Rasyonel sayılar çarpma ve bölme işlemleri Ders Notu

7. Sınıf Matematik: Rasyonel Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemleri

Rasyonel sayılar, tam sayıların birbirine oranı şeklinde ifade edilebilen sayılardır. Bu sayılarla çarpma ve bölme işlemleri, kesirlerle yapılan işlemlere benzerlik gösterir. Bu bölümde, rasyonel sayılarla çarpma ve bölme işlemlerinin nasıl yapıldığını detaylı örneklerle öğreneceğiz.

Rasyonel Sayılarla Çarpma İşlemi

İki rasyonel sayıyı çarpmak için paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır. İşlem sonucunda elde edilen kesir, sadeleştirilebiliyorsa en sade hale getirilir.

Genel Kural:

\[ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \]

Örnek 1:

Aşağıdaki çarpma işlemini yapalım:

\[ \frac{2}{3} \times \frac{5}{7} \]

Çözüm:

Payları kendi arasında çarpalım: \( 2 \times 5 = 10 \)

Paydaları kendi arasında çarpalım: \( 3 \times 7 = 21 \)

Sonuç: \( \frac{10}{21} \)

Örnek 2:

Sadeleştirme içeren bir çarpma işlemi:

\[ \frac{4}{5} \times \frac{10}{12} \]

Çözüm:

Doğrudan çarpma yapmadan önce sadeleştirme yapabiliriz. 4 ile 12 sadeleşir (her ikisi de 4'e bölünür), 5 ile 10 sadeleşir (her ikisi de 5'e bölünür).

\( \frac{4}{5} \times \frac{10}{12} = \frac{1}{1} \times \frac{2}{3} \)

Şimdi çarpma işlemini yapalım:

Paylar: \( 1 \times 2 = 2 \)

Paydalar: \( 1 \times 3 = 3 \)

Sonuç: \( \frac{2}{3} \)

Örnek 3: Negatif rasyonel sayılarla çarpma

İşaretlere dikkat etmek önemlidir. İki negatif sayının çarpımı pozitiftir.

\[ \frac{-3}{4} \times \frac{-8}{9} \]

Çözüm:

Önce sadeleştirelim: 3 ile 9 sadeleşir (3'e bölünür), 4 ile 8 sadeleşir (4'e bölünür).

\( \frac{-3}{4} \times \frac{-8}{9} = \frac{-1}{1} \times \frac{-2}{3} \)

Şimdi çarpalım:

Paylar: \( -1 \times -2 = 2 \)

Paydalar: \( 1 \times 3 = 3 \)

Sonuç: \( \frac{2}{3} \)

Rasyonel Sayılarla Bölme İşlemi

İki rasyonel sayıyı bölmek için, birinci rasyonel sayı (bölünen) aynı kalır, ikinci rasyonel sayının (bölen) çarpma işlemine göre tersi alınır ve bu iki rasyonel sayı çarpılır. Çarpma işlemine göre ters, pay ile paydanın yer değiştirmesiyle elde edilir.

Genel Kural:

\[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c} \]

Örnek 4:

Aşağıdaki bölme işlemini yapalım:

\[ \frac{1}{2} \div \frac{3}{4} \]

Çözüm:

Birinci kesir \( \frac{1}{2} \) aynı kalır.

İkinci kesrin \( \frac{3}{4} \) çarpma işlemine göre tersi \( \frac{4}{3} \) olur.

Şimdi çarpma işlemini yapalım:

\( \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{1 \times 4}{2 \times 3} = \frac{4}{6} \)

Sonucu sadeleştirelim:

\( \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)

Örnek 5:

Tam sayılarla bölme işlemi:

\( 5 \div \frac{2}{3} \)

Çözüm:

Tam sayıyı kesir olarak yazalım: \( 5 = \frac{5}{1} \)

Şimdi bölme işlemini uygulayalım:

\( \frac{5}{1} \div \frac{2}{3} = \frac{5}{1} \times \frac{3}{2} \)

Çarpma işlemini yapalım:

\( \frac{5 \times 3}{1 \times 2} = \frac{15}{2} \)

Örnek 6: Negatif rasyonel sayılarla bölme

İşaretlere dikkat edelim. Bir pozitif sayının bir negatif sayıya bölümü negatiftir.

\[ \frac{-2}{5} \div \frac{4}{3} \]

Çözüm:

Birinci kesir \( \frac{-2}{5} \) aynı kalır.

İkinci kesrin \( \frac{4}{3} \) çarpma işlemine göre tersi \( \frac{3}{4} \) olur.

Şimdi çarpma işlemini yapalım:

\( \frac{-2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{-2 \times 3}{5 \times 4} = \frac{-6}{20} \)

Sonucu sadeleştirelim:

\( \frac{-6}{20} = \frac{-3}{10} \)

Örnek 7: İki negatif rasyonel sayının bölümü

İki negatif sayının bölümü pozitiftir.

\[ \frac{-3}{7} \div \frac{-6}{14} \]

Çözüm:

Birinci kesir \( \frac{-3}{7} \) aynı kalır.

İkinci kesrin \( \frac{-6}{14} \) çarpma işlemine göre tersi \( \frac{14}{-6} \) olur.

Şimdi çarpma işlemini yapalım:

\( \frac{-3}{7} \times \frac{14}{-6} \)

Sadeleştirme yapalım: 3 ile 6 sadeleşir (3'e bölünür), 7 ile 14 sadeleşir (7'ye bölünür).

\( \frac{-1}{1} \times \frac{2}{-1} \)

Paylar: \( -1 \times 2 = -2 \)

Paydalar: \( 1 \times -1 = -1 \)

Sonuç: \( \frac{-2}{-1} = 2 \)

Günlük Hayattan Bir Örnek:

Bir pasta \( \frac{3}{4} \) oranında dolu. Bu pastanın \( \frac{1}{2} \) kadarını kullanırsak, pastanın ne kadarını kullanmış oluruz? Bu bir çarpma işlemidir: \( \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8} \). Yani pastanın \( \frac{3}{8} \) kadarını kullanmış oluruz.

Başka bir örnek: Elimizdeki \( \frac{5}{6} \) litre sütü, her biri \( \frac{1}{3} \) litre alan şişelere doldurmak istiyoruz. Kaç şişe süt doldurabiliriz? Bu bir bölme işlemidir: \( \frac{5}{6} \div \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \times \frac{3}{1} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2.5 \) şişe.