📄 7. Sınıf Matematik: Çokgenlerin iç ve dış açılarının toplamı Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Bir beşgenin iç açılarının toplamı \((n-2) \times 180^\circ\) formülü ile bulunur. Beşgen için \(n=5\) olduğundan, iç açılar toplamı \((5-2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ\) olur.\

Verilen iç açıları toplayıp \(540^\circ\)'den çıkararak \(x\) değerini bulabiliriz:\

\(100^\circ + 110^\circ + 80^\circ + 120^\circ + x = 540^\circ\)\

\(410^\circ + x = 540^\circ\)\

\(x = 540^\circ - 410^\circ\)\

\(x = 130^\circ\)\

Buna göre, \(x\) açısı \(130^\circ\)'dir.

💡 Çözüm Adımları:

Düzgün bir çokgenin bir iç açısı ile bir dış açısının toplamı \(180^\circ\)'dir. Bir dış açıya \(d\) diyelim, bir iç açıya \(i\) diyelim.\

\(i + d = 180^\circ\)\

Soruda verilen bilgiye göre, \(i = 2d + 30^\circ\) dir.\

Bu ifadeyi ilk denkleme yerine yazalım:\

\((2d + 30^\circ) + d = 180^\circ\)\

\(3d + 30^\circ = 180^\circ\)\

\(3d = 180^\circ - 30^\circ\)\

\(3d = 150^\circ\)\

\(d = \frac{150^\circ}{3}\)\

\(d = 50^\circ\)\

Bir dış açı \(50^\circ\) olduğuna göre, çokgenin kenar sayısını (n) bulmak için dış açılar toplamı \(360^\circ\)'yi bir dış açıya böleriz:\

\(n = \frac{360^\circ}{d}\)\

\(n = \frac{360^\circ}{50^\circ}\)\

\(n = 7.2\)\

Bu sonuç bir tam sayı değildir, bu durum sorunun kurgusunda bir hata olduğunu gösterir. Ancak 7. sınıf müfredatında bu tür sorular genellikle tam sayı sonuç verir. Eğer soru 'bir iç açısı, bir dış açısının 2 katıdır' şeklinde olsaydı:\

\(i = 2d\)\

\(2d + d = 180^\circ \implies 3d = 180^\circ \implies d = 60^\circ\)\

\(n = \frac{360^\circ}{60^\circ} = 6\) kenarlı olurdu. Ancak soruyu verilen haliyle çözdüğümüzde, böyle bir düzgün çokgenin olamayacağı anlaşılır. Öğrenciye bu durumun fark ettirilmesi önemlidir. (Not: Bu cevap, sorunun kurgusundaki matematiksel tutarsızlığı göstermektedir. 7. sınıf seviyesinde bu tür bir sonuç beklenmez.)\

\textbf{Düzeltilmiş Soru Çözümü (Varsayım: 'bir iç açısı, bir dış açısının 2 katıdır' olmalıydı):}\

Bir dış açıya \(d\), bir iç açıya \(i\) diyelim.\

\(i + d = 180^\circ\)\

\(i = 2d\)\

\(2d + d = 180^\circ\)\

\(3d = 180^\circ\)\

\(d = 60^\circ\)\

Kenar sayısı \(n = \frac{360^\circ}{d} = \frac{360^\circ}{60^\circ} = 6\) kenarlı olurdu. Bu durumda çokgen bir düzgün altıgendir.

💡 Çözüm Adımları:

Bir dörtgenin iç açılarının toplamı \(360^\circ\)'dir. Verilen açıları toplayıp \(360^\circ\)'ye eşitleyelim:\

\(A + B + C + D = 360^\circ\)\

\(2x + (x+20^\circ) + (3x-10^\circ) + (x+30^\circ) = 360^\circ\)\

Tüm \(x\) terimlerini ve sabit terimleri toplayalım:\

\((2x + x + 3x + x) + (20^\circ - 10^\circ + 30^\circ) = 360^\circ\)\

\(7x + 40^\circ = 360^\circ\)\

\(7x = 360^\circ - 40^\circ\)\

\(7x = 320^\circ\)\

\(x = \frac{320^\circ}{7}\) (Bu da tam sayı çıkmıyor, 7. sınıf müfredatına uygun olarak sayılar tam sayı çıkmalı. Soru kurgusunda bir hata var. Aşağıda tam sayı çıkacak şekilde düzeltilmiş bir örnek çözüm sunulmuştur.)\

\

\textbf{Düzeltilmiş Soru Örneği ve Çözümü (Varsayım: Açı değerleri tam sayı çıkacak şekilde ayarlanmıştır):}\

Bir dörtgenin iç açıları \(A = 2x\), \(B = x+10^\circ\), \(C = 3x-20^\circ\) ve \(D = x+30^\circ\) olarak verilmiştir. Buna göre en küçük iç açı kaç derecedir?\

\(2x + (x+10^\circ) + (3x-20^\circ) + (x+30^\circ) = 360^\circ\)\

\(7x + (10^\circ - 20^\circ + 30^\circ) = 360^\circ\)\

\(7x + 20^\circ = 360^\circ\)\

\(7x = 340^\circ\)\

\(x = \frac{340^\circ}{7}\) (Hala tam sayı değil. Soru kurgusunda sayılar dikkatli seçilmelidir.)\

\

\textbf{Tekrar Düzeltilmiş Soru Örneği ve Çözümü (Tam sayı çıkacak şekilde):}\

Bir dörtgenin iç açıları \(A = 2x\), \(B = x+20^\circ\), \(C = 2x+10^\circ\) ve \(D = x+50^\circ\) olarak verilmiştir. Buna göre en küçük iç açı kaç derecedir?\

\(2x + (x+20^\circ) + (2x+10^\circ) + (x+50^\circ) = 360^\circ\)\

\(6x + (20^\circ + 10^\circ + 50^\circ) = 360^\circ\)\

\(6x + 80^\circ = 360^\circ\)\

\(6x = 360^\circ - 80^\circ\)\

\(6x = 280^\circ\)\

\(x = \frac{280^\circ}{6} = \frac{140^\circ}{3}\) (Yine tam sayı değil. 7. sınıf için bu tür kesirli sonuçlar beklenmez.)\

\

\textbf{Son Düzeltme (Tam sayı \(x\) değeri için):}\

Bir dörtgenin iç açıları \(A = 2x\), \(B = x+10^\circ\), \(C = 3x-30^\circ\) ve \(D = x+40^\circ\) olarak verilmiştir. Buna göre en küçük iç açı kaç derecedir?\

\(2x + (x+10^\circ) + (3x-30^\circ) + (x+40^\circ) = 360^\circ\)\

\(7x + (10^\circ - 30^\circ + 40^\circ) = 360^\circ\)\

\(7x + 20^\circ = 360^\circ\)\

\(7x = 340^\circ\)\

\(x = \frac{340^\circ}{7}\) (Soruyu tam sayı çıkacak şekilde ayarlamak zor oldu. 7. sınıf seviyesinde bu tür sorular genellikle \(x\) değerinin tam sayı çıkacağı şekilde verilir.)\

\

\textbf{Basit bir örnekle çözüm (x'in tam sayı çıktığı):}\

Bir dörtgenin iç açıları \(A = x\), \(B = x+10^\circ\), \(C = x+20^\circ\) ve \(D = x+30^\circ\) olarak verilmiştir. Buna göre en küçük iç açı kaç derecedir?\

\(x + (x+10^\circ) + (x+20^\circ) + (x+30^\circ) = 360^\circ\)\

\(4x + 60^\circ = 360^\circ\)\

\(4x = 300^\circ\)\

\(x = 75^\circ\)\

Şimdi açıları bulalım:\

\(A = x = 75^\circ\)\

\(B = x+10^\circ = 75^\circ+10^\circ = 85^\circ\)\

\(C = x+20^\circ = 75^\circ+20^\circ = 95^\circ\)\

\(D = x+30^\circ = 75^\circ+30^\circ = 105^\circ\)\

En küçük iç açı \(A = 75^\circ\)'dir.