💡 7. Sınıf Matematik: İki paralel doğru ile bir kesenin oluşturduğu açılar Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Birbirine paralel olan \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularını, bir \( k \) doğrusu kesmektedir. \( d_1 \) doğrusu ile \( k \) doğrusunun kesiştiği noktada oluşan sağ üst açı \( 115^\circ \) olarak ölçülmüştür.
Buna göre, \( d_2 \) doğrusu ile \( k \) doğrusunun kesiştiği noktada oluşan ve bu açıyla yöndeş olan açının ölçüsü kaç derecedir? 💡
Çözüm ve Açıklama
Bu soruyu çözmek için yöndeş açıların özelliğini hatırlayalım:
Yöndeş Açılar: Paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açılardan aynı yöne bakan açılara denir.
Paralel doğrularda yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Soruda verilen açı \( 115^\circ \) olduğuna göre, onunla aynı yöne bakan yöndeş açının ölçüsü de aynı kalacaktır.
✅ Sonuç: \( 115^\circ \)
2
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Aşağıda verilen \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları birbirine paraleldir (\( d_1 \parallel d_2 \)). Bu doğruları kesen bir \( m \) doğrusu sonucunda oluşan iç ters açılardan birinin ölçüsü \( 4x - 10 \), diğerinin ölçüsü ise \( 70^\circ \) olarak verilmiştir.
Buna göre \( x \) değişkeninin değeri kaçtır? 🔍
Çözüm ve Açıklama
Çözüm adımları şu şekildedir:
İç Ters Açılar: Paralel doğruların arasında kalan ve kesenin zıt taraflarında bulunan açılardır.
İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir (Geometride bu durum Z kuralı olarak da bilinir).
Verilen değerleri birbirine eşitleyerek denklemi kuralım:
\( 4x - 10 = 70 \)
\( -10 \) sayısı eşitliğin karşı tarafına \( +10 \) olarak geçer:
\( 4x = 70 + 10 \)
\( 4x = 80 \)
Her iki tarafı \( 4 \)'e böldüğümüzde:
\( x = 20 \) bulunur.
✅ Cevap: \( 20 \)
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Birbirine paralel \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları arasında kalan ve kesenin aynı tarafında bulunan iki açıya karşı durumlu açılar (U kuralı) denir.
Bu açılardan birinin ölçüsü \( 2x + 20 \), diğerinin ölçüsü ise \( 80^\circ \) olduğuna göre \( x \) kaçtır? 📐
Çözüm ve Açıklama
Karşı durumlu açıların temel özelliğini uygulayalım:
Karşı Durumlu Açılar: Bu açıların ölçüleri toplamı her zaman \( 180^\circ \)'ye eşittir.
M Kuralı: Birbirine paralel iki doğru arasında bir "M" harfi oluşturacak şekilde iki kırık çizgi çizilmiştir. Sola bakan dar açıların ölçüleri \( 35^\circ \) ve \( 45^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu iki açının arasında kalan ve sağa bakan açının ölçüsü kaç derecedir? 👈👉
Çözüm ve Açıklama
M kuralının mantığını kullanalım:
Paralel doğrular arasında aynı yöne bakan açıların toplamı, zıt yöne bakan açının ölçüsüne eşittir.
Sola bakan açılar: \( 35^\circ \) ve \( 45^\circ \)
Sağa bakan açıya \( a \) dersek;
\( a = 35 + 45 \)
\( a = 80^\circ \) bulunur.
✅ Cevap: \( 80^\circ \)
5
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Zikzak Kuralı: Birbirine paralel \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları arasında bir zikzak çizilmiştir. Sola bakan açıların ölçüleri \( 30^\circ \), \( x \) ve \( 20^\circ \)'dir. Sağa bakan açıların ölçüleri ise \( 50^\circ \) ve \( 40^\circ \)'dir.
Buna göre \( x \) açısı kaç derecedir? ⚡
Çözüm ve Açıklama
Zikzak kuralını (Genişletilmiş M kuralı) uygulayalım:
Sola bakan açıların toplamı = Sağa bakan açıların toplamı
Sola bakanların toplamı: \( 30 + x + 20 = 50 + x \)
Sağa bakanların toplamı: \( 50 + 40 = 90 \)
Şimdi denklemi kuralım:
\( 50 + x = 90 \)
\( x = 90 - 50 \)
\( x = 40^\circ \) bulunur.
✅ Cevap: \( 40^\circ \)
6
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir yaya geçidinde yerdeki beyaz çizgiler birbirine paraleldir. Bu çizgileri çapraz bir şekilde kesen bir bisiklet yolunun kenar çizgisi, beyaz çizgilerden biriyle \( 65^\circ \)'lik bir dış ters açı oluşturmaktadır.
Bisiklet yolunun diğer paralel beyaz çizgiyle oluşturduğu diğer dış ters açının ölçüsü kaç derecedir? 🚲
Çözüm ve Açıklama
Günlük hayattaki bu durumu geometri kurallarıyla açıklayalım:
Yaya geçidindeki beyaz çizgiler paralel doğruları temsil eder.
Bisiklet yolu ise bu doğruları kesen bir doğrudur.
Dış Ters Açılar: Paralel doğruların dışında kalan ve kesenin zıt yönlerinde bulunan açılardır.
Kural gereği dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Bu nedenle, bir taraftaki dış ters açı \( 65^\circ \) ise diğeri de \( 65^\circ \) olur.
✅ Cevap: \( 65^\circ \)
7
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Marangoz Ahmet Bey, birbirine paralel iki tahta parçasını birleştirmek için araya "Z" şeklinde bir destek çıtası koyuyor. Üstteki tahta ile çıta arasındaki dar açı \( 55^\circ \) olarak ölçülüyor.
Alt tahta ile çıta arasında oluşan diğer iç ters açının bütünleri olan açının ölçüsü kaç derecedir? 🛠️
Çözüm ve Açıklama
Adım adım çözelim:
Tahtalar paralel olduğu için iç ters açılar kuralı geçerlidir.
Üstteki açı \( 55^\circ \) ise, alttaki iç ters açı da ona eşittir ve \( 55^\circ \)'dir.
Soru bizden bu açının bütünlerini istemektedir.
Bütünler açılar toplamı \( 180^\circ \) olduğu için:
\( 180 - 55 = 125^\circ \) bulunur.
✅ Cevap: \( 125^\circ \)
8
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir robot kolu, birbirine paralel iki metal levha arasında hareket etmektedir. Robot kolu levhalar arasında iki kez kırılma yaparak bir kalem ucu (roket) şekli oluşturuyor. Levhalarla kolun oluşturduğu iç açılar \( 140^\circ \) ve \( 130^\circ \) olduğuna göre, ortadaki kırılma noktasında oluşan \( x \) açısı kaç derecedir? 🤖
Çözüm ve Açıklama
Bu şekil geometride Kalem Ucu Kuralı olarak bilinir ve U kuralının bir uzantısıdır:
Paralel iki doğru arasında aynı yöne bakan üç iç açının toplamı \( 360^\circ \)'dir.
Verilen açıları toplayalım: \( 140 + 130 = 270 \)
Toplamdan çıkararak bilinmeyen \( x \) açısını bulalım:
\( 360 - 270 = 90^\circ \)
Bu durumda robot kolu orta noktada dik bir açı yapmıştır.
✅ Cevap: \( 90^\circ \)
7. Sınıf Matematik: İki paralel doğru ile bir kesenin oluşturduğu açılar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birbirine paralel olan \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularını, bir \( k \) doğrusu kesmektedir. \( d_1 \) doğrusu ile \( k \) doğrusunun kesiştiği noktada oluşan sağ üst açı \( 115^\circ \) olarak ölçülmüştür.
Buna göre, \( d_2 \) doğrusu ile \( k \) doğrusunun kesiştiği noktada oluşan ve bu açıyla yöndeş olan açının ölçüsü kaç derecedir? 💡
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için yöndeş açıların özelliğini hatırlayalım:
Yöndeş Açılar: Paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açılardan aynı yöne bakan açılara denir.
Paralel doğrularda yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Soruda verilen açı \( 115^\circ \) olduğuna göre, onunla aynı yöne bakan yöndeş açının ölçüsü de aynı kalacaktır.
✅ Sonuç: \( 115^\circ \)
Örnek 2:
Aşağıda verilen \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları birbirine paraleldir (\( d_1 \parallel d_2 \)). Bu doğruları kesen bir \( m \) doğrusu sonucunda oluşan iç ters açılardan birinin ölçüsü \( 4x - 10 \), diğerinin ölçüsü ise \( 70^\circ \) olarak verilmiştir.
Buna göre \( x \) değişkeninin değeri kaçtır? 🔍
Çözüm:
Çözüm adımları şu şekildedir:
İç Ters Açılar: Paralel doğruların arasında kalan ve kesenin zıt taraflarında bulunan açılardır.
İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir (Geometride bu durum Z kuralı olarak da bilinir).
Verilen değerleri birbirine eşitleyerek denklemi kuralım:
\( 4x - 10 = 70 \)
\( -10 \) sayısı eşitliğin karşı tarafına \( +10 \) olarak geçer:
\( 4x = 70 + 10 \)
\( 4x = 80 \)
Her iki tarafı \( 4 \)'e böldüğümüzde:
\( x = 20 \) bulunur.
✅ Cevap: \( 20 \)
Örnek 3:
Birbirine paralel \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları arasında kalan ve kesenin aynı tarafında bulunan iki açıya karşı durumlu açılar (U kuralı) denir.
Bu açılardan birinin ölçüsü \( 2x + 20 \), diğerinin ölçüsü ise \( 80^\circ \) olduğuna göre \( x \) kaçtır? 📐
Çözüm:
Karşı durumlu açıların temel özelliğini uygulayalım:
Karşı Durumlu Açılar: Bu açıların ölçüleri toplamı her zaman \( 180^\circ \)'ye eşittir.
M Kuralı: Birbirine paralel iki doğru arasında bir "M" harfi oluşturacak şekilde iki kırık çizgi çizilmiştir. Sola bakan dar açıların ölçüleri \( 35^\circ \) ve \( 45^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu iki açının arasında kalan ve sağa bakan açının ölçüsü kaç derecedir? 👈👉
Çözüm:
M kuralının mantığını kullanalım:
Paralel doğrular arasında aynı yöne bakan açıların toplamı, zıt yöne bakan açının ölçüsüne eşittir.
Sola bakan açılar: \( 35^\circ \) ve \( 45^\circ \)
Sağa bakan açıya \( a \) dersek;
\( a = 35 + 45 \)
\( a = 80^\circ \) bulunur.
✅ Cevap: \( 80^\circ \)
Örnek 5:
Zikzak Kuralı: Birbirine paralel \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları arasında bir zikzak çizilmiştir. Sola bakan açıların ölçüleri \( 30^\circ \), \( x \) ve \( 20^\circ \)'dir. Sağa bakan açıların ölçüleri ise \( 50^\circ \) ve \( 40^\circ \)'dir.
Buna göre \( x \) açısı kaç derecedir? ⚡
Çözüm:
Zikzak kuralını (Genişletilmiş M kuralı) uygulayalım:
Sola bakan açıların toplamı = Sağa bakan açıların toplamı
Sola bakanların toplamı: \( 30 + x + 20 = 50 + x \)
Sağa bakanların toplamı: \( 50 + 40 = 90 \)
Şimdi denklemi kuralım:
\( 50 + x = 90 \)
\( x = 90 - 50 \)
\( x = 40^\circ \) bulunur.
✅ Cevap: \( 40^\circ \)
Örnek 6:
Bir yaya geçidinde yerdeki beyaz çizgiler birbirine paraleldir. Bu çizgileri çapraz bir şekilde kesen bir bisiklet yolunun kenar çizgisi, beyaz çizgilerden biriyle \( 65^\circ \)'lik bir dış ters açı oluşturmaktadır.
Bisiklet yolunun diğer paralel beyaz çizgiyle oluşturduğu diğer dış ters açının ölçüsü kaç derecedir? 🚲
Çözüm:
Günlük hayattaki bu durumu geometri kurallarıyla açıklayalım:
Yaya geçidindeki beyaz çizgiler paralel doğruları temsil eder.
Bisiklet yolu ise bu doğruları kesen bir doğrudur.
Dış Ters Açılar: Paralel doğruların dışında kalan ve kesenin zıt yönlerinde bulunan açılardır.
Kural gereği dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Bu nedenle, bir taraftaki dış ters açı \( 65^\circ \) ise diğeri de \( 65^\circ \) olur.
✅ Cevap: \( 65^\circ \)
Örnek 7:
Marangoz Ahmet Bey, birbirine paralel iki tahta parçasını birleştirmek için araya "Z" şeklinde bir destek çıtası koyuyor. Üstteki tahta ile çıta arasındaki dar açı \( 55^\circ \) olarak ölçülüyor.
Alt tahta ile çıta arasında oluşan diğer iç ters açının bütünleri olan açının ölçüsü kaç derecedir? 🛠️
Çözüm:
Adım adım çözelim:
Tahtalar paralel olduğu için iç ters açılar kuralı geçerlidir.
Üstteki açı \( 55^\circ \) ise, alttaki iç ters açı da ona eşittir ve \( 55^\circ \)'dir.
Soru bizden bu açının bütünlerini istemektedir.
Bütünler açılar toplamı \( 180^\circ \) olduğu için:
\( 180 - 55 = 125^\circ \) bulunur.
✅ Cevap: \( 125^\circ \)
Örnek 8:
Bir robot kolu, birbirine paralel iki metal levha arasında hareket etmektedir. Robot kolu levhalar arasında iki kez kırılma yaparak bir kalem ucu (roket) şekli oluşturuyor. Levhalarla kolun oluşturduğu iç açılar \( 140^\circ \) ve \( 130^\circ \) olduğuna göre, ortadaki kırılma noktasında oluşan \( x \) açısı kaç derecedir? 🤖
Çözüm:
Bu şekil geometride Kalem Ucu Kuralı olarak bilinir ve U kuralının bir uzantısıdır:
Paralel iki doğru arasında aynı yöne bakan üç iç açının toplamı \( 360^\circ \)'dir.
Verilen açıları toplayalım: \( 140 + 130 = 270 \)
Toplamdan çıkararak bilinmeyen \( x \) açısını bulalım:
\( 360 - 270 = 90^\circ \)
Bu durumda robot kolu orta noktada dik bir açı yapmıştır.