Devirli Ondalık Gösterimler Ders Notu

Devirli ondalık gösterimler, rasyonel sayıların ondalık gösteriminde bir veya birden fazla basamağın belirli bir düzen içinde sürekli tekrar etmesi durumudur. Bu tür sayılar, sonsuza kadar uzayan ancak tahmin edilebilir bir örüntüye sahip ondalık sayılardır. Rasyonel sayılar kümesinin önemli bir parçasıdırlar.

Devirli Ondalık Gösterim Nedir? 🤔

Bir rasyonel sayı kesir olarak ifade edildiğinde, paydanın asal çarpanları arasında 2 ve 5 dışında bir sayı varsa, bu kesrin ondalık gösterimi devirli olur. Devirli ondalık gösterimlerde tekrar eden kısım üzerine bir çizgi çekilerek ifade edilir.

• Örnek: \( \frac{1}{3} \) kesrini ondalık gösterime çevirdiğimizde \( 0.333... \) elde ederiz. Bu sayı, \( 0.\overline{3} \) şeklinde gösterilir. Burada 3 rakamı devreden kısımdır.
• Örnek: \( \frac{2}{11} \) kesri \( 0.181818... \) olarak yazılır ve \( 0.\overline{18} \) şeklinde gösterilir. Burada 18 sayısı devreden kısımdır.

Rasyonel Sayıları Devirli Ondalık Gösterime Çevirme 📚

Bir rasyonel sayıyı devirli ondalık gösterime çevirmek için payı paydaya bölme işlemi yapılır. Bölme işlemi sırasında kalanın tekrar etmeye başladığı noktada, ondalık kısmın da tekrar etmeye başladığını görürüz.

Adım Adım Çevirme Yöntemi:

1. Payı paydaya normal bölme işlemiyle bölün.
2. Bölme işlemine devam ederken, kalanların tekrar etmeye başladığı anı yakalayın.
3. Kalan tekrar etmeye başladığında, bölümdeki ondalık kısımda da aynı rakam veya rakam grubunun tekrar ettiğini göreceksiniz.
4. Tekrar eden kısmın üzerine bir çizgi çekerek devirli ondalık gösterimi yazın.

Örnek 1: \( \frac{5}{6} \) kesrini devirli ondalık gösterime çevirelim.
\( 5 \div 6 = 0.8333... \)
Bölme işlemine devam ettiğimizde 3 rakamının sürekli tekrar ettiğini görürüz.
Bu nedenle \( \frac{5}{6} = 0.8\overline{3} \) olur.

Örnek 2: \( \frac{10}{7} \) kesrini devirli ondalık gösterime çevirelim.
\( 10 \div 7 = 1.428571428571... \)
Burada 428571 rakam grubu sürekli tekrar etmektedir.
Bu nedenle \( \frac{10}{7} = 1.\overline{428571} \) olur.

Devirli Ondalık Gösterimleri Rasyonel Sayıya Çevirme 💡

Devirli ondalık gösterimleri rasyonel sayıya (kesre) çevirmek için pratik bir formül kullanılır. Bu formül, devirli ondalık sayıyı bir kesir olarak ifade etmemizi sağlar.

Devirli Ondalık Sayıyı Kesre Çevirme Formülü:

\[ \text{Devirli Ondalık Sayı} = \frac{\text{Tüm Sayı} - \text{Devretmeyen Kısım}}{\text{Devreden Kadar 9, Devretmeyen Kadar 0}} \]

Bu formüldeki terimleri daha yakından inceleyelim:

• Tüm Sayı: Ondalık sayının virgülü yokmuş gibi okunup yazılan halidir. (Örneğin \( 0.\overline{3} \) için 3, \( 1.2\overline{5} \) için 125).
• Devretmeyen Kısım: Ondalık sayının devreden kısmı hariç, virgülün solundaki ve sağındaki rakamlardan oluşan sayıdır. (Örneğin \( 0.\overline{3} \) için 0, \( 1.2\overline{5} \) için 12).
• Paydadaki "Devreden Kadar 9": Devreden rakam sayısı kadar 9 yazılır. (Örneğin \( 0.\overline{3} \) için bir tane 9, \( 0.\overline{18} \) için iki tane 9).
• Paydadaki "Devretmeyen Kadar 0": Virgülden sonra devretmeyen rakam sayısı kadar 0 yazılır. (Örneğin \( 0.\overline{3} \) için 0 tane 0, \( 0.8\overline{3} \) için bir tane 0).

Örnek 1: \( 0.\overline{3} \) sayısını rasyonel sayıya çevirelim.
Tüm Sayı = 3
Devretmeyen Kısım = 0
Devreden Basamak Sayısı = 1 (bir tane 3 devrediyor)
Virgülden Sonra Devretmeyen Basamak Sayısı = 0
\[ 0.\overline{3} = \frac{3 - 0}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \]

Örnek 2: \( 1.2\overline{5} \) sayısını rasyonel sayıya çevirelim.
Tüm Sayı = 125
Devretmeyen Kısım = 12
Devreden Basamak Sayısı = 1 (bir tane 5 devrediyor)
Virgülden Sonra Devretmeyen Basamak Sayısı = 1 (bir tane 2 var)
\[ 1.2\overline{5} = \frac{125 - 12}{90} = \frac{113}{90} \]

Örnek 3: \( 0.\overline{45} \) sayısını rasyonel sayıya çevirelim.
Tüm Sayı = 45
Devretmeyen Kısım = 0
Devreden Basamak Sayısı = 2 (4 ve 5 devrediyor)
Virgülden Sonra Devretmeyen Basamak Sayısı = 0
\[ 0.\overline{45} = \frac{45 - 0}{99} = \frac{45}{99} = \frac{5}{11} \]

Önemli Notlar ve İpuçları 🧠

• Her devirli ondalık sayı bir rasyonel sayıdır.
• Paydada sadece 2 ve 5 asal çarpanları olan kesirler, sonlu (devretmeyen) ondalık gösterime sahiptir.
• Bazı özel devirli ondalık sayılar:
  • \( 0.\overline{9} = \frac{9-0}{9} = \frac{9}{9} = 1 \)
  • \( 1.\overline{9} = \frac{19-1}{9} = \frac{18}{9} = 2 \)
  Bu durum, 0.999... sayısının aslında 1'e eşit olduğunu gösterir ve matematikte önemli bir kavramdır.

Alıştırmalar 📝

Aşağıdaki alıştırmaları yaparak konuyu pekiştirebilirsiniz:

Sorular	Cevaplar
\( \frac{7}{9} \) kesrini devirli ondalık gösterime çevirin.	\( 0.\overline{7} \)
\( 0.1\overline{6} \) sayısını rasyonel sayıya çevirin.	\( \frac{16-1}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6} \)
\( 2.\overline{3} \) sayısını rasyonel sayıya çevirin.	\( \frac{23-2}{9} = \frac{21}{9} = \frac{7}{3} \)
\( \frac{1}{11} \) kesrini devirli ondalık gösterime çevirin.	\( 0.\overline{09} \)