💡 7. Sınıf Matematik: Dairenin alanı Çözümlü Örnekler

Dairenin alanını bulmak için \( \pi \times r^2 \) formülünü kullanırız.

• Adım 1: Verilen yarıçap değerini formülde yerine koyalım.
• Adım 2: Alan = \( 3 \times 5^2 \)
• Adım 3: Alan = \( 3 \times 25 \)
• Adım 4: Alan = \( 75 \) cm²

✅ Sonuç: Yarıçapı \( 5 \) cm olan dairenin alanı \( 75 \) cm² olarak bulunur.

Alan formülünde yarıçapı kullanmamız gerektiği için önce yarıçapı bulmalıyız.

• Adım 1: Çap \( 12 \) cm ise yarıçap \( r = 12 \div 2 = 6 \) cm olur.
• Adım 2: Alan formülünü uygulayalım: Alan = \( \pi \times r^2 \)
• Adım 3: Alan = \( 3 \times 6^2 \)
• Adım 4: Alan = \( 3 \times 36 = 108 \) cm²

✅ Sonuç: Çapı \( 12 \) cm olan dairenin alanı \( 108 \) cm²'dir.

Bu soruda alanı bildiğimiz için tersten işlem yaparak yarıçapa ulaşacağız.

• Adım 1: Alan = \( \pi \times r^2 \) formülünde bilinenleri yazalım.
• Adım 2: \( 48 = 3 \times r^2 \)
• Adım 3: Her iki tarafı \( 3 \)'e bölelim: \( r^2 = 48 \div 3 = 16 \)
• Adım 4: Hangi sayının karesi \( 16 \) eder? \( 4 \times 4 = 16 \) olduğu için \( r = 4 \) cm bulunur.

✅ Sonuç: Dairenin yarıçapı \( 4 \) cm'dir.

Daire diliminin alanı, tüm alanın merkez açının \( 360^\circ \)'ye oranlanması ile bulunur.

• Adım 1: Önce tüm dairenin alanını bulalım: Alan = \( 3 \times 10^2 = 300 \) cm²
• Adım 2: Dilimin alanını bulmak için oranı kullanalım: Dilim Alanı = \( \frac{72}{360} \times 300 \)
• Adım 3: \( \frac{72}{360} \) kesrini sadeleştirelim: \( \frac{1}{5} \) olur.
• Adım 4: Dilim Alanı = \( \frac{1}{5} \times 300 = 60 \) cm²

✅ Sonuç: Daire diliminin alanı \( 60 \) cm²'dir.

Her iki pizzanın alanını hesaplayarak karşılaştıralım.

• Küçük Boy Pizza Alanı: \( 3 \times 10^2 = 3 \times 100 = 300 \) cm²
• Büyük Boy Pizza Alanı: \( 3 \times 20^2 = 3 \times 400 = 1200 \) cm²
• Karşılaştırma: \( 1200 \div 300 = 4 \)

💡 İpucu: Yarıçap \( 2 \) katına çıktığında, alan \( 2^2 = 4 \) katına çıkar.

✅ Sonuç: Büyük boy pizza, küçük boy pizzanın \( 4 \) katı büyüklüktedir.

Karenin içine çizilen en büyük dairenin çapı, karenin bir kenar uzunluğuna eşittir.

• Adım 1: Dairenin çapı \( 10 \) cm ise, yarıçapı \( r = 5 \) cm olur.
• Adım 2: Alan formülünü uygulayalım: Alan = \( 3,14 \times 5^2 \)
• Adım 3: Alan = \( 3,14 \times 25 \)
• Adım 4: Alan = \( 78,5 \) cm²

✅ Sonuç: Dairenin alanı \( 78,5 \) cm² olarak hesaplanır.

Mavi bölgenin alanını bulmak için büyük dairenin alanından küçük dairenin alanını çıkarmalıyız.

• Adım 1: Büyük dairenin alanı = \( 3 \times 6^2 = 3 \times 36 = 108 \) cm²
• Adım 2: Küçük dairenin alanı = \( 3 \times 4^2 = 3 \times 16 = 48 \) cm²
• Adım 3: Mavi bölge = Büyük Alan - Küçük Alan
• Adım 4: Mavi bölge = \( 108 - 48 = 60 \) cm²

✅ Sonuç: Mavi boyalı halkanın alanı \( 60 \) cm²'dir.

Fıskiyenin suladığı bölge, yarıçapı \( 6 \) metre ve merkez açısı \( 60^\circ \) olan bir daire dilimidir.

• Adım 1: Önce tam bir daire olsaydı alanı ne olurdu onu bulalım: \( 3 \times 6^2 = 108 \) m²
• Adım 2: Fıskiye tüm daireyi değil, sadece \( 60^\circ \)'lik kısmını suluyor.
• Adım 3: Sulanan Alan = \( \frac{60}{360} \times 108 \)
• Adım 4: Sadeleştirme yaparsak: \( \frac{1}{6} \times 108 = 18 \) m²

✅ Sonuç: Fıskiye toplam \( 18 \) m²'lik bir alanı sulamaktadır.