💡 7. Sınıf Matematik: Dairenin alanı Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Yarıçapı \( r = 5 \) cm olan bir dairenin alanını hesaplayınız.
(Not: \( \pi = 3 \) alınız.)
Çözüm ve Açıklama
Dairenin alanını bulmak için \( \pi \times r^2 \) formülünü kullanırız.
Adım 1: Verilen yarıçap değerini formülde yerine koyalım.
Adım 2: Alan = \( 3 \times 5^2 \)
Adım 3: Alan = \( 3 \times 25 \)
Adım 4: Alan = \( 75 \) cm²
✅ Sonuç: Yarıçapı \( 5 \) cm olan dairenin alanı \( 75 \) cm² olarak bulunur.
2
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Çapı \( 12 \) cm olan bir dairenin alanını bulunuz.
(Not: \( \pi = 3 \) alınız.)
Çözüm ve Açıklama
Alan formülünde yarıçapı kullanmamız gerektiği için önce yarıçapı bulmalıyız.
Adım 1: Çap \( 12 \) cm ise yarıçap \( r = 12 \div 2 = 6 \) cm olur.
Adım 2: Alan formülünü uygulayalım: Alan = \( \pi \times r^2 \)
Adım 3: Alan = \( 3 \times 6^2 \)
Adım 4: Alan = \( 3 \times 36 = 108 \) cm²
✅ Sonuç: Çapı \( 12 \) cm olan dairenin alanı \( 108 \) cm²'dir.
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Alanı \( 48 \) cm² olan bir dairenin yarıçapı kaç cm'dir?
(Not: \( \pi = 3 \) alınız.)
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda alanı bildiğimiz için tersten işlem yaparak yarıçapa ulaşacağız.
Adım 1: Alan = \( \pi \times r^2 \) formülünde bilinenleri yazalım.
Adım 2: \( 48 = 3 \times r^2 \)
Adım 3: Her iki tarafı \( 3 \)'e bölelim: \( r^2 = 48 \div 3 = 16 \)
Adım 4: Hangi sayının karesi \( 16 \) eder? \( 4 \times 4 = 16 \) olduğu için \( r = 4 \) cm bulunur.
✅ Sonuç: Dairenin yarıçapı \( 4 \) cm'dir.
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Yarıçapı \( 10 \) cm olan bir dairede, merkez açısı \( 72^\circ \) olan bir daire diliminin alanını bulunuz.
(Not: \( \pi = 3 \) alınız.)
Çözüm ve Açıklama
Daire diliminin alanı, tüm alanın merkez açının \( 360^\circ \)'ye oranlanması ile bulunur.
Adım 1: Önce tüm dairenin alanını bulalım: Alan = \( 3 \times 10^2 = 300 \) cm²
Adım 2: Dilimin alanını bulmak için oranı kullanalım: Dilim Alanı = \( \frac{72}{360} \times 300 \)
Adım 3: \( \frac{72}{360} \) kesrini sadeleştirelim: \( \frac{1}{5} \) olur.
Adım 4: Dilim Alanı = \( \frac{1}{5} \times 300 = 60 \) cm²
✅ Sonuç: Daire diliminin alanı \( 60 \) cm²'dir.
5
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir pizzacıda satılan "Küçük Boy" pizzanın yarıçapı \( 10 \) cm, "Büyük Boy" pizzanın yarıçapı ise \( 20 \) cm'dir. Büyük boy pizzanın alanı, küçük boy pizzanın alanının kaç katıdır?
(Not: \( \pi = 3 \) alınız.)
Çözüm ve Açıklama
Her iki pizzanın alanını hesaplayarak karşılaştıralım.
Küçük Boy Pizza Alanı: \( 3 \times 10^2 = 3 \times 100 = 300 \) cm²
Büyük Boy Pizza Alanı: \( 3 \times 20^2 = 3 \times 400 = 1200 \) cm²
Karşılaştırma: \( 1200 \div 300 = 4 \)
💡 İpucu: Yarıçap \( 2 \) katına çıktığında, alan \( 2^2 = 4 \) katına çıkar.
✅ Sonuç: Büyük boy pizza, küçük boy pizzanın \( 4 \) katı büyüklüktedir.
6
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir kenar uzunluğu \( 10 \) cm olan bir karenin içine, karenin kenarlarına değecek şekilde çizilebilecek en büyük dairenin alanı kaç cm²'dir?
(Not: \( \pi = 3,14 \) alınız.)
Çözüm ve Açıklama
Karenin içine çizilen en büyük dairenin çapı, karenin bir kenar uzunluğuna eşittir.
Adım 1: Dairenin çapı \( 10 \) cm ise, yarıçapı \( r = 5 \) cm olur.
Adım 2: Alan formülünü uygulayalım: Alan = \( 3,14 \times 5^2 \)
Adım 3: Alan = \( 3,14 \times 25 \)
Adım 4: Alan = \( 78,5 \) cm²
✅ Sonuç: Dairenin alanı \( 78,5 \) cm² olarak hesaplanır.
7
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir hedef tahtasında iç içe geçmiş iki daire bulunmaktadır. İçteki kırmızı dairenin yarıçapı \( 4 \) cm, dıştaki mavi halkanın dış sınırını oluşturan büyük dairenin yarıçapı \( 6 \) cm'dir. Mavi boyalı bölgenin (halkanın) alanı kaç cm²'dir?
(Not: \( \pi = 3 \) alınız.)
Çözüm ve Açıklama
Mavi bölgenin alanını bulmak için büyük dairenin alanından küçük dairenin alanını çıkarmalıyız.
Adım 1: Büyük dairenin alanı = \( 3 \times 6^2 = 3 \times 36 = 108 \) cm²
Adım 2: Küçük dairenin alanı = \( 3 \times 4^2 = 3 \times 16 = 48 \) cm²
Adım 3: Mavi bölge = Büyük Alan - Küçük Alan
Adım 4: Mavi bölge = \( 108 - 48 = 60 \) cm²
✅ Sonuç: Mavi boyalı halkanın alanı \( 60 \) cm²'dir.
8
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir bahçe fıskiyesi, bulunduğu noktadan itibaren \( 6 \) metre uzağa kadar su püskürtebilmektedir. Fıskiye sadece \( 60^\circ \)'lik bir açıyla dönerek sulama yaptığına göre, sulanan toplam alan kaç metrekaredir?
(Not: \( \pi = 3 \) alınız.)
Çözüm ve Açıklama
Fıskiyenin suladığı bölge, yarıçapı \( 6 \) metre ve merkez açısı \( 60^\circ \) olan bir daire dilimidir.
Adım 1: Önce tam bir daire olsaydı alanı ne olurdu onu bulalım: \( 3 \times 6^2 = 108 \) m²
Adım 2: Fıskiye tüm daireyi değil, sadece \( 60^\circ \)'lik kısmını suluyor.
Adım 3: Sulanan Alan = \( \frac{60}{360} \times 108 \)
Adım 4: Sadeleştirme yaparsak: \( \frac{1}{6} \times 108 = 18 \) m²
✅ Sonuç: Fıskiye toplam \( 18 \) m²'lik bir alanı sulamaktadır.
7. Sınıf Matematik: Dairenin alanı Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Yarıçapı \( r = 5 \) cm olan bir dairenin alanını hesaplayınız.
(Not: \( \pi = 3 \) alınız.)
Çözüm:
Dairenin alanını bulmak için \( \pi \times r^2 \) formülünü kullanırız.
Adım 1: Verilen yarıçap değerini formülde yerine koyalım.
Adım 2: Alan = \( 3 \times 5^2 \)
Adım 3: Alan = \( 3 \times 25 \)
Adım 4: Alan = \( 75 \) cm²
✅ Sonuç: Yarıçapı \( 5 \) cm olan dairenin alanı \( 75 \) cm² olarak bulunur.
Örnek 2:
Çapı \( 12 \) cm olan bir dairenin alanını bulunuz.
(Not: \( \pi = 3 \) alınız.)
Çözüm:
Alan formülünde yarıçapı kullanmamız gerektiği için önce yarıçapı bulmalıyız.
Adım 1: Çap \( 12 \) cm ise yarıçap \( r = 12 \div 2 = 6 \) cm olur.
Adım 2: Alan formülünü uygulayalım: Alan = \( \pi \times r^2 \)
Adım 3: Alan = \( 3 \times 6^2 \)
Adım 4: Alan = \( 3 \times 36 = 108 \) cm²
✅ Sonuç: Çapı \( 12 \) cm olan dairenin alanı \( 108 \) cm²'dir.
Örnek 3:
Alanı \( 48 \) cm² olan bir dairenin yarıçapı kaç cm'dir?
(Not: \( \pi = 3 \) alınız.)
Çözüm:
Bu soruda alanı bildiğimiz için tersten işlem yaparak yarıçapa ulaşacağız.
Adım 1: Alan = \( \pi \times r^2 \) formülünde bilinenleri yazalım.
Adım 2: \( 48 = 3 \times r^2 \)
Adım 3: Her iki tarafı \( 3 \)'e bölelim: \( r^2 = 48 \div 3 = 16 \)
Adım 4: Hangi sayının karesi \( 16 \) eder? \( 4 \times 4 = 16 \) olduğu için \( r = 4 \) cm bulunur.
✅ Sonuç: Dairenin yarıçapı \( 4 \) cm'dir.
Örnek 4:
Yarıçapı \( 10 \) cm olan bir dairede, merkez açısı \( 72^\circ \) olan bir daire diliminin alanını bulunuz.
(Not: \( \pi = 3 \) alınız.)
Çözüm:
Daire diliminin alanı, tüm alanın merkez açının \( 360^\circ \)'ye oranlanması ile bulunur.
Adım 1: Önce tüm dairenin alanını bulalım: Alan = \( 3 \times 10^2 = 300 \) cm²
Adım 2: Dilimin alanını bulmak için oranı kullanalım: Dilim Alanı = \( \frac{72}{360} \times 300 \)
Adım 3: \( \frac{72}{360} \) kesrini sadeleştirelim: \( \frac{1}{5} \) olur.
Adım 4: Dilim Alanı = \( \frac{1}{5} \times 300 = 60 \) cm²
✅ Sonuç: Daire diliminin alanı \( 60 \) cm²'dir.
Örnek 5:
Bir pizzacıda satılan "Küçük Boy" pizzanın yarıçapı \( 10 \) cm, "Büyük Boy" pizzanın yarıçapı ise \( 20 \) cm'dir. Büyük boy pizzanın alanı, küçük boy pizzanın alanının kaç katıdır?
(Not: \( \pi = 3 \) alınız.)
Çözüm:
Her iki pizzanın alanını hesaplayarak karşılaştıralım.
Küçük Boy Pizza Alanı: \( 3 \times 10^2 = 3 \times 100 = 300 \) cm²
Büyük Boy Pizza Alanı: \( 3 \times 20^2 = 3 \times 400 = 1200 \) cm²
Karşılaştırma: \( 1200 \div 300 = 4 \)
💡 İpucu: Yarıçap \( 2 \) katına çıktığında, alan \( 2^2 = 4 \) katına çıkar.
✅ Sonuç: Büyük boy pizza, küçük boy pizzanın \( 4 \) katı büyüklüktedir.
Örnek 6:
Bir kenar uzunluğu \( 10 \) cm olan bir karenin içine, karenin kenarlarına değecek şekilde çizilebilecek en büyük dairenin alanı kaç cm²'dir?
(Not: \( \pi = 3,14 \) alınız.)
Çözüm:
Karenin içine çizilen en büyük dairenin çapı, karenin bir kenar uzunluğuna eşittir.
Adım 1: Dairenin çapı \( 10 \) cm ise, yarıçapı \( r = 5 \) cm olur.
Adım 2: Alan formülünü uygulayalım: Alan = \( 3,14 \times 5^2 \)
Adım 3: Alan = \( 3,14 \times 25 \)
Adım 4: Alan = \( 78,5 \) cm²
✅ Sonuç: Dairenin alanı \( 78,5 \) cm² olarak hesaplanır.
Örnek 7:
Bir hedef tahtasında iç içe geçmiş iki daire bulunmaktadır. İçteki kırmızı dairenin yarıçapı \( 4 \) cm, dıştaki mavi halkanın dış sınırını oluşturan büyük dairenin yarıçapı \( 6 \) cm'dir. Mavi boyalı bölgenin (halkanın) alanı kaç cm²'dir?
(Not: \( \pi = 3 \) alınız.)
Çözüm:
Mavi bölgenin alanını bulmak için büyük dairenin alanından küçük dairenin alanını çıkarmalıyız.
Adım 1: Büyük dairenin alanı = \( 3 \times 6^2 = 3 \times 36 = 108 \) cm²
Adım 2: Küçük dairenin alanı = \( 3 \times 4^2 = 3 \times 16 = 48 \) cm²
Adım 3: Mavi bölge = Büyük Alan - Küçük Alan
Adım 4: Mavi bölge = \( 108 - 48 = 60 \) cm²
✅ Sonuç: Mavi boyalı halkanın alanı \( 60 \) cm²'dir.
Örnek 8:
Bir bahçe fıskiyesi, bulunduğu noktadan itibaren \( 6 \) metre uzağa kadar su püskürtebilmektedir. Fıskiye sadece \( 60^\circ \)'lik bir açıyla dönerek sulama yaptığına göre, sulanan toplam alan kaç metrekaredir?
(Not: \( \pi = 3 \) alınız.)
Çözüm:
Fıskiyenin suladığı bölge, yarıçapı \( 6 \) metre ve merkez açısı \( 60^\circ \) olan bir daire dilimidir.
Adım 1: Önce tam bir daire olsaydı alanı ne olurdu onu bulalım: \( 3 \times 6^2 = 108 \) m²
Adım 2: Fıskiye tüm daireyi değil, sadece \( 60^\circ \)'lik kısmını suluyor.
Adım 3: Sulanan Alan = \( \frac{60}{360} \times 108 \)
Adım 4: Sadeleştirme yaparsak: \( \frac{1}{6} \times 108 = 18 \) m²
✅ Sonuç: Fıskiye toplam \( 18 \) m²'lik bir alanı sulamaktadır.