📝 7. Sınıf Matematik: Rasyonel Sayılar Ders Notu
Rasyonel sayılar, matematikte tam sayılar ve kesirler arasındaki bağlantıyı kuran önemli bir konudur. Bu bölümde, rasyonel sayıların ne olduğunu, sayı doğrusunda nasıl gösterildiğini, sıralamasını ve temel işlemlerini 7. sınıf seviyesinde adım adım inceleyeceğiz.
Rasyonel Sayı Nedir? 🤔
a bir tam sayı ve b sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi "Q" harfi ile gösterilir.
- Her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır. Örneğin, \( 5 = \frac{5}{1} \), \( -3 = \frac{-3}{1} \).
- Her kesir bir rasyonel sayıdır. Örneğin, \( \frac{2}{3} \), \( -\frac{1}{4} \).
- Devirli ve devirsiz ondalık gösterimler de rasyonel sayı olarak ifade edilebilir. Örneğin, \( 0.5 = \frac{1}{2} \), \( 0.333... = \frac{1}{3} \).
Rasyonel Sayıların Sayı Doğrusunda Gösterilmesi 📍
Rasyonel sayıları sayı doğrusunda göstermek için, sayının tam kısmı ve kesir kısmı dikkate alınır. İki tam sayı arası, payda kadar eşit parçaya ayrılır ve pay kadar ilerlenir.
Örnek: \( \frac{3}{4} \) sayısını sayı doğrusunda gösterelim.
0 ile 1 arası 4 eşit parçaya bölünür, 0'dan başlayarak 3. çizgi işaretlenir.
Örnek: \( -\frac{5}{2} \) sayısını sayı doğrusunda gösterelim.
Önce tam sayılı kesre çevirelim: \( -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} \).
Bu sayı -2 ile -3 arasındadır. -2 ile -3 arası 2 eşit parçaya bölünür, -2'den başlayarak 1. çizgi işaretlenir.
Rasyonel Sayıları Karşılaştırma ve Sıralama 📏
Rasyonel sayıları karşılaştırırken veya sıralarken farklı yöntemler kullanabiliriz:
1. Paydaları Eşitleme
Paydaları eşit olan pozitif rasyonel sayılardan payı büyük olan daha büyüktür. Negatif rasyonel sayılarda ise payı küçük olan daha büyüktür.
Örnek: \( \frac{2}{3} \) ve \( \frac{5}{6} \) sayılarını karşılaştıralım.
Paydaları 6'da eşitleyelim: \( \frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6} \).
Şimdi \( \frac{4}{6} \) ve \( \frac{5}{6} \) sayılarını karşılaştırabiliriz. Payı büyük olan \( \frac{5}{6} \) daha büyüktür. Yani \( \frac{4}{6} < \frac{5}{6} \) veya \( \frac{2}{3} < \frac{5}{6} \).
2. Payları Eşitleme
Payları eşit olan pozitif rasyonel sayılardan paydası küçük olan daha büyüktür. Negatif rasyonel sayılarda ise paydası büyük olan daha büyüktür.
Örnek: \( \frac{3}{5} \) ve \( \frac{3}{7} \) sayılarını karşılaştıralım.
Paylar eşit ve 3'tür. Paydası küçük olan \( \frac{3}{5} \) daha büyüktür. Yani \( \frac{3}{5} > \frac{3}{7} \).
3. Sayı Doğrusunda Gösterme
Sayı doğrusunda sağa doğru gidildikçe sayılar büyür, sola doğru gidildikçe küçülür.
Rasyonel Sayılarla İşlemler ➕➖✖️➗
1. Toplama ve Çıkarma İşlemleri
Rasyonel sayılarla toplama veya çıkarma işlemi yapabilmek için paydaların eşit olması gerekir. Paydalar eşit değilse, genişletme veya sadeleştirme yaparak paydalar eşitlenir. Paydalar eşitlendikten sonra paylar toplanır veya çıkarılır, ortak payda aynen yazılır.
Genel Kural: \( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d}{b \times d} + \frac{c \times b}{d \times b} = \frac{ad + cb}{bd} \)
Örnek: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \) işlemini yapalım.
Paydaları 6'da eşitleyelim: \( \frac{1}{2} = \frac{3}{6} \), \( \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \).
\( \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6} \).
Örnek: \( \frac{4}{5} - \frac{1}{10} \) işlemini yapalım.
Paydaları 10'da eşitleyelim: \( \frac{4}{5} = \frac{8}{10} \).
\( \frac{8}{10} - \frac{1}{10} = \frac{8-1}{10} = \frac{7}{10} \).
2. Çarpma İşlemi
Rasyonel sayılarla çarpma işlemi yapılırken, paylar kendi arasında çarpılıp paya yazılır, paydalar kendi arasında çarpılıp paydaya yazılır. İşlemden önce sadeleştirme yapmak, işlemi kolaylaştırır.
Genel Kural: \( \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \)
Örnek: \( \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} \) işlemini yapalım.
\( \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15} \).
Örnek: \( \frac{3}{4} \times \frac{8}{9} \) işlemini yapalım.
Sadeleştirme yapalım: \( \frac{3}{4} \times \frac{8}{9} = \frac{\cancel{3}}{4} \times \frac{8}{\cancel{9}} = \frac{1}{4} \times \frac{8}{3} = \frac{1}{\cancel{4}} \times \frac{\cancel{8}}{3} = \frac{1}{1} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \).
3. Bölme İşlemi
Rasyonel sayılarla bölme işlemi yapılırken, birinci sayı (bölünen) aynen yazılır, ikinci sayı (bölen) ters çevrilir ve çarpma işlemi yapılır.
Genel Kural: \( \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c} \)
Örnek: \( \frac{2}{5} \div \frac{3}{4} \) işlemini yapalım.
\( \frac{2}{5} \times \frac{4}{3} = \frac{2 \times 4}{5 \times 3} = \frac{8}{15} \).
Örnek: \( 6 \div \frac{2}{3} \) işlemini yapalım.
\( 6 = \frac{6}{1} \) olarak yazılır.
\( \frac{6}{1} \times \frac{3}{2} = \frac{6 \times 3}{1 \times 2} = \frac{18}{2} = 9 \).
4. Rasyonel Sayıların Kuvvetleri (Üslü İfadeleri) 🚀
Bir rasyonel sayının kuvveti alınırken, hem payın hem de paydanın ayrı ayrı kuvveti alınır. 7. sınıf seviyesinde sadece pozitif tam sayı kuvvetleri ele alınır.
Genel Kural: \( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \)
Örnek: \( \left(\frac{2}{3}\right)^2 \) işlemini yapalım.
\( \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} \).
Örnek: \( \left(-\frac{1}{4}\right)^3 \) işlemini yapalım.
\( \left(-\frac{1}{4}\right)^3 = \frac{(-1)^3}{4^3} = \frac{-1}{64} \).
5. Rasyonel Sayılarla Çok Adımlı İşlemler
Birden fazla işlem içeren problemlerde işlem önceliği kurallarına dikkat edilir:
- Parantez içindeki işlemler
- Üslü ifadeler
- Çarpma veya Bölme (Soldan sağa doğru)
- Toplama veya Çıkarma (Soldan sağa doğru)
Örnek: \( \frac{1}{2} + \frac{3}{4} \times \left(1 - \frac{1}{3}\right) \) işlemini yapalım.
Önce parantez içi: \( 1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \).
Şimdi çarpma: \( \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{\cancel{3}}{4} \times \frac{2}{\cancel{3}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).
Son olarak toplama: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \).
Rasyonel Sayıları Ondalık Gösterim ve Devirli Ondalık Gösterim Olarak Yazma ➡️
1. Rasyonel Sayıyı Ondalık Gösterime Çevirme
Bir rasyonel sayıyı ondalık gösterim olarak yazmak için payı paydaya böleriz. Eğer payda 10, 100, 1000 gibi onun kuvvetleri haline getirilebiliyorsa, genişletme de yapılabilir.
Örnek: \( \frac{3}{5} \) sayısını ondalık gösterime çevirelim.
Paydayı 10 yapmak için 2 ile genişletelim: \( \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10} = 0.6 \).
Veya 3'ü 5'e böleriz: \( 3 \div 5 = 0.6 \).
2. Rasyonel Sayıyı Devirli Ondalık Gösterime Çevirme
Bir rasyonel sayının paydasını 10'un kuvveti haline getiremediğimiz durumlarda, bölme işlemi sonucunda rakamlar belli bir düzende tekrar ediyorsa, bu devirli ondalık gösterimdir.
Örnek: \( \frac{1}{3} \) sayısını devirli ondalık gösterime çevirelim.
\( 1 \div 3 = 0.333... \) Bu durum \( 0.\overline{3} \) şeklinde gösterilir.
Örnek: \( \frac{2}{11} \) sayısını devirli ondalık gösterime çevirelim.
\( 2 \div 11 = 0.181818... \) Bu durum \( 0.\overline{18} \) şeklinde gösterilir.
Ondalık Gösterimleri Rasyonel Sayıya Çevirme ↩️
1. Ondalık Gösterimi Rasyonel Sayıya Çevirme
Ondalık gösterimi olan bir sayıyı rasyonel sayıya çevirirken, sayının virgülsüz halini paya, virgülden sonraki basamak sayısı kadar 10'un kuvvetini (10, 100, 1000 vb.) paydaya yazarız. Daha sonra sadeleştirme yapabiliriz.
Örnek: \( 0.75 \) sayısını rasyonel sayıya çevirelim.
\( 0.75 = \frac{75}{100} \). Her iki tarafı 25 ile sadeleştirelim: \( \frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4} \).
2. Devirli Ondalık Gösterimi Rasyonel Sayıya Çevirme
Devirli ondalık gösterimleri rasyonel sayıya çevirmek için özel bir kural kullanılır:
\[ \frac{\text{Sayının tamamı (virgülsüz)} - \text{Devretmeyen kısım (virgülsüz)}}{\text{Virgülden sonra devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen basamak sayısı kadar 0}} \]
Örnek: \( 0.\overline{3} \) sayısını rasyonel sayıya çevirelim.
Sayının tamamı = 3. Devretmeyen kısım = 0. Virgülden sonra devreden 1 basamak (3).
\( \frac{3 - 0}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \).
Örnek: \( 1.\overline{2} \) sayısını rasyonel sayıya çevirelim.
Sayının tamamı = 12. Devretmeyen kısım = 1. Virgülden sonra devreden 1 basamak (2).
\( \frac{12 - 1}{9} = \frac{11}{9} \).
Örnek: \( 0.4\overline{5} \) sayısını rasyonel sayıya çevirelim.
Sayının tamamı = 45. Devretmeyen kısım = 4. Virgülden sonra devreden 1 basamak (5), devretmeyen 1 basamak (4).
\( \frac{45 - 4}{90} = \frac{41}{90} \).