Doğru orantı ters orantı problemleri Ders Notu

Doğru Orantı ve Ters Orantı Problemleri

Merhaba 7. Sınıf öğrencileri! Bugün matematikte çok önemli bir konuya giriş yapacağız: Doğru Orantı ve Ters Orantı. Bu iki kavram, sayılar arasındaki ilişkileri anlamamızı sağlar ve günlük hayatımızdaki birçok problemi çözmemize yardımcı olur. Hazırsanız, başlayalım!

Doğru Orantı Nedir?

İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa veya biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa, bu iki çokluk doğru orantılıdır.

Örneğin, bir manavdan aldığınız elma miktarı arttıkça ödeyeceğiniz para miktarı da artar. Elma miktarı azaldıkça ödeyeceğiniz para miktarı da azalır. Elma miktarı ile ödenecek para doğru orantılıdır.

Matematiksel olarak ifade etmek gerekirse, \(a\) ve \(b\) gibi iki çokluk doğru orantılı ise, bunların oranı sabittir. Yani:

\[ \frac{a}{b} = k \]

Burada \(k\) bir sabit sayıdır ve orantı sabiti olarak adlandırılır.

Doğru Orantı Örneği:

Bir bisikletin tekerleği 10 tur döndüğünde 50 metre yol alıyor. Tekerlek 20 tur döndüğünde kaç metre yol alır?

Bu problemde, tekerleğin tur sayısı ile alınan yol doğru orantılıdır. Tur sayısı iki katına çıkarsa, alınan yol da iki katına çıkar.

• Tur Sayısı | Alınan Yol (metre)
• 10 | 50
• 20 | ?

Doğru orantı olduğu için oran sabittir:

\[ \frac{10}{50} = \frac{20}{x} \]

İçler dışlar çarpımı yaparsak:

\[ 10 \times x = 20 \times 50 \] \[ 10x = 1000 \] \[ x = \frac{1000}{10} \] \[ x = 100 \]

Sonuç olarak, tekerlek 20 tur döndüğünde 100 metre yol alır. ✅

Ters Orantı Nedir?

İki çokluktan biri artarken diğeri ters oranda azalıyorsa veya biri azalırken diğeri ters oranda artıyorsa, bu iki çokluk ters orantılıdır.

Örneğin, belirli bir işi bitirmek için çalışan işçi sayısı arttıkça, işin bitme süresi azalır. İşçi sayısı azaldıkça, işin bitme süresi artar. İşçi sayısı ile işin bitme süresi ters orantılıdır.

Matematiksel olarak ifade etmek gerekirse, \(a\) ve \(b\) gibi iki çokluk ters orantılı ise, çarpımları sabittir. Yani:

\[ a \times b = k \]

Burada \(k\) yine bir sabit sayıdır ve orantı sabiti olarak adlandırılır.

Ters Orantı Örneği:

Bir bahçeyi 6 işçi 8 günde bitirebiliyor. Aynı bahçeyi 4 işçi kaç günde bitirebilir?

Bu problemde, işçi sayısı ile işin bitme süresi ters orantılıdır. İşçi sayısı azaldıkça, işin bitme süresi artar.

• İşçi Sayısı | Gün Sayısı
• 6 | 8
• 4 | ?

Ters orantı olduğu için çarpımlar sabittir:

\[ 6 \times 8 = 4 \times y \] \[ 48 = 4y \] \[ y = \frac{48}{4} \] \[ y = 12 \]

Sonuç olarak, aynı bahçeyi 4 işçi 12 günde bitirebilir. ✅

Karışık Problemler

Şimdi hem doğru hem de ters orantı içeren bir problem çözelim:

Örnek:

8 işçi, günde 6 saat çalışarak bir işi 12 günde bitirebiliyor. Bu işin 2 katı büyüklüğündeki başka bir işi, 9 işçi günde 8 saat çalışarak kaç günde bitirebilir?

Bu tür problemlerde, çoklukları bir tabloya yerleştirmek işimizi kolaylaştırır. İşçi sayısı ve çalışma saati arttıkça işin bitme süresi azalır (ters orantı). İş miktarı arttıkça işin bitme süresi artar (doğru orantı).

Çoklukları şu şekilde sıralayalım:

• İşçi Sayısı (Ters)
• Günlük Çalışma Saati (Ters)
• İşin Süresi (Doğru)
• İşin Miktarı (Doğru)

İlk durum:

• İşçi Sayısı: 8
• Günlük Çalışma Saati: 6
• İşin Süresi: 12 gün
• İşin Miktarı: 1 (ilk işi 1 kabul edelim)

İkinci durum:

• İşçi Sayısı: 9
• Günlük Çalışma Saati: 8
• İşin Süresi: ? (buna \(z\) diyelim)
• İşin Miktarı: 2 (ilk işin 2 katı)

Ters orantılı çoklukları çarpım şeklinde, doğru orantılı çoklukları ise bölme şeklinde yazarız:

\[ \frac{8 \times 6 \times 2}{12} = \frac{9 \times 8 \times z}{1} \]

Şimdi denklemi çözelim:

\[ \frac{96}{12} = \frac{72z}{1} \] \[ 8 = 72z \] \[ z = \frac{8}{72} \] \[ z = \frac{1}{9} \]

Bu sonuç, işin 1/9'unun bitirildiği anlamına gelir. Ancak biz işin tamamını kaç günde bitireceklerini bulmak istiyoruz. Yukarıdaki denklemdeki yerleşimde, işin süresi doğru orantılı olduğu için işin miktarı pay kısmında yer almalıydı. Doğru denklem şu şekilde olmalıdır:

Ters orantılılar çarpılır, doğru orantılılar bölünür:

\[ \frac{\text{İşçi Sayısı}_1 \times \text{Çalışma Saati}_1}{\text{İşin Süresi}_1 \times \text{İşin Miktarı}_1} = \frac{\text{İşçi Sayısı}_2 \times \text{Çalışma Saati}_2}{\text{İşin Süresi}_2 \times \text{İşin Miktarı}_2} \]

Bu formül yerine, çoklukları birbiriyle ilişkilendirerek daha anlaşılır bir yol izleyelim:

Bir işçi, 1 saatte \( \frac{1}{8 \times 6 \times 12} = \frac{1}{576} \) oranında iş yapar.

Bu işin 2 katı büyüklüğündeki iş için:

9 işçi, günde 8 saat çalışarak \( 9 \times 8 = 72 \) birimlik iş gücü oluşturur.

Bu 72 birimlik iş gücü ile 2 birimlik işin ne kadar sürede biteceğini bulacağız.

İlk durumda, 1 birim iş için \( 8 \times 6 \times 12 = 576 \) "işçi-saat" gerekiyordu.

İkinci durumda, 2 birim iş için \( 2 \times 576 = 1152 \) "işçi-saat" gereklidir.

Bu 1152 "işçi-saat" işi, günde 8 saat çalışan 9 işçi ile bitireceğiz. Yani toplamda \( 9 \times 8 = 72 \) işçi-saatlik bir günlük çalışma kapasitesi var.

Gereken gün sayısı:

\[ \frac{1152 \text{ işçi-saat}}{72 \text{ işçi-saat/gün}} = 16 \text{ gün} \]

Sonuç olarak, ikinci iş 16 günde biter. ✅

Unutmayın, doğru orantıda oranlar eşitlenir, ters orantıda çarpımlar eşitlenir. Problemleri dikkatlice okuyarak hangi orantı türünün geçerli olduğunu belirlemek en önemli adımdır. 👍