Doğru orantı ters orantı Ders Notu

Doğru Orantı ve Ters Orantı

Merhaba sevgili 7. sınıf öğrencileri! Bu dersimizde, matematiksel ilişkilerin temelini oluşturan doğru orantı ve ters orantı kavramlarını öğreneceğiz. Bu iki kavram, iki çokluk arasındaki ilişkiyi anlamamıza yardımcı olur ve günlük hayatımızda karşımıza çıkan pek çok problemi çözmemizi sağlar.

Doğru Orantı

İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyor veya biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa, bu iki çokluk arasında doğru orantı vardır. Doğru orantılı çokluklar birbirine bölündüğünde sonuç sabittir.

Eğer \(a\) ve \(b\) çoklukları doğru orantılı ise, bu ilişkiyi şu şekilde gösterebiliriz:

\[ \frac{a}{b} = k \]

Burada \(k\) bir sabittir ve orantı sabitini ifade eder.

Örnek 1: Bir manavda elmalar kilogramı 5 TL'den satılıyor. 2 kg elma alan bir kişi 10 TL öderken, 4 kg elma alan bir kişi 20 TL öder. Elma miktarı ile ödenen ücret doğru orantılıdır.

• 2 kg elma için ödenen ücret: 2 kg \( \times \) 5 TL/kg = 10 TL
• 4 kg elma için ödenen ücret: 4 kg \( \times \) 5 TL/kg = 20 TL

Elma miktarı iki katına çıktığında (2 kg'dan 4 kg'a), ödenen ücret de iki katına çıkmıştır (10 TL'den 20 TL'ye). Orantı sabiti \(k = \frac{10}{2} = \frac{20}{4} = 5\) TL/kg'dır.

Örnek 2: Bir aracın hızı ile aldığı yol arasındaki ilişkiyi inceleyelim. Eğer araç sabit bir hızla gidiyorsa, geçen zaman arttıkça aldığı yol da artar. Bu durumda hız ile zaman doğru orantılıdır.

Ters Orantı

İki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa veya biri azalırken diğeri aynı oranda artıyorsa, bu iki çokluk arasında ters orantı vardır. Ters orantılı çokluklar birbirleriyle çarpıldığında sonuç sabittir.

Eğer \(a\) ve \(b\) çoklukları ters orantılı ise, bu ilişkiyi şu şekilde gösterebiliriz:

\[ a \times b = k \]

Burada \(k\) bir sabittir ve orantı sabitini ifade eder.

Örnek 3: Bir işi bitirmek için çalışan işçi sayısı ile her bir işçinin çalışması gereken süre ters orantılıdır. Örneğin, 10 günde bitirilebilecek bir işi 2 işçi 10 gün çalışarak bitirebilir. Eğer işçi sayısı 4'e çıkarsa, her bir işçinin çalışması gereken süre azalır.

• 2 işçi \( \times \) 10 gün = 20 iş-gün
• Eğer işçi sayısı 4 olursa: 4 işçi \( \times \) \(x\) gün = 20 iş-gün. Buradan \(x = \frac{20}{4} = 5\) gün bulunur.

İşçi sayısı iki katına çıktığında (2 işçi'den 4 işçi'ye), işin bitme süresi yarıya inmiştir (10 günden 5 güne). Orantı sabiti \(k = 20\) iş-gün'dür.

Örnek 4: Bir havuzu doldurmak için kullanılan musluk sayısı ile her bir musluğun açık kalma süresi ters orantılıdır. Daha fazla musluk açılırsa, havuz daha kısa sürede dolar.

Doğru ve Ters Orantı Problemleri

Bu iki kavramı bir arada kullanarak daha karmaşık problemler çözebiliriz. Örneğin, bir miktar paranın birden fazla kişiye hem kişi sayısına hem de kişinin yaşına göre dağıtılması gibi durumlarda hem doğru hem de ters orantı kuralları bir arada kullanılabilir. Ancak 7. sınıf müfredatında genellikle tek başına doğru veya tek başına ters orantı problemleri üzerinde durulur.

Çözümlü Örnekler

Soru 1: 3 kg elma 12 TL'ye satılıyorsa, 5 kg elma kaç TL'ye satılır? (Doğru orantı)

Çözüm: Elma miktarı ile fiyat doğru orantılıdır. Orantı sabiti \(k = \frac{12}{3} = 4\) TL/kg'dır. O halde 5 kg elmanın fiyatı \(5 \times 4 = 20\) TL olur.

Soru 2: Bir işi 6 işçi 8 günde bitiriyorsa, aynı işi 4 işçi kaç günde bitirir? (Ters orantı)

Çözüm: İşçi sayısı ile işin bitme süresi ters orantılıdır. Orantı sabiti \(k = 6 \times 8 = 48\) iş-gün'dür. O halde 4 işçi \( \frac{48}{4} = 12 \) günde bitirir.

Soru 3: \(a\) sayısı \(b\) sayısı ile doğru orantılıdır. \(a = 6\) iken \(b = 3\) ise, \(a = 10\) iken \(b\) kaçtır?

Çözüm: Doğru orantıda \( \frac{a}{b} = k \). \( \frac{6}{3} = k \Rightarrow k = 2 \). Yeni durumda \( \frac{10}{b} = 2 \Rightarrow b = \frac{10}{2} = 5 \).

Soru 4: \(x\) sayısı \(y\) sayısı ile ters orantılıdır. \(x = 4\) iken \(y = 12\) ise, \(x = 6\) iken \(y\) kaçtır?

Çözüm: Ters orantıda \( x \times y = k \). \( 4 \times 12 = k \Rightarrow k = 48 \). Yeni durumda \( 6 \times y = 48 \Rightarrow y = \frac{48}{6} = 8 \).