🎓 7. Sınıf
📚 7. Sınıf Matematik
💡 7. Sınıf Matematik: Doğrular ve açılar karışık test Çözümlü Örnekler
7. Sınıf Matematik: Doğrular ve açılar karışık test Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açılarla ilgili bir soru hazırlayalım. 💡
Şekilde, d1 // d2 ve d3 doğrusu bu iki paralel doğruyu kesmektedir. Kesişim noktalarından birinde oluşan m(A) = 75° olarak verilmiştir. Buna göre, ters açısı olan m(B) kaç derecedir?
(Şekli zihninizde canlandırın: d1 ve d2 yatay paralel doğrular, d3 ise bunları çapraz kesen bir doğru. A ve B açıları, d2 doğrusu ile d3 doğrusunun kesiştiği noktada, birbirine komşu olmayan ve zıt yönlere bakan açılardır.)
(Şekli zihninizde canlandırın: d1 ve d2 yatay paralel doğrular, d3 ise bunları çapraz kesen bir doğru. A ve B açıları, d2 doğrusu ile d3 doğrusunun kesiştiği noktada, birbirine komşu olmayan ve zıt yönlere bakan açılardır.)
Çözüm:
Harika bir soru! Hadi birlikte çözelim:
- 1. Adım: Açılar Arasındaki İlişkiyi Belirleme: Soruda verilen A açısı ile bulmamız istenen B açısı, bir noktada kesişen iki doğrunun oluşturduğu ters açılardır.
- 2. Adım: Ters Açılar Özelliği: Matematikte ters açıların ölçüleri her zaman birbirine eşittir.
- 3. Adım: Çözüm: Bu durumda, m(A) = 75° ise, ters açısı olan m(B) de 75° olacaktır.
Örnek 2:
İki paralel doğrunun bir kesenle oluşturduğu açılarla ilgili bir problem. 📐
d1 ve d2 doğruları birbirine paraleldir (d1 // d2). d3 doğrusu bu iki doğruyu kesmektedir. Kesişim noktalarından birinde oluşan iç ters açılar ile yöndeş açılar arasındaki ilişkiyi kullanarak bir soru çözelim.
d1 doğrusu ile d3 doğrusunun kesiştiği noktada oluşan açılardan biri 110°'dir. Bu açının bulunduğu taraftaki karşı durumlu (iç) açının ölçüsü kaç derecedir?
(Şekil: d1 ve d2 yatay paralel doğrular. d3 bunları sağdan sola doğru kesen bir doğru. 110°'lik açı, d1'in altında ve d3'ün solunda kalan açıdır.)
d1 doğrusu ile d3 doğrusunun kesiştiği noktada oluşan açılardan biri 110°'dir. Bu açının bulunduğu taraftaki karşı durumlu (iç) açının ölçüsü kaç derecedir?
(Şekil: d1 ve d2 yatay paralel doğrular. d3 bunları sağdan sola doğru kesen bir doğru. 110°'lik açı, d1'in altında ve d3'ün solunda kalan açıdır.)
Çözüm:
Bu soruyu adım adım çözelim:
- 1. Adım: Verilen Açının Konumunu Anlama: Verilen 110°'lik açı, d1 doğrusunun altında ve d3 doğrusunun solunda kalan açıdır.
- 2. Adım: Yöndeş Açıyı Bulma: Bu 110°'lik açı ile aynı yöne bakan açı, d2 doğrusunun da altında ve d3 doğrusunun solunda kalan açıdır. Yöndeş açılar eşit olduğu için bu açı da 110°'dir.
- 3. Adım: Karşı Durumlu (İç) Açıyı Bulma: Bizden istenen açı, d2 doğrusunun içinde (yani d1 ve d2 arasında) ve d3 doğrusunun sağında kalan açıdır. Bu açı, 2. adımda bulduğumuz 110°'lik açı ile karşı durumlu (iç) açıdır.
- 4. Adım: Karşı Durumlu Açılar Özelliği: Paralel doğruları kesen bir doğrunun oluşturduğu karşı durumlu (iç) açılar birbirini 180°'ye tamamlar.
- 5. Adım: Çözüm: Bu durumda, aradığımız açı \( = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \) olur.
Örnek 3:
Tümler ve bütünler açılarla ilgili bir problem. ➕
Bir açının ölçüsü, bütünler açısının ölçüsünün yarısı kadardır. Bu açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Bu problemi adım adım çözelim:
- 1. Adım: Tümler ve Bütünler Açıları Hatırlama:
- Tümler Açılar: Toplamları 90° olan iki açıya denir.
- Bütünler Açılar: Toplamları 180° olan iki açıya denir.
- 2. Adım: Değişken Tanımlama: Bilinmeyen açının ölçüsüne \( x \) diyelim.
- 3. Adım: Bütünler Açıyı İfade Etme: Bu açının bütünler açısının ölçüsü \( 180^\circ - x \) olur.
- 4. Adım: Sorudaki İlişkiyi Denklemle Kurma: Soruda "Bir açının ölçüsü, bütünler açısının ölçüsünün yarısı kadardır" deniyor. Bunu denklemle ifade edelim: \[ x = \frac{180^\circ - x}{2} \]
- 5. Adım: Denklemi Çözme:
- Denklemin her iki tarafını 2 ile çarpalım: \( 2x = 180^\circ - x \)
- \( x \) terimlerini bir tarafa toplayalım: \( 2x + x = 180^\circ \)
- \( 3x = 180^\circ \)
- \( x \) 'i bulmak için her iki tarafı 3'e bölelim: \( x = \frac{180^\circ}{3} \)
- \( x = 60^\circ \)
Örnek 4:
Birbirini Kesen Doğrular ve Oluşan Açılar 🧭
İki doğrunun kesişmesiyle oluşan açılarla ilgili bir problem.
Birbirini kesen iki doğru düşünelim. Bu doğruların oluşturduğu açılardan biri \( 3x + 10^\circ \) ve bu açıya komşu bütünler olan diğer açı \( 2x + 50^\circ \) olarak verilmiştir. Buna göre \( x \) kaç derecedir?
(Şekli zihninizde canlandırın: Birbirini dik kesen iki doğru düşünün. Bir noktada dört açı oluşur. Yan yana duran ve bir doğru oluşturan iki açıya komşu bütünler açılar denir.)
Birbirini kesen iki doğru düşünelim. Bu doğruların oluşturduğu açılardan biri \( 3x + 10^\circ \) ve bu açıya komşu bütünler olan diğer açı \( 2x + 50^\circ \) olarak verilmiştir. Buna göre \( x \) kaç derecedir?
(Şekli zihninizde canlandırın: Birbirini dik kesen iki doğru düşünün. Bir noktada dört açı oluşur. Yan yana duran ve bir doğru oluşturan iki açıya komşu bütünler açılar denir.)
Çözüm:
Bu yeni nesil soruyu adım adım çözelim:
- 1. Adım: Komşu Bütünler Açılar Özelliği: Birbirini kesen iki doğrunun oluşturduğu komşu bütünler açılar, toplamları 180° olan açılardır.
- 2. Adım: Denklemi Kurma: Soruda verilen iki açının ölçülerini toplayıp 180°'ye eşitleyelim: \[ (3x + 10^\circ) + (2x + 50^\circ) = 180^\circ \]
- 3. Adım: Denklemi Sadeleştirme: Benzer terimleri bir araya getirelim: \[ 3x + 2x + 10^\circ + 50^\circ = 180^\circ \] \[ 5x + 60^\circ = 180^\circ \]
- 4. Adım: Denklemi Çözme:
- Sabit terimi karşıya atalım: \( 5x = 180^\circ - 60^\circ \)
- \( 5x = 120^\circ \)
- \( x \) 'i bulmak için her iki tarafı 5'e bölelim: \( x = \frac{120^\circ}{5} \)
- \( x = 24^\circ \)
Örnek 5:
Trafik Levhaları ve Açılar 🚦
Trafik levhaları, günlük hayatımızda geometrik şekiller ve açılarla sıkça karşılaşmamızı sağlar.
Örneğin, bir dur tabelası sekizgen şeklindedir. Bir tam sekizgenin bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir? (Bu bilgi, sekizgenin köşelerinden çıkan doğruların oluşturduğu açılarla ilgilidir.)
Örneğin, bir dur tabelası sekizgen şeklindedir. Bir tam sekizgenin bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir? (Bu bilgi, sekizgenin köşelerinden çıkan doğruların oluşturduğu açılarla ilgilidir.)
Çözüm:
Harika bir günlük hayat örneği! Hadi bu sekizgenin iç açısını hesaplayalım:
- 1. Adım: Çokgenin İç Açıları Toplamı Formülü: Bir n kenarlı düzgün çokgenin iç açılarının toplamı şu formülle bulunur: \( (n-2) \times 180^\circ \)
- 2. Adım: Sekizgen İçin Formülü Uygulama: Sekizgenin 8 kenarı vardır (yani \( n=8 \)). İç açılarının toplamını hesaplayalım: \[ (8-2) \times 180^\circ = 6 \times 180^\circ \] \[ 6 \times 180^\circ = 1080^\circ \]
- 3. Adım: Düzgün Sekizgenin Bir İç Açısını Bulma: Düzgün bir sekizgende tüm iç açılar eşittir. Toplam iç açılar toplamını köşe sayısına böleriz: \[ \frac{1080^\circ}{8} \]
- 4. Adım: Hesaplama: \[ \frac{1080^\circ}{8} = 135^\circ \]
Örnek 6:
Paralel Doğrular ve Yöndeş Açılar ➡️
d1 ve d2 doğruları paraleldir (d1 // d2). d3 doğrusu bu iki doğruyu kesmektedir. Kesişim noktalarından birinde oluşan bir açının ölçüsü 55°'dir. Bu açının yöndeş açısının ölçüsü kaç derecedir?
(Şekil: d1 ve d2 yatay paralel doğrular. d3 bunları sağdan sola doğru kesen bir doğru. 55°'lik açı, d1'in üstünde ve d3'ün sağında kalan açıdır.)
(Şekil: d1 ve d2 yatay paralel doğrular. d3 bunları sağdan sola doğru kesen bir doğru. 55°'lik açı, d1'in üstünde ve d3'ün sağında kalan açıdır.)
Çözüm:
Bu soruyu adım adım çözelim:
- 1. Adım: Yöndeş Açının Tanımı: Yöndeş açılar, paralel doğruları kesen bir doğrunun aynı tarafında bulunan ve aynı yöne bakan açılardır.
- 2. Adım: Yöndeş Açılar Özelliği: Yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir.
- 3. Adım: Çözüm: Verilen 55°'lik açı, d1 doğrusunun üstünde ve d3 doğrusunun sağındadır. Bu açının yöndeşi, d2 doğrusunun da üstünde ve d3 doğrusunun sağında kalan açıdır.
Örnek 7:
Açılarla İlgili Bir Problem 📐
Bir açının ölçüsü \( a \), tümler açısının ölçüsü \( b \) ve bütünler açısının ölçüsü \( c \) olarak verilmiştir.
\( a = 30^\circ \) olduğuna göre, \( b \) ve \( c \) kaç derecedir?
\( a = 30^\circ \) olduğuna göre, \( b \) ve \( c \) kaç derecedir?
Çözüm:
Bu problemi adım adım çözelim:
- 1. Adım: Tümler Açıları Hatırlama: Tümler iki açının toplamı 90°'dir.
- 2. Adım: Tümler Açıyı Hesaplama (b): Verilen \( a = 30^\circ \) açısının tümler açısı \( b \) olduğuna göre: \[ a + b = 90^\circ \] \[ 30^\circ + b = 90^\circ \] \[ b = 90^\circ - 30^\circ \] \[ b = 60^\circ \]
- 3. Adım: Bütünler Açıyı Hatırlama: Bütünler iki açının toplamı 180°'dir.
- 4. Adım: Bütünler Açıyı Hesaplama (c): Verilen \( a = 30^\circ \) açısının bütünler açısı \( c \) olduğuna göre: \[ a + c = 180^\circ \] \[ 30^\circ + c = 180^\circ \] \[ c = 180^\circ - 30^\circ \] \[ c = 150^\circ \]
Örnek 8:
İç Ters ve Yöndeş Açılarla Karma Bir Soru 🧩
d1, d2 ve d3 doğruları birbirine paraleldir (d1 // d2 // d3). d4 doğrusu bu üç paralel doğruyu kesmektedir.
d1 doğrusu ile d4 doğrusunun kesişiminde oluşan açılardan biri 130°'dir. Bu 130°'lik açının bulunduğu taraftaki d3 doğrusu ile d4 doğrusunun kesişiminde oluşan iç ters açının ölçüsü kaç derecedir?
(Şekil: Üç paralel yatay doğru (d1, d2, d3) ve bunları sağdan sola kesen bir d4 doğrusu. 130°'lik açı, d1'in altında ve d4'ün solunda kalan açıdır.)
d1 doğrusu ile d4 doğrusunun kesişiminde oluşan açılardan biri 130°'dir. Bu 130°'lik açının bulunduğu taraftaki d3 doğrusu ile d4 doğrusunun kesişiminde oluşan iç ters açının ölçüsü kaç derecedir?
(Şekil: Üç paralel yatay doğru (d1, d2, d3) ve bunları sağdan sola kesen bir d4 doğrusu. 130°'lik açı, d1'in altında ve d4'ün solunda kalan açıdır.)
Çözüm:
Bu zorlu soruyu adım adım çözelim:
- 1. Adım: Verilen Açının Konumunu Belirleme: Verilen 130°'lik açı, d1 doğrusunun altında ve d4 doğrusunun solunda kalan açıdır.
- 2. Adım: Yöndeş Açıyı Bulma (d2 ile): Bu 130°'lik açının yöndeşi, d2 doğrusunun da altında ve d4 doğrusunun solunda kalan açıdır. Yöndeş açılar eşit olduğu için bu açı da 130°'dir.
- 3. Adım: Karşı Durumlu (İç) Açıyı Bulma (d2 ile): d2 doğrusunun altında ve d4'ün solundaki 130°'lik açının komşu bütünleri, d2'nin üstünde ve d4'ün solunda kalan açıdır. Bu açı \( 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \) olur.
- 4. Adım: Yöndeş Açıyı Bulma (d3 ile): Şimdi d3 doğrusuna odaklanalım. 3. adımda bulduğumuz 50°'lik açı (d2'nin üstünde ve d4'ün solunda), d3 doğrusu ile d4 doğrusunun kesişiminde oluşan yöndeş açı ile aynı yöne bakmaktadır. Dolayısıyla d3 ile d4'ün kesişiminde oluşan bu yöndeş açı da 50°'dir.
- 5. Adım: İç Ters Açıyı Bulma (d3 ile): Bizden istenen, 4. adımda bulduğumuz 50°'lik açının iç tersidir. İç ters açılar, paralel doğruların arasında ve kesenin zıt tarafında kalan açılardır.
- 6. Adım: İç Ters Açılar Özelliği: İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/7-sinif-matematik-dogrular-ve-acilar-karisik-test/sorular