( .... ) Devirli ondalık gösterimlerde devreden kısım sadece bir rakamdan oluşabilir.
B. Boşluk Doldurma Bölümü
Bir rasyonel sayının payı paydaya bölündüğünde, bölüm kısmında rakamlar belirli bir düzende tekrar ediyorsa bu tür gösterimlere .................... denir.
Devirli ondalık gösterimi yazarken, devreden rakam veya rakam grubunun üzerine bir .................... çizilir.
Devirli ondalık gösterimleri rasyonel sayıya çevirirken, sayının tamamından devretmeyen kısım çıkarılır ve payda kısmına devreden kadar 9, devretmeyen kadar .................... yazılır.
\(1/2\) kesri bir .................... ondalık gösterimdir, devirli değildir.
C. Kavram Eşleştirme
( .... ) Bir rasyonel sayının ondalık açılımında belirli bir rakam veya rakam grubunun sürekli tekrar etmesi durumu.
- Devirli Ondalık Gösterim
( .... ) Devirli ondalık gösterimde tekrar eden rakam veya rakam grubu.
- Devreden Kısım
( .... ) \(a/b\) şeklinde yazılabilen sayılar (\(b \neq 0\)).
- Rasyonel Sayı
( .... ) Ondalık kısmında belirli bir sayıda basamak olan, tekrar etmeyen ondalık sayılar.
- Sonlu Ondalık Gösterim
( .... ) Devirli ondalık gösterimde virgülden sonra olup tekrar etmeyen basamaklar.
- Devretmeyen Kısım
D. Kısa Cevaplı Sorular
\(0,\overline{4}\) devirli ondalık gösterimini rasyonel sayı olarak ifade ediniz.
4. Devirli ondalık gösterimleri rasyonel sayıya çevirirken, sayının tamamından devretmeyen kısım çıkarılır ve payda kısmına devreden kadar 9, devretmeyen kadar yazılır.
5. \(1/2\) kesri bir ondalık gösterimdir, devirli değildir.
🔗 3. Kavram Eşleştirme
« Bir rasyonel sayının ondalık açılımında belirli bir rakam veya rakam grubunun sürekli tekrar etmesi durumu.
« Devirli ondalık gösterimde tekrar eden rakam veya rakam grubu.
« \(a/b\) şeklinde yazılabilen sayılar (\(b \neq 0\)).
« Ondalık kısmında belirli bir sayıda basamak olan, tekrar etmeyen ondalık sayılar.
« Devirli ondalık gösterimde virgülden sonra olup tekrar etmeyen basamaklar.
✍️ 4. Kısa Cevaplı Sorular
1. \(0,\overline{4}\) devirli ondalık gösterimini rasyonel sayı olarak ifade ediniz.
2. \(0,\overline{12}\) devirli ondalık gösterimi hangi rasyonel sayıya eşittir?
3. Aşağıdaki ondalık gösterimlerden hangisi devirli değildir?
📝 6. Açık Uçlu Klasik Sorular
1. \(0,\overline{27}\) devirli ondalık gösterimini rasyonel sayıya çeviriniz ve en sade halini bulunuz.
💡 Çözüm Adımları:
Bir devirli ondalık gösterimi rasyonel sayıya çevirmek için aşağıdaki adımlar izlenir:
1. Sayının tamamı (virgül ve devir çizgisi olmadan) yazılır.
2. Bu sayıdan devretmeyen kısım çıkarılır.
3. Paydaya devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen ondalık basamak sayısı kadar 0 yazılır.
Verilen sayı \(0,\overline{27}\) dir.
Sayının tamamı: 27
Devretmeyen kısım: 0
Devreden basamak sayısı: 2 (2 ve 7 devrediyor) \(\rightarrow\) iki tane 9
Devretmeyen ondalık basamak sayısı: 0 \(\rightarrow\) sıfır tane 0
Formülü uygulayalım:
\(\frac{\text{Sayının Tamamı} - \text{Devretmeyen Kısım}}{\text{Devreden Kadar 9, Devretmeyen Kadar 0}} = \frac{27 - 0}{99} = \frac{27}{99}\)
Şimdi kesri en sade haline getirelim. Hem pay hem de payda 9 ile bölünebilir:
\(\frac{27 \div 9}{99 \div 9} = \frac{3}{11}\)
Sonuç olarak, \(0,\overline{27}\) devirli ondalık gösteriminin rasyonel sayı karşılığı \(3/11\) 'dir.
Bir devirli ondalık gösterimi rasyonel sayıya çevirmek için aşağıdaki adımlar izlenir:
1. Sayının tamamı (virgül ve devir çizgisi olmadan) yazılır.
2. Bu sayıdan devretmeyen kısım çıkarılır.
3. Paydaya devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen ondalık basamak sayısı kadar 0 yazılır.
Verilen sayı \(1,2\overline{3}\) dir.
Sayının tamamı: 123
Devretmeyen kısım (virgülden önceki kısım ve devretmeyen ondalık kısım): 12
Devreden basamak sayısı: 1 (sadece 3 devrediyor) \(\rightarrow\) bir tane 9
Devretmeyen ondalık basamak sayısı: 1 (sadece 2 devretmiyor) \(\rightarrow\) bir tane 0
Formülü uygulayalım:
\(\frac{\text{Sayının Tamamı} - \text{Devretmeyen Kısım}}{\text{Devreden Kadar 9, Devretmeyen Kadar 0}} = \frac{123 - 12}{90} = \frac{111}{90}\)
Şimdi kesri en sade haline getirelim. Hem pay hem de payda 3 ile bölünebilir:
\(\frac{111 \div 3}{90 \div 3} = \frac{37}{30}\)
Sonuç olarak, \(1,2\overline{3}\) devirli ondalık gösteriminin rasyonel sayı karşılığı \(37/30\) 'dir.
3. \(0,\overline{9}\) devirli ondalık gösteriminin hangi tam sayıya eşit olduğunu açıklayarak bulunuz.
💡 Çözüm Adımları:
Bu soruyu çözmek için yaygın olarak kullanılan bir yöntem veya rasyonel sayıya çevirme kuralını kullanabiliriz.
**Yöntem 1: Denklem Kurma**
\(x = 0,\overline{9}\) olsun.
Her iki tarafı 10 ile çarpalım:
\(10x = 9,\overline{9}\)
Şimdi \(10x\) denkleminden \(x\) denklemini çıkaralım:
\(10x - x = 9,\overline{9} - 0,\overline{9}\)
\(9x = 9\)
Her iki tarafı 9'a bölelim:
\(x = \frac{9}{9}\)
\(x = 1\)
**Yöntem 2: Rasyonel Sayıya Çevirme Kuralı**
\(\frac{\text{Sayının Tamamı} - \text{Devretmeyen Kısım}}{\text{Devreden Kadar 9, Devretmeyen Kadar 0}}\)
Verilen sayı \(0,\overline{9}\) dir.
Sayının tamamı: 9
Devretmeyen kısım: 0
Devreden basamak sayısı: 1 (sadece 9 devrediyor) \(\rightarrow\) bir tane 9
Devretmeyen ondalık basamak sayısı: 0 \(\rightarrow\) sıfır tane 0
**Açıklama:** Matematiksel olarak \(0,\overline{9}\) ifadesi 1'e eşittir. Bu durum, ondalık gösterimlerin tekliğini sağlamak için kabul edilen bir özelliktir ve limit kavramıyla da ilişkilidir. Örneğin, \(1/3 = 0,\overline{3}\) ve \(2/3 = 0,\overline{6}\) olduğunu biliyoruz. Eğer bu iki kesri toplarsak:
\(1/3 + 2/3 = 1\)
Aynı şekilde ondalık gösterimlerini toplarsak:
\(0,\overline{3} + 0,\overline{6} = 0,\overline{9}\)
Bu durumda, \(1 = 0,\overline{9}\) olması gerekir. Bu, ondalık sistemdeki bazı sayıların birden fazla gösterime sahip olabileceği ancak bu özel durumda birbirine eşit kabul edildiği bir durumdur.
Sonuç olarak, \(0,\overline{9}\) devirli ondalık gösterimi 1 tam sayısına eşittir.
İçerik Hazırlanıyor...
Lütfen sayfayı kapatmayın, bu işlem 30-40 saniye sürebilir.