
c) \( -\frac{2}{5} + \frac{1}{2} \)
a) \( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \)
b) \( \frac{3}{4} - \frac{1}{8} \)
c) \( -\frac{2}{5} + \frac{1}{2} \)
Çözüm:
Rasyonel sayılarla toplama veya çıkarma işlemi yapabilmek için paydaların eşit olması gerekir. Paydalar eşit değilse, uygun bir sayıyla genişleterek veya sadeleştirerek eşitlenir.
- a) \( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \):
- Paydaları eşitleyelim. \( 3 \) ve \( 6 \) için ortak payda \( 6 \)'dır. İlk kesri \( 2 \) ile genişletiriz.
\[ \frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6} \] - Şimdi toplama işlemini yapalım.
\[ \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} \] - Sonucu sadeleştirelim (her iki tarafı \( 3 \) ile bölelim).
\[ \frac{3 \div 3}{6 \div 3} = \frac{1}{2} \] - Sonuç: \( \frac{1}{2} \) ✅
- Paydaları eşitleyelim. \( 3 \) ve \( 6 \) için ortak payda \( 6 \)'dır. İlk kesri \( 2 \) ile genişletiriz.
- b) \( \frac{3}{4} - \frac{1}{8} \):
- Paydaları eşitleyelim. \( 4 \) ve \( 8 \) için ortak payda \( 8 \)'dir. İlk kesri \( 2 \) ile genişletiriz.
\[ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 2}{4 \times 2} = \frac{6}{8} \] - Şimdi çıkarma işlemini yapalım.
\[ \frac{6}{8} - \frac{1}{8} = \frac{6-1}{8} = \frac{5}{8} \] - Sonuç: \( \frac{5}{8} \) ✅
- Paydaları eşitleyelim. \( 4 \) ve \( 8 \) için ortak payda \( 8 \)'dir. İlk kesri \( 2 \) ile genişletiriz.
- c) \( -\frac{2}{5} + \frac{1}{2} \):
- Paydaları eşitleyelim. \( 5 \) ve \( 2 \) için ortak payda \( 10 \)'dur. İlk kesri \( 2 \) ile, ikinci kesri \( 5 \) ile genişletiriz.
\[ -\frac{2}{5} = -\frac{2 \times 2}{5 \times 2} = -\frac{4}{10} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10} \] - Şimdi toplama işlemini yapalım.
\[ -\frac{4}{10} + \frac{5}{10} = \frac{-4+5}{10} = \frac{1}{10} \] - Sonuç: \( \frac{1}{10} \) ✅
- Paydaları eşitleyelim. \( 5 \) ve \( 2 \) için ortak payda \( 10 \)'dur. İlk kesri \( 2 \) ile, ikinci kesri \( 5 \) ile genişletiriz.
Örnek 7:
Bir marangoz, uzunluğu \( \frac{5}{2} \) metre olan bir tahta parçasını kullanarak eş büyüklükte raflar yapacaktır. Her bir raf için \( \frac{5}{8} \) metre tahta kullanıldığına göre, marangoz bu tahta parçasından kaç tane tam raf yapabilir?
Çözüm:
Bu problemde, büyük bir tahta parçasının kaç tane küçük parçaya ayrılabileceğini bulmamız gerekiyor. Bu bir bölme işlemidir.
- Adım 1: Toplam tahta uzunluğunu, bir rafın uzunluğuna bölelim.
\[ \frac{5}{2} \div \frac{5}{8} \] - Adım 2: Rasyonel sayılarda bölme işlemi yaparken, birinci sayıyı aynen yazarız ve ikinci sayıyı ters çevirip çarparız.
\[ \frac{5}{2} \times \frac{8}{5} \] - Adım 3: Çarpma işlemini yapmadan önce sadeleştirme yapabiliriz. Paydaki \( 5 \) ile paydadaki \( 5 \) birbirini götürür.
\[ \frac{5}{\cancel{2}} \times \frac{8}{\cancel{5}} = \frac{1}{1} \times \frac{8}{2} \] - Adım 4: Kalan sayıları çarpalım ve sadeleştirelim.
\[ \frac{1 \times 8}{1 \times 2} = \frac{8}{2} = 4 \]
Örnek 8:
Ayşe, annesi için bir doğum günü pastası yapmaya karar verdi. Pastanın \( \frac{1}{4} \)'ünü çilekli, \( \frac{1}{3} \)'ünü çikolatalı ve kalanını vanilyalı yapacaktır.
Buna göre, pastanın kaçta kaçı vanilyalıdır?
Buna göre, pastanın kaçta kaçı vanilyalıdır?
Çözüm:
Bu problemde, pastanın tamamını (bütününü) \( 1 \) olarak kabul edip, çilekli ve çikolatalı kısımları çıkararak vanilyalı kısmı bulacağız.
- Adım 1: Çilekli ve çikolatalı kısımları toplayalım.
\[ \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \] - Adım 2: Toplama işlemi için paydaları eşitlememiz gerekiyor. \( 4 \) ve \( 3 \) için ortak payda \( 12 \)'dir.
\[ \frac{1 \times 3}{4 \times 3} + \frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} \] - Adım 3: Paydalar eşitlendiğine göre toplayabiliriz.
\[ \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{3+4}{12} = \frac{7}{12} \] Bu, pastanın çilekli ve çikolatalı kısmının toplamıdır. - Adım 4: Pastanın tamamından (yani \( 1 \)'den) bu toplamı çıkararak vanilyalı kısmı bulalım. Pastanın tamamını \( \frac{12}{12} \) olarak düşünebiliriz.
\[ \frac{12}{12} - \frac{7}{12} \] - Adım 5: Çıkarma işlemini yapalım.
\[ \frac{12-7}{12} = \frac{5}{12} \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/7-sinif-matematik-rasyonel-sayilar/sorular