💡 7. Sınıf Matematik: Doğrusal Sayı Dizileri Çözümlü Örnekler

Verilenler:

• İlk terim (\(a_1\)) = 5
• Ortak fark (\(d\)) = 3

Dizinin terimlerini bulalım:

• 1. Terim: \(a_1 = 5\)
• 2. Terim: \(a_2 = a_1 + d = 5 + 3 = 8\)
• 3. Terim: \(a_3 = a_2 + d = 8 + 3 = 11\)
• 4. Terim: \(a_4 = a_3 + d = 11 + 3 = 14\)

Böylece dizinin ilk 4 terimi 5, 8, 11, 14 olarak bulunur. ✅

Dizinin terimlerine bakalım: 2, 5, 8, 11, ...

Ardışık terimler arasındaki farkları hesaplayalım:

• \(5 - 2 = 3\)
• \(8 - 5 = 3\)
• \(11 - 8 = 3\)

Her zaman aynı farkı bulduğumuz için bu dizinin ortak farkı 3'tür. 👉

• \(a_n\) : n. terim
• \(a_1\) : İlk terim
• \(n\) : Terim sırası
• \(d\) : Ortak fark

Verilenler:

• \(a_{10} = 35\) (10. terim)
• \(n = 10\)
• \(d = 4\)

Formülde verilenleri yerine koyalım: \[ 35 = a_1 + (10-1) \times 4 \] \[ 35 = a_1 + 9 \times 4 \] \[ 35 = a_1 + 36 \]

İlk terimi (\(a_1\)) bulmak için denklemi çözelim: \[ a_1 = 35 - 36 \] \[ a_1 = -1 \]

Bu dizinin ilk terimi -1'dir. ✨

Verilenler:

• İlk terim (\(a_1\)) = 7
• 5. terim (\(a_5\)) = 23
• \(n=5\), \(m=1\)

Formülü kullanarak ortak farkı bulalım: \[ a_5 = a_1 + (5-1)d \] \[ 23 = 7 + 4d \]

Denklemi \(d\) için çözelim: \[ 23 - 7 = 4d \] \[ 16 = 4d \] \[ d = \frac{16}{4} \] \[ d = 4 \]

Bu dizinin ortak farkı 4'tür. 🚀

• İlk terim (\(a_1\)): İlk sıradaki koltuk sayısı = 12
• Ortak fark (\(d\)): Her sıradaki artış miktarı = 2
• Bulmak istediğimiz: 8. sıradaki koltuk sayısı (\(a_8\))

Doğrusal sayı dizisinin genel terim formülünü kullanabiliriz: \(a_n = a_1 + (n-1)d\)

Burada \(n=8\) ve verilen değerleri yerine koyalım: \[ a_8 = 12 + (8-1) \times 2 \] \[ a_8 = 12 + 7 \times 2 \] \[ a_8 = 12 + 14 \] \[ a_8 = 26 \]

Sinema salonunun 8. sırasında 26 koltuk bulunmaktadır. 🎉

Önce dizinin terimlerini bulalım:

• İlk terim (\(a_1\)): 5 TL
• Ortak fark (\(d\)): 2 TL
• Terim sayısı (\(n\)): 10 gün

Önce 10. gün Ayşe'nin kaç TL attığını bulalım: \[ a_{10} = a_1 + (n-1)d \] \[ a_{10} = 5 + (10-1) \times 2 \] \[ a_{10} = 5 + 9 \times 2 \] \[ a_{10} = 5 + 18 \] \[ a_{10} = 23 \]

Yani Ayşe 10. gün 23 TL atmıştır.

Şimdi ilk 10 gün boyunca atılan paranın toplamını bulalım. Aritmetik dizilerde toplam formülü: \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\) \[ S_{10} = \frac{10}{2}(a_1 + a_{10}) \] \[ S_{10} = 5(5 + 23) \] \[ S_{10} = 5(28) \] \[ S_{10} = 140 \]

10. günün sonunda Ayşe'nin kumbarasında biriken toplam para 140 TL'dir. 🥳

Verilenler:

• 3. terim (\(a_3\)) = 15
• 7. terim (\(a_7\)) = 31

Önce ortak farkı (\(d\)) bulalım. İki terim arasındaki farkı, terim sırası farkına böleriz: \[ d = \frac{a_7 - a_3}{7 - 3} \] \[ d = \frac{31 - 15}{4} \] \[ d = \frac{16}{4} \] \[ d = 4 \]

Ortak fark 4'tür. Şimdi ilk terimi (\(a_1\)) bulmak için 3. terimi kullanabiliriz: \[ a_3 = a_1 + (3-1)d \] \[ 15 = a_1 + 2 \times 4 \] \[ 15 = a_1 + 8 \] \[ a_1 = 15 - 8 \] \[ a_1 = 7 \]

İlk terim 7'dir. Şimdi 15. terimi (\(a_{15}\)) bulabiliriz: \[ a_{15} = a_1 + (15-1)d \] \[ a_{15} = 7 + 14 \times 4 \] \[ a_{15} = 7 + 56 \] \[ a_{15} = 63 \]

Bu dizinin 15. terimi 63'tür. 💯

Bilgileri belirleyelim:

• İlk terim (\(a_1\)): İlk tamir ücreti = 50 TL
• Ortak fark (\(d\)): Ücret artışı = 5 TL
• Terim sayısı (\(n\)): Tamir edilen bisiklet sayısı = 6

Önce 6. bisiklet tamiri için alacağı ücreti bulalım (\(a_6\)): \[ a_6 = a_1 + (n-1)d \] \[ a_6 = 50 + (6-1) \times 5 \] \[ a_6 = 50 + 5 \times 5 \] \[ a_6 = 50 + 25 \] \[ a_6 = 75 \]

6. bisiklet tamiri için 75 TL alacaktır.

Şimdi ilk 6 tamir için kazandığı toplam parayı bulalım. Aritmetik dizinin toplam formülü: \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\) \[ S_6 = \frac{6}{2}(a_1 + a_6) \] \[ S_6 = 3(50 + 75) \] \[ S_6 = 3(125) \] \[ S_6 = 375 \]

Tamirci 6. bisikletini tamir ettiğinde toplam 375 TL kazanmış olur. 💸

Verilen genel terim: \(a_n = 5n - 2\)

Önce 20. terimi bulalım (\(n=20\)): \[ a_{20} = 5 \times 20 - 2 \] \[ a_{20} = 100 - 2 \] \[ a_{20} = 98 \]

Şimdi 10. terimi bulalım (\(n=10\)): \[ a_{10} = 5 \times 10 - 2 \] \[ a_{10} = 50 - 2 \] \[ a_{10} = 48 \]

Bu iki terim arasındaki farkı hesaplayalım: \[ Fark = a_{20} - a_{10} \] \[ Fark = 98 - 48 \] \[ Fark = 50 \]

Alternatif olarak, genel terim \(a_n = dn + c\) şeklindeyse, \(d\) ortak farktır. Burada \(d=5\). İki terim arasındaki fark, terim sırası farkı ile ortak farkın çarpımına eşittir: \[ Fark = (20 - 10) \times d \] \[ Fark = 10 \times 5 \] \[ Fark = 50 \]

20. terim ile 10. terim arasındaki fark 50'dir. 💡