Doğruda Açılar Ders Notu

Açı, başlangıç noktaları aynı olan iki ışının oluşturduğu geometrik şekildir. Açılar genellikle derece \( (^\circ) \) birimi ile ölçülür. Bir açıyı isimlendirirken köşesi ortada olacak şekilde üç harf veya sadece köşe noktasının harfi kullanılabilir.

Açı Çeşitleri 🤔

• Dar Açı: Ölçüsü \( 0^\circ \) ile \( 90^\circ \) arasında olan açılardır.
• Dik Açı: Ölçüsü tam olarak \( 90^\circ \) olan açılardır. Dik açılar genellikle bir kare sembolü ile gösterilir.
• Geniş Açı: Ölçüsü \( 90^\circ \) ile \( 180^\circ \) arasında olan açılardır.
• Doğru Açı: Ölçüsü tam olarak \( 180^\circ \) olan açılardır. Bir doğru üzerinde bulunur.
• Tam Açı: Ölçüsü tam olarak \( 360^\circ \) olan açılardır. Bir tam turu ifade eder.

Açılar Arasındaki İlişkiler 🤝

Komşu Açılar

Köşeleri ve birer kenarları ortak olan, diğer kenarları ortak kenarın farklı taraflarında bulunan açılara komşu açılar denir. Komşu açılar birbirini örtmez.

Tümler Açılar

Ölçüleri toplamı \( 90^\circ \) olan iki açıya tümler açılar denir.
Örnek: \( 30^\circ \) ve \( 60^\circ \) tümler açılardır. Çünkü \( 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ \).

Unutma: Bir açının tümleri, \( 90^\circ \) eksi o açının ölçüsüdür. Örneğin, \( x \) açısının tümleri \( 90^\circ - x \) olur.

Bütünler Açılar

Ölçüleri toplamı \( 180^\circ \) olan iki açıya bütünler açılar denir.
Örnek: \( 70^\circ \) ve \( 110^\circ \) bütünler açılardır. Çünkü \( 70^\circ + 110^\circ = 180^\circ \).

Unutma: Bir açının bütünleri, \( 180^\circ \) eksi o açının ölçüsüdür. Örneğin, \( y \) açısının bütünleri \( 180^\circ - y \) olur.

Ters Açılar

Kesişen iki doğrunun oluşturduğu ve köşeleri ortak olan, ancak kenarları zıt yönlü olan açılara ters açılar denir. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

Örnek: Kesişen iki doğru düşünelim. Bu doğruların kesişim noktasında oluşan açılardan karşılıklı olanlar ters açılardır ve ölçüleri eşittir. Eğer bir açı \( 50^\circ \) ise, onun ters açısı da \( 50^\circ \) olur.

Paralel Doğrular ve Bir Kesenin Oluşturduğu Açılar 📏

İki paralel doğruyu kesen üçüncü bir doğru (kesen) ile sekiz açı oluşur. Bu açılar arasında özel ilişkiler vardır.

Diyelim ki \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları birbirine paraleldir \( (d_1 \parallel d_2) \). Bu iki doğruyu kesen bir \( k \) doğrusu var. Kesen doğru, paralel doğrularla kesiştiği noktalarda açılar oluşturur. Bu açılara isimler verelim: üstteki kesişim noktasında soldan sağa ve yukarıdan aşağıya doğru \( a, b, c, d \) ve alttaki kesişim noktasında soldan sağa ve yukarıdan aşağıya doğru \( e, f, g, h \) açılarımız olsun.

Yöndeş Açılar

Paralel doğruların aynı tarafında ve kesenin aynı yönünde bulunan açılara yöndeş açılar denir. Yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir.

• \( a \) açısı ile \( e \) açısı yöndeştir. \( m(\angle a) = m(\angle e) \)
• \( b \) açısı ile \( f \) açısı yöndeştir. \( m(\angle b) = m(\angle f) \)
• \( c \) açısı ile \( g \) açısı yöndeştir. \( m(\angle c) = m(\angle g) \)
• \( d \) açısı ile \( h \) açısı yöndeştir. \( m(\angle d) = m(\angle h) \)

İç Ters Açılar

Paralel doğruların arasında (iç bölgede) ve kesenin farklı taraflarında bulunan açılara iç ters açılar denir. İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

• \( c \) açısı ile \( f \) açısı iç terstir. \( m(\angle c) = m(\angle f) \)
• \( d \) açısı ile \( e \) açısı iç terstir. \( m(\angle d) = m(\angle e) \)

Dış Ters Açılar

Paralel doğruların dışında (dış bölgede) ve kesenin farklı taraflarında bulunan açılara dış ters açılar denir. Dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

• \( a \) açısı ile \( h \) açısı dış terstir. \( m(\angle a) = m(\angle h) \)
• \( b \) açısı ile \( g \) açısı dış terstir. \( m(\angle b) = m(\angle g) \)

Karşı Durumlu Açılar

Paralel doğruların arasında (iç bölgede) ve kesenin aynı tarafında bulunan açılara karşı durumlu açılar denir. Karşı durumlu açıların ölçüleri toplamı \( 180^\circ \) dir.

• \( c \) açısı ile \( e \) açısı karşı durumlu açılardır. \( m(\angle c) + m(\angle e) = 180^\circ \)
• \( d \) açısı ile \( f \) açısı karşı durumlu açılardır. \( m(\angle d) + m(\angle f) = 180^\circ \)

Örnek Problem: Birbirine paralel olan \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları ile bu doğruları kesen bir \( k \) doğrusu verilmiştir. Eğer \( d_1 \) doğrusu ile \( k \) doğrusunun kesiştiği noktada oluşan iç ters açılardan birinin ölçüsü \( 75^\circ \) ise, diğer iç ters açının ölçüsü kaç derecedir?

Çözüm: İç ters açıların ölçüleri birbirine eşit olduğundan, diğer iç ters açının ölçüsü de \( 75^\circ \) olacaktır.

Örnek Problem: Tümler iki açıdan birinin ölçüsü, diğerinin ölçüsünün 2 katından \( 15^\circ \) eksiktir. Bu açıları bulunuz.

Çözüm: Birinci açıya \( x \) diyelim. İkinci açı, \( 2x - 15^\circ \) olur. Tümler açılar olduğu için toplamları \( 90^\circ \) dir. \[ x + (2x - 15^\circ) = 90^\circ \] \[ 3x - 15^\circ = 90^\circ \] \[ 3x = 90^\circ + 15^\circ \] \[ 3x = 105^\circ \] \[ x = \frac{105^\circ}{3} \] \[ x = 35^\circ \] Birinci açı \( 35^\circ \) dir. İkinci açı \( 2x - 15^\circ = 2(35^\circ) - 15^\circ = 70^\circ - 15^\circ = 55^\circ \) dir. Kontrol edelim: \( 35^\circ + 55^\circ = 90^\circ \). Doğru.