Doğru ve açı Ders Notu

Doğru ve Açı

Bu bölümde, 7. sınıf matematik müfredatına uygun olarak doğru, ışın, doğru parçası kavramlarını ve farklı açı türlerini öğreneceğiz. Açılarla ilgili temel bilgileri ve günlük hayattaki kullanımlarını örneklerle pekiştireceğiz.

Doğru, Işın ve Doğru Parçası

• Doğru: İki yönde sonsuza uzanan, düz bir çizgi kümesidir. Üzerindeki herhangi iki noktayla adlandırılır (örneğin AB doğrusu). Doğruların başlangıç ve bitiş noktaları yoktur.
• Işın: Bir başlangıç noktası olan ve bir yönde sonsuza uzanan düz çizgi kümesidir. Başlangıç noktası belirtilerek adlandırılır (örneğin [AB ışını, A başlangıç noktasıdır).
• Doğru Parçası: Bir başlangıç noktası ve bir bitiş noktası olan, iki nokta arasındaki sınırlı düz çizgi kümesidir. İki noktayla adlandırılır (örneğin [AB] doğru parçası).

Açı Nedir?

Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşimiyle oluşan geometrik şekle açı denir. Açılar, başlangıç noktalarına köşe, ışınlara ise kolları denir.

Bir açıyı isimlendirirken:

• Köşe noktası ortada olacak şekilde üç harfle isimlendirebiliriz (örneğin ABC açısı, B köşesi).
• Sadece köşe harfiyle isimlendirebiliriz (örneğin B açısı).
• Açının üzerine küçük bir harf yazarak da isimlendirebiliriz (örneğin \alpha açısı).

Açıların ölçüleri derece (^\circ) birimiyle ifade edilir.

Açı Çeşitleri

Açıların ölçülerine göre farklı isimler alırlar:

1. Dar Açı

Ölçüsü 0^\circ ile 90^\circ arasında olan açılardır.

Örnek: 30^\circ, 45^\circ, 89^\circ birer dar açıdır.

2. Dik Açı

Ölçüsü tam olarak 90^\circ olan açılardır. Dik açılar, birbirine dik olan iki doğrunun kesişmesiyle oluşur ve genellikle bir kare ile gösterilir.

Örnek: Bir odanın köşesi, kitap sayfasının kenarlarının kesişimi.

3. Geniş Açı

Ölçüsü 90^\circ ile 180^\circ arasında olan açılardır.

Örnek: 120^\circ, 150^\circ birer geniş açıdır.

4. Doğru Açı

Ölçüsü tam olarak 180^\circ olan açılardır. Bir doğru üzerindeki bir noktadan çıkan iki ışının zıt yönlü olmasıyla oluşur.

Örnek: Düz bir çizgi, bir masanın kenarı.

5. Tam Açı

Ölçüsü tam olarak 360^\circ olan açılardır. Bir tam turu ifade eder.

Örnek: Saatin akrep ve yelkovanının tam bir tur atması.

Bütünler Açılar ve Tümler Açılar

• Bütünler Açılar: Toplamları 180^\circ olan iki açıya denir.
• Tümler Açılar: Toplamları 90^\circ olan iki açıya denir.

Çözümlü Örnek 1:

Ölçüsü 50^\circ olan bir açının tümleri ile bütünlerinin toplamı kaç derecedir?

Çözüm:

Verilen açının ölçüsü 50^\circ.

Tümü: 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ

Bütünleri: 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ

Tümü ile bütünlerinin toplamı: 40^\circ + 130^\circ = 170^\circ

Çözümlü Örnek 2:

Birbirini bütünleyen iki açıdan biri diğerinin 3 katından 10^\circ fazladır. Bu iki açıdan büyük olanı kaç derecedir?

Çözüm:

Küçük açıya x diyelim. Büyük açı 3x + 10^\circ olur.

Bütünler oldukları için toplamları 180^\circ olmalı:

\[ x + (3x + 10^\circ) = 180^\circ \]

\[ 4x + 10^\circ = 180^\circ \]

\[ 4x = 180^\circ - 10^\circ \]

\[ 4x = 170^\circ \]

\[ x = \frac{170^\circ}{4} \]

\[ x = 42.5^\circ \]

Büyük açı: 3x + 10^\circ = 3 \times 42.5^\circ + 10^\circ = 127.5^\circ + 10^\circ = 137.5^\circ

Ters Açılar

Kesişen iki doğrunun oluşturduğu zıt yönlü açılara ters açılar denir. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

Çözümlü Örnek 3:

Birbirini kesen iki doğrunun oluşturduğu açılardan biri 70^\circ ise, diğer üç açının ölçüleri kaçar derecedir?

Çözüm:

Kesişen doğrular 4 açı oluşturur. Bu açılardan biri 70^\circ ise:

• Kendisine ters olan açı da 70^\circ'dir.
• Kendisine komşu olan açılar ise doğru açı oluşturur, yani 180^\circ'den 70^\circ çıkarılarak bulunur: 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ.
• Bu 110^\circ'lik açının tersi de 110^\circ'dir.

Böylece açılar 70^\circ, 110^\circ, 70^\circ, 110^\circ olur.

Komşu Açılar

Başlangıç noktaları aynı olan ve birer ışınları ortak olan açılara komşu açılar denir. Ortak olmayan ışınlar arasında kalan açıların toplamı, komşu açıların toplamını verir.

Günlük hayatta saatlerin akrep ve yelkovanının oluşturduğu açılar, bir yol kavşağındaki yönler, mimari projelerdeki açılar doğru ve açı kavramlarının kullanıldığı yerlere örnek verilebilir.