📄 7. Sınıf Matematik: Devirli Ondalık Gösterimler Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Bir devirli ondalık gösterimi rasyonel sayıya çevirmek için aşağıdaki adımlar izlenir:
1. Sayının tamamı (virgül ve devir çizgisi olmadan) yazılır.
2. Bu sayıdan devretmeyen kısım çıkarılır.
3. Paydaya devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen ondalık basamak sayısı kadar 0 yazılır.

Verilen sayı \(0,\overline{27}\) dir.
Sayının tamamı: 27
Devretmeyen kısım: 0
Devreden basamak sayısı: 2 (2 ve 7 devrediyor) \(\rightarrow\) iki tane 9
Devretmeyen ondalık basamak sayısı: 0 \(\rightarrow\) sıfır tane 0

Formülü uygulayalım:
\(\frac{\text{Sayının Tamamı} - \text{Devretmeyen Kısım}}{\text{Devreden Kadar 9, Devretmeyen Kadar 0}} = \frac{27 - 0}{99} = \frac{27}{99}\)

Şimdi kesri en sade haline getirelim. Hem pay hem de payda 9 ile bölünebilir:
\(\frac{27 \div 9}{99 \div 9} = \frac{3}{11}\)

Sonuç olarak, \(0,\overline{27}\) devirli ondalık gösteriminin rasyonel sayı karşılığı \(3/11\) 'dir.

💡 Çözüm Adımları:

Bir devirli ondalık gösterimi rasyonel sayıya çevirmek için aşağıdaki adımlar izlenir:
1. Sayının tamamı (virgül ve devir çizgisi olmadan) yazılır.
2. Bu sayıdan devretmeyen kısım çıkarılır.
3. Paydaya devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen ondalık basamak sayısı kadar 0 yazılır.

Verilen sayı \(1,2\overline{3}\) dir.
Sayının tamamı: 123
Devretmeyen kısım (virgülden önceki kısım ve devretmeyen ondalık kısım): 12
Devreden basamak sayısı: 1 (sadece 3 devrediyor) \(\rightarrow\) bir tane 9
Devretmeyen ondalık basamak sayısı: 1 (sadece 2 devretmiyor) \(\rightarrow\) bir tane 0

Formülü uygulayalım:
\(\frac{\text{Sayının Tamamı} - \text{Devretmeyen Kısım}}{\text{Devreden Kadar 9, Devretmeyen Kadar 0}} = \frac{123 - 12}{90} = \frac{111}{90}\)

Şimdi kesri en sade haline getirelim. Hem pay hem de payda 3 ile bölünebilir:
\(\frac{111 \div 3}{90 \div 3} = \frac{37}{30}\)

Sonuç olarak, \(1,2\overline{3}\) devirli ondalık gösteriminin rasyonel sayı karşılığı \(37/30\) 'dir.

💡 Çözüm Adımları:

Bu soruyu çözmek için yaygın olarak kullanılan bir yöntem veya rasyonel sayıya çevirme kuralını kullanabiliriz.

**Yöntem 1: Denklem Kurma**
\(x = 0,\overline{9}\) olsun.
Her iki tarafı 10 ile çarpalım:
\(10x = 9,\overline{9}\)

Şimdi \(10x\) denkleminden \(x\) denklemini çıkaralım:
\(10x - x = 9,\overline{9} - 0,\overline{9}\)
\(9x = 9\)
Her iki tarafı 9'a bölelim:
\(x = \frac{9}{9}\)
\(x = 1\)

**Yöntem 2: Rasyonel Sayıya Çevirme Kuralı**
\(\frac{\text{Sayının Tamamı} - \text{Devretmeyen Kısım}}{\text{Devreden Kadar 9, Devretmeyen Kadar 0}}\)
Verilen sayı \(0,\overline{9}\) dir.
Sayının tamamı: 9
Devretmeyen kısım: 0
Devreden basamak sayısı: 1 (sadece 9 devrediyor) \(\rightarrow\) bir tane 9
Devretmeyen ondalık basamak sayısı: 0 \(\rightarrow\) sıfır tane 0

Formülü uygulayalım:
\(\frac{9 - 0}{9} = \frac{9}{9} = 1\)

**Açıklama:** Matematiksel olarak \(0,\overline{9}\) ifadesi 1'e eşittir. Bu durum, ondalık gösterimlerin tekliğini sağlamak için kabul edilen bir özelliktir ve limit kavramıyla da ilişkilidir. Örneğin, \(1/3 = 0,\overline{3}\) ve \(2/3 = 0,\overline{6}\) olduğunu biliyoruz. Eğer bu iki kesri toplarsak:
\(1/3 + 2/3 = 1\)
Aynı şekilde ondalık gösterimlerini toplarsak:
\(0,\overline{3} + 0,\overline{6} = 0,\overline{9}\)
Bu durumda, \(1 = 0,\overline{9}\) olması gerekir. Bu, ondalık sistemdeki bazı sayıların birden fazla gösterime sahip olabileceği ancak bu özel durumda birbirine eşit kabul edildiği bir durumdur.

Sonuç olarak, \(0,\overline{9}\) devirli ondalık gösterimi 1 tam sayısına eşittir.