Kesir Ders Notu

🔢 Rasyonel Sayılar ve İşlemler

7. Sınıf matematik müfredatında kesirler konusu, rasyonel sayılar kümesine genişletilerek ele alınır. Payı ve paydası birer tam sayı olan (paydası sıfır olmayan) sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar \( \mathbb{Q} \) harfi ile gösterilir. Her tam sayı, paydası \( 1 \) olan bir rasyonel sayıdır.

🔍 Rasyonel Sayılarda Sıralama

Rasyonel sayıları sıralarken şu yöntemler kullanılır:

• Pozitif rasyonel sayılarda paydalar eşitse, payı büyük olan daha büyüktür.
• Paydalar eşit değilse, genişletme veya sadeleştirme yapılarak paydalar eşitlenir.
• Negatif rasyonel sayılarda sıralama yapılırken, sayılar pozitifmiş gibi düşünülür ve sıralanır, ardından yön değiştirilir.
• Sıfır, tüm negatif rasyonel sayılardan büyüktür.

Önemli Not: \( - \frac{1}{2} \) ile \( - \frac{3}{4} \) sayılarını karşılaştıralım. Paydaları \( 4 \) olacak şekilde genişletirsek; \( - \frac{2}{4} \) ve \( - \frac{3}{4} \) elde ederiz. Pozitif olsalardı \( \frac{3}{4} > \frac{2}{4} \) olurdu. Negatif oldukları için \( - \frac{2}{4} > - \frac{3}{4} \) sonucuna ulaşırız.

➕ Rasyonel Sayılarda Toplama ve Çıkarma

Rasyonel sayılarla toplama veya çıkarma işlemi yapabilmek için paydaların eşit olması şarttır. Paydalar eşitlendikten sonra paylar toplanır veya çıkarılır, ortak payda aynen yazılır.

Örnek: \( \frac{2}{5} + \frac{1}{3} \) işlemini yapalım.

Paydaları \( 15 \)'te eşitleyelim: \( \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{6}{15} \) ve \( \frac{1 \times 5}{3 \times 5} = \frac{5}{15} \).

Sonuç: \( \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15} \).

✖️ Rasyonel Sayılarda Çarpma ve Bölme

Çarpma işleminde paylar kendi arasında çarpılıp paya, paydalar kendi arasında çarpılıp paydaya yazılır. Bölme işleminde ise birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilip çarpılır.

İşlem	Kural
Çarpma	\( \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \)
Bölme	\( \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \)

💡 Günlük Yaşamdan Örnekler

Bir pastanın \( \frac{1}{4} \)'ünü yediğinizi düşünün. Geriye kalan miktarı bulmak için \( 1 - \frac{1}{4} \) işlemini yaparız. \( 1 \) sayısını \( \frac{4}{4} \) olarak düşünürsek; \( \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \) kalır.

⚡ Çok Adımlı İşlemler

İşlem önceliği kuralı rasyonel sayılarda da geçerlidir. Parantez içi, çarpma/bölme ve son olarak toplama/çıkarma işlemleri yapılır.

Çözümlü Örnek: \( 1 - \frac{1}{2} \div \frac{1}{4} \) işleminin sonucu nedir?

Öncelikle bölme işlemi yapılır: \( \frac{1}{2} \div \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{1} = \frac{4}{2} = 2 \).

Ardından çıkarma işlemi yapılır: \( 1 - 2 = -1 \).