🎓 7. Sınıf
📚 7. Sınıf Matematik
💡 7. Sınıf Matematik: Doğruda Açılar Çözümlü Örnekler
7. Sınıf Matematik: Doğruda Açılar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Merhaba sevgili öğrenciler! 👋
Yandaki şekilde AOB açısı ile BOC açısı komşu açılardır.
Eğer \( m(\hat{AOB}) = 50^\circ \) ise ve bu iki açının toplamı \( m(\hat{AOC}) \) açısını oluşturuyorsa, \( m(\hat{BOC}) \) açısı kaç derecedir?
💡 Unutmayın: Komşu açılar, birer kenarları ve köşeleri ortak olan açılardır.
Yandaki şekilde AOB açısı ile BOC açısı komşu açılardır.
Eğer \( m(\hat{AOB}) = 50^\circ \) ise ve bu iki açının toplamı \( m(\hat{AOC}) \) açısını oluşturuyorsa, \( m(\hat{BOC}) \) açısı kaç derecedir?
💡 Unutmayın: Komşu açılar, birer kenarları ve köşeleri ortak olan açılardır.
Çözüm:
Bu soruyu adım adım çözelim:
- 👉 Bize verilen bilgiye göre, AOB açısı ile BOC açısı komşu açılardır ve \( m(\hat{AOB}) = 50^\circ \) olarak verilmiştir.
- 👉 Bu iki açının toplamı, büyük açı olan \( m(\hat{AOC}) \) açısını oluşturur. Ancak \( m(\hat{AOC}) \) açısının ölçüsü verilmemiş.
- 📌 Soruyu daha anlaşılır kılmak için, şeklin bir doğru açı oluşturduğunu varsayalım. Yani, A, O, C noktaları aynı doğru üzerindedir ve \( m(\hat{AOC}) = 180^\circ \) dir. (7. sınıf müfredatında bu tür sorular genellikle doğru açı üzerinde verilir.)
- ✅ Bu durumda, \( m(\hat{AOB}) + m(\hat{BOC}) = m(\hat{AOC}) \) bağıntısını kullanırız.
- Hesaplamayı yapalım:
- \( 50^\circ + m(\hat{BOC}) = 180^\circ \)
- \( m(\hat{BOC}) = 180^\circ - 50^\circ \)
- \( m(\hat{BOC}) = 130^\circ \)
Örnek 2:
İki açıdan biri diğerinin tümleridir.
Eğer açılardan biri \( 35^\circ \) ise, diğer açı kaç derecedir?
🤔 Hatırlayalım: Tümler açılar, ölçüleri toplamı \( 90^\circ \) olan açılardır.
Eğer açılardan biri \( 35^\circ \) ise, diğer açı kaç derecedir?
🤔 Hatırlayalım: Tümler açılar, ölçüleri toplamı \( 90^\circ \) olan açılardır.
Çözüm:
Çözüm adımları:
- 👉 Tümler açıların toplamının \( 90^\circ \) olduğunu biliyoruz.
- 👉 Açılardan birinin ölçüsü \( 35^\circ \) olarak verilmiş.
- ✅ Diğer açıyı bulmak için \( 90^\circ \)den verilen açıyı çıkarmamız yeterlidir.
- Diğer açı \( = 90^\circ - 35^\circ \)
- Diğer açı \( = 55^\circ \)
Örnek 3:
Bir açının ölçüsü, bütünleyenin ölçüsünün 2 katından \( 30^\circ \) eksiktir.
Bu açının ölçüsü kaç derecedir?
📌 İpucu: Bütünler açılar, ölçüleri toplamı \( 180^\circ \) olan açılardır.
Bu açının ölçüsü kaç derecedir?
📌 İpucu: Bütünler açılar, ölçüleri toplamı \( 180^\circ \) olan açılardır.
Çözüm:
Bu problemi adım adım çözelim:
- 👉 İlk açımıza "x" diyelim. Yani, açının ölçüsü \( x \).
- 👉 Bu açının bütünleyeni, ölçüleri toplamı \( 180^\circ \) olduğu için \( 180^\circ - x \) olur.
- ✅ Soruda verilen ifadeyi matematiksel denkleme dönüştürelim:
Açının ölçüsü (x) = Bütünleyenin ölçüsünün 2 katından \( 30^\circ \) eksik. - \( x = 2 \cdot (180^\circ - x) - 30^\circ \)
- Denklemi çözelim:
- \( x = 360^\circ - 2x - 30^\circ \)
- \( x = 330^\circ - 2x \)
- Şimdi \( -2x \) ifadesini eşitliğin diğer tarafına atalım (işareti değişir):
- \( x + 2x = 330^\circ \)
- \( 3x = 330^\circ \)
- Her iki tarafı 3'e bölelim:
- \( x = \frac{330^\circ}{3} \)
- \( x = 110^\circ \)
Örnek 4:
Şekilde kesişen iki doğru verilmiştir.
Bu doğruların oluşturduğu ters açılardan birinin ölçüsü \( 75^\circ \) ise, bu açının tersi olan açının ölçüsü kaç derecedir?
💡 Bilgi: Ters açılar, köşeleri ortak ve kenarları zıt ışınlardan oluşan açılardır. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Bu doğruların oluşturduğu ters açılardan birinin ölçüsü \( 75^\circ \) ise, bu açının tersi olan açının ölçüsü kaç derecedir?
💡 Bilgi: Ters açılar, köşeleri ortak ve kenarları zıt ışınlardan oluşan açılardır. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Çözüm:
Çözüm oldukça basit:
- 👉 Ters açıların en önemli özelliği, ölçülerinin birbirine eşit olmasıdır.
- 👉 Soruda verilen ters açılardan birinin ölçüsü \( 75^\circ \)dir.
- ✅ Dolayısıyla, bu açının tersi olan açının ölçüsü de aynı olacaktır.
Örnek 5:
İki paralel doğru (\( d_1 \) // \( d_2 \)), üçüncü bir doğru (\( k \)) ile kesilmektedir.
Kesen doğrunun \( d_1 \) doğrusuyla yaptığı açılardan biri \( 125^\circ \) ise, bu açıyla yöndeş olan açının ölçüsü kaç derecedir?
(Açının \( d_1 \) doğrusunun üstünde ve kesenin sağında olduğunu varsayalım.)
🚀 Hatırlatma: Yöndeş açılar, paralel doğruların bir kesenle yaptığı açılardan aynı yöne bakan ve ölçüleri eşit olan açılardır.
Kesen doğrunun \( d_1 \) doğrusuyla yaptığı açılardan biri \( 125^\circ \) ise, bu açıyla yöndeş olan açının ölçüsü kaç derecedir?
(Açının \( d_1 \) doğrusunun üstünde ve kesenin sağında olduğunu varsayalım.)
🚀 Hatırlatma: Yöndeş açılar, paralel doğruların bir kesenle yaptığı açılardan aynı yöne bakan ve ölçüleri eşit olan açılardır.
Çözüm:
Yöndeş açı özelliğini kullanalım:
- 👉 Paralel iki doğru bir kesenle kesildiğinde oluşan yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir.
- 👉 Soruda verilen açının ölçüsü \( 125^\circ \)dir.
- ✅ Bu açıyla yöndeş olan açının ölçüsü de aynı olacaktır.
Örnek 6:
Yine iki paralel doğru (\( m \) // \( n \)) ve bunları kesen bir \( p \) doğrusu bulunmaktadır.
\( m \) doğrusu ile \( p \) doğrusunun kesişiminde oluşan açılardan biri \( 60^\circ \) (iç bölgede ve kesenin solunda) ise, bu açıyla iç ters olan açının ölçüsü kaç derecedir?
(İç ters açı, paralel doğruların iç kısmında, kesenin farklı taraflarında bulunan açılardır.)
💡 Kural: İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
\( m \) doğrusu ile \( p \) doğrusunun kesişiminde oluşan açılardan biri \( 60^\circ \) (iç bölgede ve kesenin solunda) ise, bu açıyla iç ters olan açının ölçüsü kaç derecedir?
(İç ters açı, paralel doğruların iç kısmında, kesenin farklı taraflarında bulunan açılardır.)
💡 Kural: İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Çözüm:
İç ters açı özelliğini uygulayalım:
- 👉 Paralel doğrular arasında bir kesenin oluşturduğu iç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
- 👉 Verilen iç açının ölçüsü \( 60^\circ \)dir.
- ✅ Bu açıyla iç ters olan açının ölçüsü de \( 60^\circ \) olacaktır.
Örnek 7:
Bir duvar saatinin akrep ve yelkovanı saat 03:00'ü göstermektedir. 🕰️
Bu durumda akrep ile yelkovan arasındaki küçük açının ölçüsü kaç derecedir?
Bu açı, tümler midir, bütünler midir, yoksa başka bir açı türü müdür? Açıklayınız.
Bu durumda akrep ile yelkovan arasındaki küçük açının ölçüsü kaç derecedir?
Bu açı, tümler midir, bütünler midir, yoksa başka bir açı türü müdür? Açıklayınız.
Çözüm:
Bu günlük hayat örneğini adım adım inceleyelim:
- 👉 Bir saat kadranı \( 360^\circ \)lik bir tam dairedir.
- 👉 Kadran 12 eşit parçaya (saat dilimine) ayrılmıştır. Bu durumda her saat dilimi arasındaki açı:
\( 360^\circ \div 12 = 30^\circ \)dir. - 👉 Saat 03:00'te akrep 3'ün üzerindedir, yelkovan ise 12'nin üzerindedir.
- 👉 Akrep ile yelkovan arasında 3 dilim (12'den 1'e, 1'den 2'ye, 2'den 3'e) bulunmaktadır.
- ✅ Bu durumda akrep ile yelkovan arasındaki açı:
\( 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ \)dir. - Açı türü belirleme:
- 👉 Açının ölçüsü \( 90^\circ \) olduğu için bu açı bir dik açıdır.
- 👉 Tümler açı, iki açının toplamı \( 90^\circ \) olduğunda geçerlidir. Burada tek bir açıdan bahsediyoruz. Ancak bu açı, kendisinin tümleri olan \( 0^\circ \) ile birlikte tümler oluşturur diyebiliriz. Daha doğru ifadeyle, tümler açı çiftlerinin bir elemanı olabilir.
- 👉 Bütünler açı, iki açının toplamı \( 180^\circ \) olduğunda geçerlidir. Bu açı, kendisinin bütünleri olan \( 90^\circ \) ile birlikte bütünler oluşturur.
Örnek 8:
Şekilde \( AB \) doğrusu ile \( CD \) doğrusu birbirine paraleldir (\( AB \) // \( CD \)).
Bu iki doğruyu kesen bir \( EF \) doğrusu bulunmaktadır.
\( AB \) doğrusu ile \( EF \) doğrusunun kesişiminde, \( EF \) doğrusunun solunda ve \( AB \) doğrusunun üstünde kalan açı \( (2x + 10)^\circ \) olarak verilmiştir.
\( CD \) doğrusu ile \( EF \) doğrusunun kesişiminde, \( EF \) doğrusunun solunda ve \( CD \) doğrusunun altında kalan açı \( (3x - 20)^\circ \) olarak verilmiştir.
Buna göre, x değeri kaçtır?
🤔 İpucu: Verilen açıların konumlarını dikkatlice inceleyin ve aralarındaki ilişkiyi (örneğin iç ters, dış ters, yöndeş, karşı durumlu) bulun.
Bu iki doğruyu kesen bir \( EF \) doğrusu bulunmaktadır.
\( AB \) doğrusu ile \( EF \) doğrusunun kesişiminde, \( EF \) doğrusunun solunda ve \( AB \) doğrusunun üstünde kalan açı \( (2x + 10)^\circ \) olarak verilmiştir.
\( CD \) doğrusu ile \( EF \) doğrusunun kesişiminde, \( EF \) doğrusunun solunda ve \( CD \) doğrusunun altında kalan açı \( (3x - 20)^\circ \) olarak verilmiştir.
Buna göre, x değeri kaçtır?
🤔 İpucu: Verilen açıların konumlarını dikkatlice inceleyin ve aralarındaki ilişkiyi (örneğin iç ters, dış ters, yöndeş, karşı durumlu) bulun.
Çözüm:
Bu karmaşık problemi adım adım çözelim:
- 👉 Öncelikle verilen açıların konumunu belirleyelim:
- Birinci açı: \( (2x + 10)^\circ \) - \( AB \) doğrusunun üstünde, kesenin solunda.
- İkinci açı: \( (3x - 20)^\circ \) - \( CD \) doğrusunun altında, kesenin solunda.
- ✅ Bu iki açı, dış ters açılar konumundadır. Dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
- Denklemi kuralım:
- \( 2x + 10 = 3x - 20 \)
- Şimdi x değerini bulmak için denklemi çözelim:
- \( 10 + 20 = 3x - 2x \)
- \( 30 = x \)
- Yani, \( x = 30 \)dir.
- Açıların ölçülerini kontrol edelim:
- Birinci açı: \( 2(30) + 10 = 60 + 10 = 70^\circ \)
- İkinci açı: \( 3(30) - 20 = 90 - 20 = 70^\circ \)
- Gördüğümüz gibi, açıların ölçüleri birbirine eşit çıktı. Doğru yoldayız!
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/7-sinif-matematik-dogruda-acilar/sorular