💡 7. Sınıf Matematik: Doğrular ve açılar testi Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Aşağıdaki şekilde, d1 doğrusu ile d2 doğrusu K noktasında kesişmektedir.
m(A) açısı \( 40^\circ \) olarak verilmiştir. Buna göre m(B) açısı kaç derecedir?
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda ters açı ve bütünler açı kavramlarını kullanacağız. 👉
Ters Açılar: Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan, köşeleri aynı ve kenarları birbirinin uzantısı olan açılara ters açılar denir. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Bütünler Açılar: Bir doğrunun üzerindeki bir noktada oluşan ve toplamları \( 180^\circ \) olan iki komşu açıya bütünler açılar denir.
Şekilde m(A) ile m(B) açıları ters açılardır. Bu nedenle ölçüleri eşittir.
Yani, \( m(B) = m(A) \).
Verilen \( m(A) = 40^\circ \) olduğuna göre, \( m(B) = 40^\circ \) olur. ✅
2
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Birbirini dik kesen iki doğrunun oluşturduğu açılardan birinin ölçüsü \( 90^\circ \) ise, diğer üç açının ölçüleri kaçar derecedir? 💡
Çözüm ve Açıklama
Dik kesişen doğrular, aralarında \( 90^\circ \) 'lik açılar oluşturur. Bu özel bir durumdur.
İki doğru birbirini dik kesiyorsa, oluşan dört açının tamamı dik açıdır ve ölçüsü \( 90^\circ \) olur.
Bu durumda, oluşan dört açının her biri \( 90^\circ \) değerindedir.
Dolayısıyla, diğer üç açının her birinin ölçüsü \( 90^\circ \) olur. ✅
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Paralel iki doğru d1 ve d2'yi kesen bir d3 doğrusu verilmiştir. d1 doğrusu ile d3 doğrusu arasında oluşan iç ters açılardan birinin ölçüsü \( 55^\circ \) ise, d2 doğrusu ile d3 doğrusu arasında oluşan karşı durumlu açılardan birinin ölçüsü kaç derecedir? 📌
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda paralel doğrular ve kesen kavramlarını kullanacağız. 👉
İç Ters Açılar: Paralel iki doğruyu kesen bir doğrunun oluşturduğu, zikzak şeklinde ve ters yönlere bakan açılardır. İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Karşı Durumlu Açılar: Paralel iki doğruyu kesen bir doğrunun oluşturduğu, aynı yöne bakmayan ancak arada kalan açılardır. Karşı durumlu açıların toplamı \( 180^\circ \) olur.
Soruda verilen \( 55^\circ \) 'lik iç ters açı, d1 ile d3 arasındaki bir açıdır. Bu açı, d2 ile d3 arasında oluşan karşılıklı iç ters açı ile aynı ölçüdedir. Yani \( 55^\circ \) olur.
Şimdi, d2 ile d3 arasındaki \( 55^\circ \) 'lik iç ters açının karşı durumlu açısını bulmalıyız.
Karşı durumlu açıların toplamı \( 180^\circ \) olduğundan:
\[
55^\circ + x = 180^\circ
\]
Buradan \( x \) açısını bulmak için \( 180^\circ \) 'den \( 55^\circ \) çıkarırız:
\[
x = 180^\circ - 55^\circ
\]
\[
x = 125^\circ
\]
Dolayısıyla, karşı durumlu açılardan birinin ölçüsü \( 125^\circ \) olur. ✅
4
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir bisikletin gidonunun bir tarafındaki elciğin açısı, gidonun orta noktasına göre \( 15^\circ \) eğimlidir. Eğer gidonun diğer tarafındaki elciğin açısı da aynı şekilde eğimli ise, iki elcik arasındaki toplam açı farkı kaç derece olur? 🚴
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde, gidonun orta noktasını bir köşe kabul ederek oluşan açıları düşünebiliriz. 👉
Gidonun orta noktasından çıkan iki kolu, bisikletin düz duruşunu temsil eden bir doğru olarak düşünebiliriz.
Bir elciğin açısı, bu doğrunun bir tarafında \( 15^\circ \) ise, diğer elciğin açısı da diğer tarafında \( 15^\circ \) olacaktır.
Bu iki eğim, gidonun orta noktasında birleşerek bir açı oluşturur.
Toplam açı farkı, iki elciğin oluşturduğu açıların toplamıdır:
\[
15^\circ + 15^\circ = 30^\circ
\]
Yani, iki elcik arasındaki toplam açı farkı \( 30^\circ \) olur. ✅
5
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir duvar saatinin akrep ve yelkovanı saat 3'ü gösterdiğinde aralarında oluşan açı kaç derecedir? ⏰
Çözüm ve Açıklama
Duvar saatlerinde bir tam tur \( 360^\circ \) 'dir ve bu tur 12 saate bölünmüştür. 👉
Bir saat diliminin kapladığı açı: \( \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ \)
Saat 3'ü gösterdiğinde, akrep tam 3'ün üzerinde, yelkovan ise 12'nin üzerindedir.
Bu durumda, akrep ile yelkovan arasında 3 saatlik bir mesafe vardır.
Dolayısıyla, saat 3'ü gösterdiğinde akrep ve yelkovan arasında \( 90^\circ \) 'lik bir açı oluşur. Bu bir dik açıdır. ✅
6
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Birbirini kesen iki doğrunun oluşturduğu açılardan biri \( 70^\circ \) ise, bu açının komşu bütünler açısı ile ters açısının toplamı kaç derecedir? ➕
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda ters açı ve bütünler açı kavramlarını bir arada kullanacağız. 👉
Ters Açılar: Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan, köşeleri aynı ve kenarları birbirinin uzantısı olan açılardır. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Bütünler Açılar: Bir doğrunun üzerindeki bir noktada oluşan ve toplamları \( 180^\circ \) olan iki komşu açıya denir.
Verilen açı \( 70^\circ \) olsun.
Ters Açısı: Verilen \( 70^\circ \) 'lik açının ters açısı da \( 70^\circ \) olur.
Komşu Bütünler Açısı: Verilen \( 70^\circ \) 'lik açının komşu bütünler açısını bulmak için \( 180^\circ \) 'den \( 70^\circ \) çıkarırız: \( 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \).
Sonuç olarak, bu iki açının toplamı \( 180^\circ \) olur. ✅
7
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Şekilde d1 // d2'dir. d3 doğrusu d1'i A noktasında, d2'yi ise B noktasında kesmektedir. A noktasında oluşan açılardan içte ve sağda olan \( 60^\circ \) ise, B noktasında oluşan açılardan içte ve solda olanın ölçüsü kaç derecedir? 📐
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda paralel doğrular ve kesen kavramlarını kullanacağız. 👉
Paralel Doğrular: Birbirini kesmeyen ve her zaman eşit uzaklıkta olan doğrulardır.
Kesen Doğru: Paralel iki doğruyu kesen doğrudur.
İç Açılar: Paralel doğruların arasında kalan açılardır.
Yöndeş Açılar: Paralel doğruları kesen bir doğrunun aynı tarafında ve aynı yöne bakan açılardır. Yöndeş açıların ölçüleri eşittir.
İç Ters Açılar: Paralel doğruların arasında, zikzak şeklinde ve ters yönlere bakan açılardır. İç ters açıların ölçüleri eşittir.
A noktasında oluşan \( 60^\circ \) 'lik açı, d1 doğrusunun içinde ve sağında kalan açıdır.
Bu açının yöndeş açısı, B noktasında d2 doğrusunun içinde ve sağında kalan açıdır ve ölçüsü \( 60^\circ \) olur.
Bizden istenen, B noktasında oluşan içte ve solda kalan açıdır. Bu açı, B noktasındaki \( 60^\circ \) 'lik açının komşu bütünler açısıdır.
Bu nedenle, \( 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) olur. ✅
8
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir teknoloji fuarında, iki farklı standın giriş kapıları arasındaki açı \( 135^\circ \) olarak ayarlanmıştır. Eğer bu açının bütünler açısı \( \alpha \) ve ters açısı \( \beta \) ise, \( \alpha + \beta \) kaç derecedir? 🚀
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda bütünler açı ve ters açı kavramlarını kullanacağız. 👉
Bütünler Açılar: Toplamları \( 180^\circ \) olan iki komşu açıya denir.
Ters Açılar: Kesişen iki doğrunun oluşturduğu, köşeleri aynı ve kenarları birbirinin uzantısı olan açılardır. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Verilen açı \( 135^\circ \) olsun.
Bütünler Açısı \( \alpha \):
\[
\alpha = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ
\]
Ters Açısı \( \beta \):
Verilen \( 135^\circ \) 'lik açının ters açısı \( \beta \) olduğundan, \( \beta = 135^\circ \) olur.
Şimdi \( \alpha \) ve \( \beta \) 'nın toplamını bulalım:
7. Sınıf Matematik: Doğrular ve açılar testi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki şekilde, d1 doğrusu ile d2 doğrusu K noktasında kesişmektedir.
m(A) açısı \( 40^\circ \) olarak verilmiştir. Buna göre m(B) açısı kaç derecedir?
Çözüm:
Bu soruda ters açı ve bütünler açı kavramlarını kullanacağız. 👉
Ters Açılar: Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan, köşeleri aynı ve kenarları birbirinin uzantısı olan açılara ters açılar denir. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Bütünler Açılar: Bir doğrunun üzerindeki bir noktada oluşan ve toplamları \( 180^\circ \) olan iki komşu açıya bütünler açılar denir.
Şekilde m(A) ile m(B) açıları ters açılardır. Bu nedenle ölçüleri eşittir.
Yani, \( m(B) = m(A) \).
Verilen \( m(A) = 40^\circ \) olduğuna göre, \( m(B) = 40^\circ \) olur. ✅
Örnek 2:
Birbirini dik kesen iki doğrunun oluşturduğu açılardan birinin ölçüsü \( 90^\circ \) ise, diğer üç açının ölçüleri kaçar derecedir? 💡
Çözüm:
Dik kesişen doğrular, aralarında \( 90^\circ \) 'lik açılar oluşturur. Bu özel bir durumdur.
İki doğru birbirini dik kesiyorsa, oluşan dört açının tamamı dik açıdır ve ölçüsü \( 90^\circ \) olur.
Bu durumda, oluşan dört açının her biri \( 90^\circ \) değerindedir.
Dolayısıyla, diğer üç açının her birinin ölçüsü \( 90^\circ \) olur. ✅
Örnek 3:
Paralel iki doğru d1 ve d2'yi kesen bir d3 doğrusu verilmiştir. d1 doğrusu ile d3 doğrusu arasında oluşan iç ters açılardan birinin ölçüsü \( 55^\circ \) ise, d2 doğrusu ile d3 doğrusu arasında oluşan karşı durumlu açılardan birinin ölçüsü kaç derecedir? 📌
Çözüm:
Bu soruda paralel doğrular ve kesen kavramlarını kullanacağız. 👉
İç Ters Açılar: Paralel iki doğruyu kesen bir doğrunun oluşturduğu, zikzak şeklinde ve ters yönlere bakan açılardır. İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Karşı Durumlu Açılar: Paralel iki doğruyu kesen bir doğrunun oluşturduğu, aynı yöne bakmayan ancak arada kalan açılardır. Karşı durumlu açıların toplamı \( 180^\circ \) olur.
Soruda verilen \( 55^\circ \) 'lik iç ters açı, d1 ile d3 arasındaki bir açıdır. Bu açı, d2 ile d3 arasında oluşan karşılıklı iç ters açı ile aynı ölçüdedir. Yani \( 55^\circ \) olur.
Şimdi, d2 ile d3 arasındaki \( 55^\circ \) 'lik iç ters açının karşı durumlu açısını bulmalıyız.
Karşı durumlu açıların toplamı \( 180^\circ \) olduğundan:
\[
55^\circ + x = 180^\circ
\]
Buradan \( x \) açısını bulmak için \( 180^\circ \) 'den \( 55^\circ \) çıkarırız:
\[
x = 180^\circ - 55^\circ
\]
\[
x = 125^\circ
\]
Dolayısıyla, karşı durumlu açılardan birinin ölçüsü \( 125^\circ \) olur. ✅
Örnek 4:
Bir bisikletin gidonunun bir tarafındaki elciğin açısı, gidonun orta noktasına göre \( 15^\circ \) eğimlidir. Eğer gidonun diğer tarafındaki elciğin açısı da aynı şekilde eğimli ise, iki elcik arasındaki toplam açı farkı kaç derece olur? 🚴
Çözüm:
Bu problemde, gidonun orta noktasını bir köşe kabul ederek oluşan açıları düşünebiliriz. 👉
Gidonun orta noktasından çıkan iki kolu, bisikletin düz duruşunu temsil eden bir doğru olarak düşünebiliriz.
Bir elciğin açısı, bu doğrunun bir tarafında \( 15^\circ \) ise, diğer elciğin açısı da diğer tarafında \( 15^\circ \) olacaktır.
Bu iki eğim, gidonun orta noktasında birleşerek bir açı oluşturur.
Toplam açı farkı, iki elciğin oluşturduğu açıların toplamıdır:
\[
15^\circ + 15^\circ = 30^\circ
\]
Yani, iki elcik arasındaki toplam açı farkı \( 30^\circ \) olur. ✅
Örnek 5:
Bir duvar saatinin akrep ve yelkovanı saat 3'ü gösterdiğinde aralarında oluşan açı kaç derecedir? ⏰
Çözüm:
Duvar saatlerinde bir tam tur \( 360^\circ \) 'dir ve bu tur 12 saate bölünmüştür. 👉
Bir saat diliminin kapladığı açı: \( \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ \)
Saat 3'ü gösterdiğinde, akrep tam 3'ün üzerinde, yelkovan ise 12'nin üzerindedir.
Bu durumda, akrep ile yelkovan arasında 3 saatlik bir mesafe vardır.
Dolayısıyla, saat 3'ü gösterdiğinde akrep ve yelkovan arasında \( 90^\circ \) 'lik bir açı oluşur. Bu bir dik açıdır. ✅
Örnek 6:
Birbirini kesen iki doğrunun oluşturduğu açılardan biri \( 70^\circ \) ise, bu açının komşu bütünler açısı ile ters açısının toplamı kaç derecedir? ➕
Çözüm:
Bu soruda ters açı ve bütünler açı kavramlarını bir arada kullanacağız. 👉
Ters Açılar: Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan, köşeleri aynı ve kenarları birbirinin uzantısı olan açılardır. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Bütünler Açılar: Bir doğrunun üzerindeki bir noktada oluşan ve toplamları \( 180^\circ \) olan iki komşu açıya denir.
Verilen açı \( 70^\circ \) olsun.
Ters Açısı: Verilen \( 70^\circ \) 'lik açının ters açısı da \( 70^\circ \) olur.
Komşu Bütünler Açısı: Verilen \( 70^\circ \) 'lik açının komşu bütünler açısını bulmak için \( 180^\circ \) 'den \( 70^\circ \) çıkarırız: \( 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \).
Sonuç olarak, bu iki açının toplamı \( 180^\circ \) olur. ✅
Örnek 7:
Şekilde d1 // d2'dir. d3 doğrusu d1'i A noktasında, d2'yi ise B noktasında kesmektedir. A noktasında oluşan açılardan içte ve sağda olan \( 60^\circ \) ise, B noktasında oluşan açılardan içte ve solda olanın ölçüsü kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Bu soruda paralel doğrular ve kesen kavramlarını kullanacağız. 👉
Paralel Doğrular: Birbirini kesmeyen ve her zaman eşit uzaklıkta olan doğrulardır.
Kesen Doğru: Paralel iki doğruyu kesen doğrudur.
İç Açılar: Paralel doğruların arasında kalan açılardır.
Yöndeş Açılar: Paralel doğruları kesen bir doğrunun aynı tarafında ve aynı yöne bakan açılardır. Yöndeş açıların ölçüleri eşittir.
İç Ters Açılar: Paralel doğruların arasında, zikzak şeklinde ve ters yönlere bakan açılardır. İç ters açıların ölçüleri eşittir.
A noktasında oluşan \( 60^\circ \) 'lik açı, d1 doğrusunun içinde ve sağında kalan açıdır.
Bu açının yöndeş açısı, B noktasında d2 doğrusunun içinde ve sağında kalan açıdır ve ölçüsü \( 60^\circ \) olur.
Bizden istenen, B noktasında oluşan içte ve solda kalan açıdır. Bu açı, B noktasındaki \( 60^\circ \) 'lik açının komşu bütünler açısıdır.
Bu nedenle, \( 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) olur. ✅
Örnek 8:
Bir teknoloji fuarında, iki farklı standın giriş kapıları arasındaki açı \( 135^\circ \) olarak ayarlanmıştır. Eğer bu açının bütünler açısı \( \alpha \) ve ters açısı \( \beta \) ise, \( \alpha + \beta \) kaç derecedir? 🚀
Çözüm:
Bu soruda bütünler açı ve ters açı kavramlarını kullanacağız. 👉
Bütünler Açılar: Toplamları \( 180^\circ \) olan iki komşu açıya denir.
Ters Açılar: Kesişen iki doğrunun oluşturduğu, köşeleri aynı ve kenarları birbirinin uzantısı olan açılardır. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Verilen açı \( 135^\circ \) olsun.
Bütünler Açısı \( \alpha \):
\[
\alpha = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ
\]
Ters Açısı \( \beta \):
Verilen \( 135^\circ \) 'lik açının ters açısı \( \beta \) olduğundan, \( \beta = 135^\circ \) olur.
Şimdi \( \alpha \) ve \( \beta \) 'nın toplamını bulalım:
