💡 7. Sınıf Matematik: Açıortay Testleri Çözümlü Örnekler

• Bir açıortay, bir açıyı ölçüleri birbirine eşit iki açıya bölen ışındır.
• Verilen açı \( \angle ABC = 110^\circ \) dir.
• BD ışını, \( \angle ABC \) açısının açıortayı olduğu için, açıyı iki eşit parçaya ayırır.
• Yani, \( \angle ABD \) ve \( \angle DBC \) açılarının ölçüleri birbirine eşittir.
• Her bir parçanın ölçüsünü bulmak için, açının toplam ölçüsünü 2'ye böleriz.
• Hesaplama: \( \angle ABD = \frac{110^\circ}{2} \)
• Sonuç: \( \angle ABD = 55^\circ \) ✅

Bu durumda, \( \angle ABD \) açısının ölçüsü \( 55^\circ \) dir.

• Öncelikle, \( \angle AOC \) bir doğru açı olduğu için ölçüsü \( 180^\circ \) dir.
• AOB ve BOC açıları komşu açılardır ve toplamları doğru açıyı oluşturur: \( \angle AOB + \angle BOC = \angle AOC \).
• Verilenler: \( \angle AOB = 70^\circ \) ve \( \angle AOC = 180^\circ \).
• \( \angle BOC \) açısının ölçüsünü bulalım: \( \angle BOC = \angle AOC - \angle AOB = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \).
• OD ışını, \( \angle BOC \) açısının açıortayıdır. Bu durumda \( \angle BOC \) açısını iki eşit parçaya böler.
• Yani, \( \angle COD \) ve \( \angle DOB \) açılarının ölçüleri birbirine eşittir.
• Hesaplama: \( \angle COD = \frac{\angle BOC}{2} = \frac{110^\circ}{2} \)
• Sonuç: \( \angle COD = 55^\circ \) ✅

Bu durumda, \( \angle COD \) açısının ölçüsü \( 55^\circ \) dir.

• KL ve MN doğruları kesiştiğinde ters açılar oluşur. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
• Verilen \( \angle KOM = 130^\circ \) dir.
• \( \angle KOL \) açısı, \( \angle KOM \) açısının komşu bütünleridir (bir doğru üzerindedirler).
• Komşu bütünler açıların toplamı \( 180^\circ \) dir.
• \( \angle KOL = 180^\circ - \angle KOM = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \).
• OP ışını, \( \angle KOL \) açısının açıortayıdır. Yani, \( \angle KOL \) açısını iki eşit parçaya böler.
• Hesaplama: \( \angle KOP = \frac{\angle KOL}{2} = \frac{50^\circ}{2} \)
• Sonuç: \( \angle KOP = 25^\circ \) ✅

Bu durumda, \( \angle KOP \) açısının ölçüsü \( 25^\circ \) dir.

• Elif'in ilk oluşturduğu açının ölçüsü \( 140^\circ \) dir.
• Üçüncü katlama, bu açıyı tam ortadan ikiye bölmektedir. Bu durum, katlama çizgisinin bir açıortay görevi gördüğünü gösterir.
• Açıortay, bir açıyı iki eşit parçaya ayırır.
• Her bir parçanın ölçüsünü bulmak için, toplam açıyı 2'ye böleriz.
• Hesaplama: \( \frac{140^\circ}{2} \)
• Sonuç: \( 70^\circ \) ✅

Son katlama çizgisi, \( 140^\circ \) lik açıyı iki adet \( 70^\circ \) lik açıya ayırmıştır.

• Kemerin tepe noktasındaki açının ölçüsü \( 160^\circ \) dir.
• Mimar, dekoratif ışıklandırma hattını bu açının tam ortasından geçirmek istiyor. Bu durum, ışıklandırma hattının açının açıortayı olduğunu gösterir.
• Açıortay, bir açıyı iki eşit ölçüdeki açıya ayırır.
• Hesaplama: \( \frac{160^\circ}{2} \)
• Sonuç: \( 80^\circ \) ✅
• Tasarımın Amacı: Mimar, ışıklandırma hattını açıortay olarak kullanarak kemere simetrik ve estetik bir görünüm kazandırmayı amaçlamaktadır. Açıortay, simetri oluşturmanın en temel geometrik araçlarından biridir.

Işıklandırma hattı, kemerin açısını iki adet \( 80^\circ \) lik açıya böler. Amacı ise estetik ve simetrik bir tasarım elde etmektir.

• Öncelikle, ABC üçgeninin üçüncü açısı olan \( \angle ACB \) açısının ölçüsünü bulalım. Bir üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) dir.
• \( \angle ACB = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ABC) \)
• \( \angle ACB = 180^\circ - (90^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \).
• AD ışını, \( \angle BAC \) açısının açıortayıdır. Bu durumda \( \angle BAC \) açısını iki eşit parçaya böler.
• \( \angle BAD = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ \).
• Şimdi, ABD üçgenine odaklanalım. Bu üçgenin iç açıları \( \angle BAD \), \( \angle ABD \) (yani \( \angle ABC \)) ve \( \angle ADB \) dir.
• \( \angle ADB = 180^\circ - (\angle BAD + \angle ABD) \)
• \( \angle ADB = 180^\circ - (45^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ \) ✅

Bu durumda, \( \angle ADB \) açısının ölçüsü \( 85^\circ \) dir.

• Verilen \( \angle APB = 80^\circ \) dir.
• PC ışını, \( \angle APB \) açısının açıortayıdır. Bu durumda \( \angle APB \) açısını iki eşit parçaya böler.
• \( \angle APC = \angle CPB = \frac{\angle APB}{2} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ \).
• Şimdi, PD ışınının \( \angle BPC \) açısının açıortayı olduğu bilgisine bakalım.
• \( \angle BPC \) açısının ölçüsünü zaten \( 40^\circ \) olarak bulmuştuk.
• PD ışını, \( \angle BPC \) açısını iki eşit parçaya böler: \( \angle BPD = \angle DPC = \frac{\angle BPC}{2} = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ \).
• Bizden istenen \( \angle APD \) açısının ölçüsüdür. \( \angle APD \) açısı, \( \angle APC \) ve \( \angle CPD \) açılarının toplamıdır.
• \( \angle APD = \angle APC + \angle CPD \)
• \( \angle APD = 40^\circ + 20^\circ = 60^\circ \) ✅

Bu durumda, \( \angle APD \) açısının ölçüsü \( 60^\circ \) dir.

• Ana taşıyıcı kirişin iki kolu arasındaki açı \( 150^\circ \) dir.
• Dengeleyici çubuk, bu açının tam ortasına yerleştirilecektir. Bu durum, dengeleyici çubuğun açının açıortayı görevi gördüğünü gösterir.
• Açıortay, bir açıyı iki eşit parçaya ayırır.
• Dengeleyici çubuk, kollardan her biriyle eşit açı yapacaktır.
• Hesaplama: \( \frac{150^\circ}{2} \)
• Sonuç: \( 75^\circ \) ✅
• Mühendisin Amacı: Mühendis, dengeleyici çubuğu açıortay olarak yerleştirerek, köprü yapısında yük dağılımını optimize etmeyi ve yapısal dengeyi sağlamayı amaçlar. Simetrik bir yerleşim, kuvvetlerin eşit dağılmasına yardımcı olarak köprünün daha sağlam ve dayanıklı olmasını sağlar.

Dengeleyici çubuk, kollardan her biriyle \( 75^\circ \) lik bir açı yapar. Amacı ise yapısal denge ve yük dağılımını optimize etmektir.