Doğrusal Sayı Dizileri Ders Notu

7. Sınıf Matematik: Doğrusal Sayı Dizileri 🔢

Doğrusal sayılar dizisi, ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu bir sayı dizisidir. Bu sabit farka "ortak fark" denir ve genellikle \(d\) harfi ile gösterilir. Dizinin her bir terimi, kendinden önceki terime ortak fark eklenerek bulunur. Bu tür diziler, günlük yaşamda birçok yerde karşımıza çıkar. Örneğin, biriktirilen para miktarı, belirli bir hızla giden aracın aldığı yol veya bir bitkinin her gün uzama miktarı gibi durumlar doğrusal sayılar dizisi şeklinde modellenebilir.

Doğrusal Sayı Dizisinin Genel Kuralı

Bir doğrusal sayılar dizisinin ilk terimi \(a_1\) ve ortak farkı \(d\) ise, dizinin herhangi bir terimi olan \(a_n\)'i bulmak için aşağıdaki genel kural kullanılır:

\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]

Burada:

• \(a_n\): Dizinin n'inci terimidir.
• \(a_1\): Dizinin ilk terimidir.
• \(n\): Terim sırasını gösteren pozitif bir tam sayıdır (1, 2, 3, ...).
• \(d\): Dizinin ortak farkıdır.

Örnek 1: Ortak Farkı Bulma

Aşağıdaki sayı dizisinin doğrusal bir sayı dizisi olup olmadığını belirleyelim ve doğrusal ise ortak farkını bulalım:

Dizi: 5, 11, 17, 23, 29, ...

Çözüm:

Ardışık terimler arasındaki farkları inceleyelim:

• \(11 - 5 = 6\)
• \(17 - 11 = 6\)
• \(23 - 17 = 6\)
• \(29 - 23 = 6\)

Her ardışık terim arasındaki fark sabittir ve 6'dır. Bu nedenle, bu dizi bir doğrusal sayılar dizisidir ve ortak farkı \(d = 6\)'dır.

Örnek 2: Dizinin Belirli Bir Terimini Bulma

İlk terimi 3 ve ortak farkı 4 olan bir doğrusal sayılar dizisinin 10. terimini bulalım.

Çözüm:

Bu dizide:

• İlk terim \(a_1 = 3\).
• Ortak fark \(d = 4\).
• Bulmak istediğimiz terim sırası \(n = 10\).

Genel kuralı kullanarak 10. terimi bulalım:

\[ a_{10} = a_1 + (10-1)d \] \[ a_{10} = 3 + (9) \times 4 \] \[ a_{10} = 3 + 36 \] \[ a_{10} = 39 \]

Bu dizinin 10. terimi 39'dur.

Örnek 3: Günlük Yaşamdan Bir Uygulama

Bir çiftçi, tarlasına her gün 5 adet fidan dikmektedir. İlk gün 12 fidan diktiğine göre, 8. günün sonunda toplam kaç fidan dikmiş olur?

Çözüm:

Bu durum bir doğrusal sayılar dizisi ile modellenebilir. Her gün dikilen fidan sayısı, dizinin ortak farkını oluşturur.

• İlk gün dikilen fidan sayısı (ilk terim): \(a_1 = 12\).
• Her gün dikilen ek fidan sayısı (ortak fark): \(d = 5\).
• Bulmak istediğimiz gün sayısı (terim sırası): \(n = 8\).

8. günün sonundaki toplam fidan sayısını bulmak için dizinin 8. terimini hesaplamalıyız:

\[ a_8 = a_1 + (8-1)d \] \[ a_8 = 12 + (7) \times 5 \] \[ a_8 = 12 + 35 \] \[ a_8 = 47 \]

Çiftçi, 8. günün sonunda toplam 47 fidan dikmiş olur.

Tablo ile Gösterim

Doğrusal bir sayı dizisini tablo ile göstermek, terimler arasındaki ilişkiyi daha net görmemizi sağlar.

Örnek: İlk terimi 2 ve ortak farkı 3 olan dizi.

Terim Sırası (n)	Terim Değeri (an)
1	2
2	5
3	8
4	11

Bu tablo, dizinin ilk dört terimini ve terim sırasını göstermektedir. Her terim, bir önceki terime 3 eklenerek elde edilmiştir.