Çokgenlerin iç ve dış açılarının toplamı Ders Notu

Çokgenlerin İç ve Dış Açıları Toplamı 📐

Bu dersimizde, düzgün çokgenlerin ve düzensiz çokgenlerin iç açıları ile dış açıları toplamını inceleyeceğiz. Çokgenler, en az üç kenarı olan kapalı şekillerdir. Üçgenler, dörtgenler, beşgenler gibi şekiller birer çokgendir.

İç Açıları Toplamı 📐

Bir çokgenin kenar sayısını \( n \) ile gösterirsek, o çokgenin iç açıları toplamı şu formülle bulunur:

\[ (n-2) \times 180^\circ \]

Bu formül, herhangi bir çokgen için geçerlidir. Gelin bu formülü bazı temel çokgenler için uygulayalım:

• Üçgen (n=3): İç açıları toplamı \( (3-2) \times 180^\circ = 1 \times 180^\circ = 180^\circ \)
• Dörtgen (n=4): İç açıları toplamı \( (4-2) \times 180^\circ = 2 \times 180^\circ = 360^\circ \)
• Beşgen (n=5): İç açıları toplamı \( (5-2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ \)
• Altıgen (n=6): İç açıları toplamı \( (6-2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ \)

Örnek 1: Kenar sayısı 7 olan bir çokgenin iç açıları toplamı kaçtır?

Çözüm: Kenar sayısı \( n=7 \) olduğundan, iç açıları toplamı \( (7-2) \times 180^\circ = 5 \times 180^\circ = 900^\circ \) olur.

Örnek 2: Bir dörtgenin iç açılarından üçü sırasıyla \( 80^\circ, 100^\circ, 90^\circ \) ise dördüncü iç açısı kaç derecedir?

Çözüm: Dörtgenin iç açıları toplamı \( 360^\circ \) idi. Bilinen üç açının toplamı \( 80^\circ + 100^\circ + 90^\circ = 270^\circ \) olur. Dördüncü açı ise \( 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ \) olur.

Dış Açıları Toplamı 📐

Bir çokgenin kenar sayısından bağımsız olarak, dış açıları toplamı her zaman sabittir ve \( 360^\circ \) 'dir.

Bu kural, düzgün çokgenler için de geçerlidir, düzensiz çokgenler için de.

Örnek 3: Bir beşgenin dış açıları toplamı kaç derecedir?

Çözüm: Beşgenin kenar sayısı \( n=5 \) olmasına rağmen, dış açıları toplamı her zaman \( 360^\circ \) olur.

Örnek 4: Bir altıgenin dış açılarından ikisi \( 50^\circ \) ve \( 70^\circ \) ise, diğer dört dış açının toplamı kaç derecedir?

Çözüm: Altıgenin tüm dış açıları toplamı \( 360^\circ \) 'dir. Verilen iki dış açının toplamı \( 50^\circ + 70^\circ = 120^\circ \) olur. Diğer dört dış açının toplamı ise \( 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ \) olur.

İç Açı ile Dış Açının İlişkisi 🤝

Bir çokgenin herhangi bir köşesindeki iç açı ile o köşedeki dış açı birbirini bütünler. Yani toplamları \( 180^\circ \) 'dir.

Eğer bir köşedeki iç açı \( \alpha \) ise, o köşedeki dış açı \( \beta \) olmak üzere:

\[ \alpha + \beta = 180^\circ \]

Örnek 5: Bir düzgün sekizgenin bir iç açısı kaç derecedir? Bir dış açısı kaç derecedir?

Çözüm:

• Sekizgenin (n=8) iç açıları toplamı: \( (8-2) \times 180^\circ = 6 \times 180^\circ = 1080^\circ \)
• Düzgün sekizgenin bir iç açısı: \( \frac{1080^\circ}{8} = 135^\circ \)
• Bir dış açısı: \( 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \)
• Alternatif olarak, düzgün sekizgenin bir dış açısı: \( \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ \)

Bu bilgilerle, çokgenlerin iç ve dış açıları arasındaki temel ilişkileri ve toplamlarını kolayca hesaplayabilirsiniz.