🎓 7. Sınıf
📚 7. Sınıf Matematik
💡 7. Sınıf Matematik: Paralel doğrular ve kesen Çözümlü Örnekler
7. Sınıf Matematik: Paralel doğrular ve kesen Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birbirine paralel olan d1 ve d2 doğrularını, bu iki doğruyu kesen d3 doğrusu veriliyor. d3 doğrusunun d1 doğrusunu kestiği noktada oluşan açılardan biri \( 75^\circ \) ise, diğer açılar kaçar derecedir? 💡
Çözüm:
Paralel doğrular ve kesen konusunda temel açılar şunlardır:
- İç Ters Açılar: Yönleri ters ve paralel doğrular arasında kalan açılardır. Eşit ölçülüdürler.
- Yöndeş Açılar: Aynı yöne bakan ve paralel doğrularla kesenin oluşturduğu açılardır. Eşit ölçülüdürler.
- Karşıt Açılar: Kesişim noktalarında oluşan ve birbirine zıt yönlü açılardır. Eşit ölçülüdürler.
- Karşı Durumlu Açılar: Paralel doğrular arasında kalan ve toplamları \( 180^\circ \) olan açılardır.
- Karşıt açısı da \( 75^\circ \) olur.
- Buna komşu olan ve bütünler açı oluşturan diğer açı \( 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \) olur.
- Bu \( 105^\circ \) açının karşıt açısı da \( 105^\circ \) olur.
- d1 doğrusu üzerindeki \( 75^\circ \) açının yöndeş açısı, d2 doğrusu üzerinde \( 75^\circ \) olur.
- d1 doğrusu üzerindeki \( 105^\circ \) açının yöndeş açısı, d2 doğrusu üzerinde \( 105^\circ \) olur.
Örnek 2:
Şekilde, d1 // d2 ve d3 doğrusu bu iki doğruyu kesmektedir.
d1 doğrusu ile d3 doğrusu arasında oluşan açılardan biri \( \alpha \) ve d2 doğrusu ile d3 doğrusu arasında oluşan açılardan biri \( \beta \) olarak verilmiştir. Eğer \( \alpha \) ve \( \beta \) karşı durumlu açılar ise ve \( \alpha = 3x + 10 \) ile \( \beta = 2x + 50 \) olarak ifade ediliyorsa, \( x \) değeri kaçtır? 🤔
d1 doğrusu ile d3 doğrusu arasında oluşan açılardan biri \( \alpha \) ve d2 doğrusu ile d3 doğrusu arasında oluşan açılardan biri \( \beta \) olarak verilmiştir. Eğer \( \alpha \) ve \( \beta \) karşı durumlu açılar ise ve \( \alpha = 3x + 10 \) ile \( \beta = 2x + 50 \) olarak ifade ediliyorsa, \( x \) değeri kaçtır? 🤔
Çözüm:
Karşı durumlu açılar, paralel doğrular arasında kalan ve toplamları \( 180^\circ \) olan açılardır.
Bu nedenle, \( \alpha + \beta = 180^\circ \) olmalıdır.
Verilen ifadeleri yerine koyalım:
\[ (3x + 10) + (2x + 50) = 180 \]
Denklemi çözelim:
Bu nedenle, \( \alpha + \beta = 180^\circ \) olmalıdır.
Verilen ifadeleri yerine koyalım:
\[ (3x + 10) + (2x + 50) = 180 \]
Denklemi çözelim:
- Benzer terimleri bir araya getirelim: \( 3x + 2x + 10 + 50 = 180 \)
- Bu da \( 5x + 60 = 180 \) eder.
- Her iki taraftan 60 çıkaralım: \( 5x = 180 - 60 \)
- \( 5x = 120 \)
- Her iki tarafı 5'e bölelim: \( x = \frac{120}{5} \)
- \( x = 24 \)
Örnek 3:
Birbirine paralel iki ray hattı üzerinde ilerleyen iki tren düşünelim. Bu trenlerden biri, diğerine göre \( 30^\circ \) daha yatık bir açıyla hareket etmeye başlıyor. Eğer trenlerin hareket ettiği hatlar birbirine paralel ise, bu iki trenin hareket doğrultuları arasındaki dar açı kaç derecedir? 🚂
Çözüm:
Bu problemde, trenlerin hareket ettiği ray hatları birbirine paraleldir.
Bir trenin hareket doğrultusu bir doğruyu, diğer trenin hareket doğrultusu ise bu paralel doğruları kesen başka bir doğruyu temsil eder.
Soruda verilen \( 30^\circ \) fark, kesen doğrunun paralel doğrularla yaptığı açılardan birinin diğerinden ne kadar farklı olduğunu ifade eder.
Eğer bir trenin hareket açısı \( \alpha \) ise, diğer trenin hareket açısı \( \alpha + 30^\circ \) veya \( \alpha - 30^\circ \) olabilir.
Ancak, soruda "diğerine göre \( 30^\circ \) daha yatık" ifadesi, aralarındaki açının \( 30^\circ \) olduğunu ima eder.
Paralel doğruları kesen bir doğrunun oluşturduğu açılar arasında, örneğin yöndeş açılar, iç ters açılar veya karşı durumlu açılar gibi ilişkiler vardır.
Eğer iki trenin hareket doğrultuları arasındaki fark \( 30^\circ \) ise, bu fark doğrudan aralarındaki dar açıyı temsil eder.
Dolayısıyla, trenlerin hareket doğrultuları arasındaki dar açı \( 30^\circ \) olur. 💡
Bir trenin hareket doğrultusu bir doğruyu, diğer trenin hareket doğrultusu ise bu paralel doğruları kesen başka bir doğruyu temsil eder.
Soruda verilen \( 30^\circ \) fark, kesen doğrunun paralel doğrularla yaptığı açılardan birinin diğerinden ne kadar farklı olduğunu ifade eder.
Eğer bir trenin hareket açısı \( \alpha \) ise, diğer trenin hareket açısı \( \alpha + 30^\circ \) veya \( \alpha - 30^\circ \) olabilir.
Ancak, soruda "diğerine göre \( 30^\circ \) daha yatık" ifadesi, aralarındaki açının \( 30^\circ \) olduğunu ima eder.
Paralel doğruları kesen bir doğrunun oluşturduğu açılar arasında, örneğin yöndeş açılar, iç ters açılar veya karşı durumlu açılar gibi ilişkiler vardır.
Eğer iki trenin hareket doğrultuları arasındaki fark \( 30^\circ \) ise, bu fark doğrudan aralarındaki dar açıyı temsil eder.
Dolayısıyla, trenlerin hareket doğrultuları arasındaki dar açı \( 30^\circ \) olur. 💡
Örnek 4:
Bir evin duvarları birbirine paraleldir. Bir merdiven bu iki duvarı keserek yerleştirildiğinde, merdivenin bir duvara yaslandığı noktada oluşan açılardan biri \( 60^\circ \) ise, diğer duvara yaslandığı noktada oluşan ve ilk açıyla karşı durumlu olan açı kaç derecedir? 🪜
Çözüm:
Bu senaryoda, evin paralel duvarları birbirine paralel doğruları temsil eder.
Merdiven ise bu paralel doğruları kesen bir doğrudur.
Soruda, merdivenin bir duvara yaslandığı noktada oluşan açılardan birinin \( 60^\circ \) olduğu belirtiliyor.
Diğer duvara yaslandığı noktada oluşan ve ilk açıyla karşı durumlu olan açı soruluyor.
Ancak, burada dikkat etmemiz gereken nokta, karşı durumlu açıların paralel doğrular arasında olması gerektiğidir.
Eğer \( 60^\circ \) açısı, paralel duvarlardan biri ile merdiven arasında oluşmuşsa, bu açının iç tersi veya yöndeşi diğer paralel duvarla merdiven arasında aynı \( 60^\circ \) değerinde bir açı oluşturur.
Eğer soruda kastedilen, merdivenin bir duvara yaslandığı noktadaki \( 60^\circ \) açısının, aynı noktada oluşan ve bütünler olduğu açı ise, bu \( 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) olur.
Eğer kastedilen, diğer duvara yaslandığı noktada oluşan ve ilk \( 60^\circ \) açısıyla yöndeş olan açı ise, bu da \( 60^\circ \) olur.
Eğer kastedilen, diğer duvara yaslandığı noktada oluşan ve ilk \( 60^\circ \) açısıyla iç ters olan açı ise, bu da \( 60^\circ \) olur.
Soruda "karşı durumlu" ifadesi kullanıldığı için, bu durum biraz kafa karıştırıcı olabilir. Ancak, paralel doğrular ve kesen konusunda, bir noktadaki açının diğer noktadaki açıyla ilişkisi genellikle yöndeşlik veya iç terslik üzerinden kurulur.
Eğer \( 60^\circ \) açısı, bir paralel doğru ile kesenin oluşturduğu bir açı ise, diğer paralel doğru ile kesenin oluşturduğu iç ters açı da \( 60^\circ \) olacaktır.
Bu nedenle, merdivenin diğer duvara yaslandığı noktada oluşan ve ilk \( 60^\circ \) açısıyla iç ters açı ilişkisi kurabileceğimiz açı \( 60^\circ \) olur. ✅
Merdiven ise bu paralel doğruları kesen bir doğrudur.
Soruda, merdivenin bir duvara yaslandığı noktada oluşan açılardan birinin \( 60^\circ \) olduğu belirtiliyor.
Diğer duvara yaslandığı noktada oluşan ve ilk açıyla karşı durumlu olan açı soruluyor.
Ancak, burada dikkat etmemiz gereken nokta, karşı durumlu açıların paralel doğrular arasında olması gerektiğidir.
Eğer \( 60^\circ \) açısı, paralel duvarlardan biri ile merdiven arasında oluşmuşsa, bu açının iç tersi veya yöndeşi diğer paralel duvarla merdiven arasında aynı \( 60^\circ \) değerinde bir açı oluşturur.
Eğer soruda kastedilen, merdivenin bir duvara yaslandığı noktadaki \( 60^\circ \) açısının, aynı noktada oluşan ve bütünler olduğu açı ise, bu \( 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) olur.
Eğer kastedilen, diğer duvara yaslandığı noktada oluşan ve ilk \( 60^\circ \) açısıyla yöndeş olan açı ise, bu da \( 60^\circ \) olur.
Eğer kastedilen, diğer duvara yaslandığı noktada oluşan ve ilk \( 60^\circ \) açısıyla iç ters olan açı ise, bu da \( 60^\circ \) olur.
Soruda "karşı durumlu" ifadesi kullanıldığı için, bu durum biraz kafa karıştırıcı olabilir. Ancak, paralel doğrular ve kesen konusunda, bir noktadaki açının diğer noktadaki açıyla ilişkisi genellikle yöndeşlik veya iç terslik üzerinden kurulur.
Eğer \( 60^\circ \) açısı, bir paralel doğru ile kesenin oluşturduğu bir açı ise, diğer paralel doğru ile kesenin oluşturduğu iç ters açı da \( 60^\circ \) olacaktır.
Bu nedenle, merdivenin diğer duvara yaslandığı noktada oluşan ve ilk \( 60^\circ \) açısıyla iç ters açı ilişkisi kurabileceğimiz açı \( 60^\circ \) olur. ✅
Örnek 5:
d1 ve d2 doğruları birbirine paraleldir. d3 doğrusu d1'i A noktasında, d2'yi ise B noktasında kesmektedir.
A noktasında oluşan açılardan biri \( m(\angle 1) = 4y - 20 \) ve B noktasında oluşan açılardan biri \( m(\angle 2) = 2y + 40 \) olarak verilmiştir.
Eğer \( \angle 1 \) ve \( \angle 2 \) iç ters açılar ise, \( y \) değeri kaçtır? 📈
A noktasında oluşan açılardan biri \( m(\angle 1) = 4y - 20 \) ve B noktasında oluşan açılardan biri \( m(\angle 2) = 2y + 40 \) olarak verilmiştir.
Eğer \( \angle 1 \) ve \( \angle 2 \) iç ters açılar ise, \( y \) değeri kaçtır? 📈
Çözüm:
İç ters açılar, paralel doğruları kesen bir doğrunun oluşturduğu ve yönleri ters olan, paralel doğrular arasında kalan açılardır. İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Soruda \( \angle 1 \) ve \( \angle 2 \) iç ters açılar olarak verildiği için, ölçüleri birbirine eşit olmalıdır.
\[ m(\angle 1) = m(\angle 2) \]
Verilen ifadeleri yerine koyalım:
\[ 4y - 20 = 2y + 40 \]
Denklemi \( y \) için çözelim:
Soruda \( \angle 1 \) ve \( \angle 2 \) iç ters açılar olarak verildiği için, ölçüleri birbirine eşit olmalıdır.
\[ m(\angle 1) = m(\angle 2) \]
Verilen ifadeleri yerine koyalım:
\[ 4y - 20 = 2y + 40 \]
Denklemi \( y \) için çözelim:
- \( y \) terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım: \( 4y - 2y = 40 + 20 \)
- Bu da \( 2y = 60 \) eder.
- Her iki tarafı 2'ye bölelim: \( y = \frac{60}{2} \)
- \( y = 30 \)
Örnek 6:
Birbirine paralel iki elektrik direği arasındaki mesafeyi ölçmek için bir ip kullanılıyor. İp, direklerin tepelerini birleştiren bir doğru parçası ve yere paralel bir doğru parçası ile bir üçgen oluşturuyor.
Eğer yere paralel olan doğru parçası ile direklerden birinin tepesinden geçen ip arasında oluşan açı \( 55^\circ \) ise, diğer direğin tepesinden geçen ip ile yere paralel olan doğru parçası arasında oluşan ve ilk açıyla yöndeş olan açı kaç derecedir? 📏
Eğer yere paralel olan doğru parçası ile direklerden birinin tepesinden geçen ip arasında oluşan açı \( 55^\circ \) ise, diğer direğin tepesinden geçen ip ile yere paralel olan doğru parçası arasında oluşan ve ilk açıyla yöndeş olan açı kaç derecedir? 📏
Çözüm:
Bu problemde, elektrik direklerinin kendileri birbirine paraleldir.
Yere paralel olan doğru parçası da bu direklere paraleldir.
İp ise bu paralel doğruları kesen bir doğrudur.
Soruda, yere paralel doğru parçası ile direklerden birinin tepesinden geçen ip arasında oluşan açının \( 55^\circ \) olduğu belirtiliyor.
Diğer direğin tepesinden geçen ip ile yere paralel olan doğru parçası arasında oluşan ve ilk açıyla yöndeş olan açı soruluyor.
Yöndeş açılar, kesen doğrunun aynı tarafında ve paralel doğruların aynı yönünde bulunan açılardır. Yöndeş açıların ölçüleri eşittir.
Bu durumda, yere paralel doğru parçası üzerinde oluşan \( 55^\circ \) açısının, diğer direğin tepesinden geçen ip ile yere paralel olan doğru parçası arasında oluşan yöndeş açısı da \( 55^\circ \) olacaktır.
Bu, direklerin arasındaki mesafeyi ölçerken, ipin her iki direğe de aynı açıyla bağlı olduğunu gösterir. ✅
Yere paralel olan doğru parçası da bu direklere paraleldir.
İp ise bu paralel doğruları kesen bir doğrudur.
Soruda, yere paralel doğru parçası ile direklerden birinin tepesinden geçen ip arasında oluşan açının \( 55^\circ \) olduğu belirtiliyor.
Diğer direğin tepesinden geçen ip ile yere paralel olan doğru parçası arasında oluşan ve ilk açıyla yöndeş olan açı soruluyor.
Yöndeş açılar, kesen doğrunun aynı tarafında ve paralel doğruların aynı yönünde bulunan açılardır. Yöndeş açıların ölçüleri eşittir.
Bu durumda, yere paralel doğru parçası üzerinde oluşan \( 55^\circ \) açısının, diğer direğin tepesinden geçen ip ile yere paralel olan doğru parçası arasında oluşan yöndeş açısı da \( 55^\circ \) olacaktır.
Bu, direklerin arasındaki mesafeyi ölçerken, ipin her iki direğe de aynı açıyla bağlı olduğunu gösterir. ✅
Örnek 7:
İki paralel doğru, üçüncü bir doğru tarafından kesiliyor. Kesişim noktalarından birinde oluşan açılardan biri \( 110^\circ \) ise, bu açının oluşturduğu diğer üç açının ölçüleri toplamı kaç derecedir? ➕
Çözüm:
Bir noktada iki doğrunun kesişmesiyle dört açı oluşur. Bu açılardan biri \( 110^\circ \) ise:
Soruda, ilk kesişim noktasında oluşan açılardan birinin \( 110^\circ \) olduğu ve bu açının oluşturduğu diğer üç açının ölçüleri toplamı soruluyor.
Bu diğer üç açı şunlardır: \( 70^\circ \), \( 110^\circ \) (karşıt açısı) ve \( 70^\circ \) (diğer bütünler açı).
Bu üç açının toplamı: \( 70^\circ + 110^\circ + 70^\circ = 250^\circ \) olur.
Ancak, eğer soru "bir kesişim noktasında oluşan 4 açının toplamı" veya "diğer kesişim noktasında oluşan açılarla ilgili bir durum" sormuyorsa, direkt olarak ilk noktadaki diğer üç açının toplamı sorulmuştur.
Bu durumda cevap \( 250^\circ \) olmalıdır. 📌
- Karşıt açısı: \( 110^\circ \) olur.
- Bütünler açıları: \( 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \) olur. Bu açıdan iki tane vardır (biri \( 110^\circ \) açısının komşusu, diğeri de onun karşıt açısının komşusu).
Soruda, ilk kesişim noktasında oluşan açılardan birinin \( 110^\circ \) olduğu ve bu açının oluşturduğu diğer üç açının ölçüleri toplamı soruluyor.
Bu diğer üç açı şunlardır: \( 70^\circ \), \( 110^\circ \) (karşıt açısı) ve \( 70^\circ \) (diğer bütünler açı).
Bu üç açının toplamı: \( 70^\circ + 110^\circ + 70^\circ = 250^\circ \) olur.
Ancak, eğer soru "bir kesişim noktasında oluşan 4 açının toplamı" veya "diğer kesişim noktasında oluşan açılarla ilgili bir durum" sormuyorsa, direkt olarak ilk noktadaki diğer üç açının toplamı sorulmuştur.
Bu durumda cevap \( 250^\circ \) olmalıdır. 📌
Örnek 8:
d1 ve d2 doğruları birbirine paraleldir. d3 doğrusu d1'i K noktasında, d2'yi ise L noktasında kesmektedir.
K noktasında oluşan açılardan biri \( m(\angle A) = 5a + 15 \) ve L noktasında oluşan açılardan biri \( m(\angle B) = 3a + 45 \) olarak verilmiştir.
Eğer \( \angle A \) ve \( \angle B \) karşı durumlu açılar ise, \( a \) değeri kaçtır? 🧮
K noktasında oluşan açılardan biri \( m(\angle A) = 5a + 15 \) ve L noktasında oluşan açılardan biri \( m(\angle B) = 3a + 45 \) olarak verilmiştir.
Eğer \( \angle A \) ve \( \angle B \) karşı durumlu açılar ise, \( a \) değeri kaçtır? 🧮
Çözüm:
Karşı durumlu açılar, paralel doğrular arasında kalan ve toplamları \( 180^\circ \) olan açılardır.
Soruda \( \angle A \) ve \( \angle B \) karşı durumlu açılar olarak verildiği için, toplamları \( 180^\circ \) olmalıdır.
\[ m(\angle A) + m(\angle B) = 180^\circ \]
Verilen ifadeleri yerine koyalım:
\[ (5a + 15) + (3a + 45) = 180 \]
Denklemi \( a \) için çözelim:
Soruda \( \angle A \) ve \( \angle B \) karşı durumlu açılar olarak verildiği için, toplamları \( 180^\circ \) olmalıdır.
\[ m(\angle A) + m(\angle B) = 180^\circ \]
Verilen ifadeleri yerine koyalım:
\[ (5a + 15) + (3a + 45) = 180 \]
Denklemi \( a \) için çözelim:
- Benzer terimleri bir araya getirelim: \( 5a + 3a + 15 + 45 = 180 \)
- Bu da \( 8a + 60 = 180 \) eder.
- Her iki taraftan 60 çıkaralım: \( 8a = 180 - 60 \)
- \( 8a = 120 \)
- Her iki tarafı 8'e bölelim: \( a = \frac{120}{8} \)
- \( a = 15 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/7-sinif-matematik-paralel-dogrular-ve-kesen/sorular