🎓 7. Sınıf
📚 7. Sınıf Matematik
💡 7. Sınıf Matematik: Açılar Çözümlü Örnekler
7. Sınıf Matematik: Açılar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Bir açının tümleri, onu \(90^\circ\) ye tamamlayan açıdır. Bir açının bütünleri ise onu \(180^\circ\) ye tamamlayan açıdır.
Ölçüsü \(40^\circ\) olan bir açının tümlerinin ölçüsü ile bütünlerinin ölçüsünü bulunuz.
Ölçüsü \(40^\circ\) olan bir açının tümlerinin ölçüsü ile bütünlerinin ölçüsünü bulunuz.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için tümler ve bütünler açı tanımlarını kullanacağız.
- 👉 Tümler Açının Bulunması:
- Tümler açılar birbirini \(90^\circ\) ye tamamlar.
- Verilen açı \(40^\circ\) olduğu için, tümlerini bulmak için \(90^\circ\) den \(40^\circ\) yi çıkarırız.
- İşlem: \(90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\)
- ✅ Yani, \(40^\circ\) lik açının tümleri \(50^\circ\) dir.
- 👉 Bütünler Açının Bulunması:
- Bütünler açılar birbirini \(180^\circ\) ye tamamlar.
- Verilen açı \(40^\circ\) olduğu için, bütünlerini bulmak için \(180^\circ\) den \(40^\circ\) yi çıkarırız.
- İşlem: \(180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\)
- ✅ Yani, \(40^\circ\) lik açının bütünleri \(140^\circ\) dir.
Örnek 2:
Ölçüsü \((2x - 10)^\circ\) olan bir açının tümleri \((x + 20)^\circ\) olduğuna göre, bu açının kendisi kaç derecedir? 📌
Çözüm:
Tümler açılar birbirini \(90^\circ\) ye tamamlar. Bu durumda, verilen iki açının toplamı \(90^\circ\) olmalıdır.
- 👉 Denklemi Kurma:
- Açıların toplamı \(90^\circ\) olacağı için denklemi şu şekilde yazarız:
- \( (2x - 10) + (x + 20) = 90 \)
- 👉 Denklemi Çözme:
- Öncelikle benzer terimleri bir araya getiririz:
- \( 2x + x - 10 + 20 = 90 \)
- \( 3x + 10 = 90 \)
- Şimdi \(+10\) u karşıya \(-10\) olarak atarız:
- \( 3x = 90 - 10 \)
- \( 3x = 80 \)
- Her iki tarafı \(3\)e böleriz:
- \( x = \frac{80}{3} \) (Bu tür bir sonuç 7. sınıf için biraz sıra dışı olsa da, soruyu doğru kurduk.)
- 👉 Açının Kendisini Bulma:
- Bize sorulan açının kendisi \((2x - 10)^\circ\) idi. \(x\) değerini yerine koyarız.
- Açı \( = 2 \left( \frac{80}{3} \right) - 10 \)
- Açı \( = \frac{160}{3} - 10 \)
- Payda eşitlemesi yaparız: \( 10 = \frac{30}{3} \)
- Açı \( = \frac{160}{3} - \frac{30}{3} \)
- Açı \( = \frac{130}{3}^\circ \)
- ✅ Açının ölçüsü \( \frac{130}{3}^\circ \) veya yaklaşık \(43.33^\circ\) dir.
Örnek 3:
Bir açının bütünleri, kendisinin \(3\) katından \(20^\circ\) fazla ise, bu açı kaç derecedir? 💡
Çözüm:
Açıya \(x\) diyelim. Bütünler açı tanımını kullanarak denklemi kurup çözeceğiz.
- 👉 Açıyı Tanımlama:
- Aradığımız açıya \(x\) diyelim.
- 👉 Bütünler Açıyı İfade Etme:
- Bütünler açılar birbirini \(180^\circ\) ye tamamlar, bu yüzden \(x\) açısının bütünleri \(180^\circ - x\) olur.
- Soruda verilen bilgiye göre bütünleri, kendisinin (\(x\)) \(3\) katından \(20^\circ\) fazla imiş. Yani \(3x + 20\).
- 👉 Denklemi Kurma:
- Bu iki ifadeyi eşitleyerek denklemi kurarız:
- \( 180 - x = 3x + 20 \)
- 👉 Denklemi Çözme:
- Bilinmeyenleri bir tarafa, sayıları diğer tarafa toplarız. \(-x\) i sağa \(+x\) olarak, \(+20\) yi sola \(-20\) olarak atarız.
- \( 180 - 20 = 3x + x \)
- \( 160 = 4x \)
- Her iki tarafı \(4\)e böleriz:
- \( x = \frac{160}{4} \)
- \( x = 40^\circ \)
- ✅ Bu açı \(40^\circ\) dir.
Örnek 4:
Aşağıda verilen şekilde, \(AB\) ve \(CD\) doğruları bir noktada kesişmektedir. Kesişim noktasını \(O\) olarak kabul edelim. Eğer \(\angle AOC = 75^\circ\) ise, \(\angle BOD\) ve \(\angle AOD\) açılarının ölçülerini bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu soruda ters açılar ve komşu bütünler açılar kavramlarını kullanacağız.
- 👉 \(\angle BOD\) Açısını Bulma:
- \(\angle AOC\) ve \(\angle BOD\) birbirine ters açılardır. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
- Verilen \(\angle AOC = 75^\circ\).
- Bu durumda, \(\angle BOD = \angle AOC = 75^\circ\).
- ✅ \(\angle BOD = 75^\circ\).
- 👉 \(\angle AOD\) Açısını Bulma:
- \(\angle AOC\) ve \(\angle AOD\) açıları komşu bütünler açılardır. Yani bir doğru üzerinde bulunurlar ve toplamları \(180^\circ\) dir.
- \(\angle AOC = 75^\circ\) olarak verilmişti.
- \(\angle AOC + \angle AOD = 180^\circ\)
- \(75^\circ + \angle AOD = 180^\circ\)
- \(\angle AOD = 180^\circ - 75^\circ\)
- \(\angle AOD = 105^\circ\)
- ✅ \(\angle AOD = 105^\circ\).
Örnek 5:
Şekilde \(k\) doğrusu, birbirine paralel olan \(d_1\) ve \(d_2\) doğrularını kesmektedir. Eğer \(\angle A = 110^\circ\) ise, aynı yöne bakan açılardan olan \(\angle B\) açısının ölçüsünü bulunuz. 📌 (Burada \(\angle A\), \(d_1\) doğrusu ile \(k\) doğrusunun kesişiminde sol üstte oluşan açı, \(\angle B\) ise \(d_2\) doğrusu ile \(k\) doğrusunun kesişiminde sol üstte oluşan açıdır.)
Çözüm:
Bu soruda yöndeş açılar kavramını kullanacağız. Paralel doğruları kesen bir doğru üzerindeki yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir.
- 👉 Yöndeş Açılar:
- \(\angle A\) ve \(\angle B\) açıları, \(d_1 // d_2\) ( \(d_1\) doğrusu \(d_2\) doğrusuna paraleldir) olduğu için yöndeş açılardır.
- Yöndeş açılar, paralel doğrular kesildiğinde aynı konumda (örneğin, kesenin sol üstünde) bulunan açılardır ve ölçüleri birbirine eşittir.
- Verilen \(\angle A = 110^\circ\).
- 👉 \(\angle B\) Açısının Bulunması:
- Yöndeş açılar eşit olduğu için:
- \(\angle B = \angle A = 110^\circ\).
- ✅ \(\angle B = 110^\circ\).
Örnek 6:
Şekilde \(m // n\) (m doğrusu n doğrusuna paraleldir) ve \(p\) doğrusu bu iki paralel doğruyu kesmektedir. \(\angle 1\) ve \(\angle 2\) iç ters açılar, \(\angle 3\) ve \(\angle 4\) dış ters açılar, \(\angle 5\) ve \(\angle 6\) karşı durumlu açılardır.
Eğer \(\angle 1 = (3x - 15)^\circ\) ve \(\angle 2 = (x + 45)^\circ\) ise, \(x\) değerini ve \(\angle 1\) açısının ölçüsünü bulunuz.
Eğer \(\angle 1 = (3x - 15)^\circ\) ve \(\angle 2 = (x + 45)^\circ\) ise, \(x\) değerini ve \(\angle 1\) açısının ölçüsünü bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda iç ters açılar kavramını kullanacağız. Paralel doğruları kesen bir doğru üzerindeki iç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
- 👉 Denklemi Kurma:
- \(\angle 1\) ve \(\angle 2\) iç ters açılar olduğu için ölçüleri birbirine eşittir:
- \( \angle 1 = \angle 2 \)
- \( 3x - 15 = x + 45 \)
- 👉 Denklemi Çözme:
- Bilinmeyenleri bir tarafa, sayıları diğer tarafa toplarız. \(x\) i sola \(-x\) olarak, \(-15\) i sağa \(+15\) olarak atarız.
- \( 3x - x = 45 + 15 \)
- \( 2x = 60 \)
- Her iki tarafı \(2\)ye böleriz:
- \( x = \frac{60}{2} \)
- \( x = 30 \)
- ✅ \(x\) değeri \(30\) dur.
- 👉 \(\angle 1\) Açısının Ölçüsünü Bulma:
- \(x\) değerini \(\angle 1\) ifadesinde yerine koyarız:
- \(\angle 1 = 3x - 15 \)
- \(\angle 1 = 3(30) - 15 \)
- \(\angle 1 = 90 - 15 \)
- \(\angle 1 = 75^\circ \)
- ✅ \(\angle 1\) açısının ölçüsü \(75^\circ\) dir. (Kontrol için \(\angle 2 = 30 + 45 = 75^\circ\) olduğunu da görebiliriz.)
Örnek 7:
Bir bahçıvan, düz bir çit boyunca fidan dikmek için iki paralel ip (ip A ve ip B) geriyor. Bu ipleri kesen üçüncü bir ip (ip C) gerdiğinde, ip A ile ip C arasında sağ altta oluşan açının ölçüsü \((5y - 30)^\circ\) olarak ölçülüyor. İp B ile ip C arasında sol üstte oluşan açının ölçüsü ise \((2y + 60)^\circ\) olarak ölçülüyor.
Buna göre, \(y\) değeri kaçtır? 🌳
Buna göre, \(y\) değeri kaçtır? 🌳
Çözüm:
Bu soruda verilen açılar, paralel doğruları kesen bir doğru üzerinde oluşan dış ters açılardır.
- 👉 Açıları Tanımlama:
- İp A ve ip B paraleldir (\(A // B\)). İp C kesen doğrudur.
- İp A ile ip C arasındaki sağ altta oluşan açı: \((5y - 30)^\circ\).
- İp B ile ip C arasındaki sol üstte oluşan açı: \((2y + 60)^\circ\).
- 👉 Açı İlişkisini Belirleme:
- Bu iki açı, kesenin farklı taraflarında ve paralel doğruların dış kısmında oldukları için dış ters açılardır.
- Paralel doğrular arasındaki dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
- 👉 Denklemi Kurma:
- \( (5y - 30) = (2y + 60) \)
- 👉 Denklemi Çözme:
- Bilinmeyenleri bir tarafa, sayıları diğer tarafa toplarız. \(2y\) yi sola \(-2y\) olarak, \(-30\) u sağa \(+30\) olarak atarız.
- \( 5y - 2y = 60 + 30 \)
- \( 3y = 90 \)
- Her iki tarafı \(3\)e böleriz:
- \( y = \frac{90}{3} \)
- \( y = 30 \)
- ✅ \(y\) değeri \(30\) dur.
Örnek 8:
Bir makasın ağzı açıldığında, makasın kolları arasındaki açı oluşur. Eğer bir makasın kolları arasındaki açı \(60^\circ\) ise, bu açıya komşu olan ve makasın dış kısmında kalan açının ölçüsü ne kadardır? Bu açıyı bir doğru açı üzerindeki komşu açı olarak düşünebilirsiniz. ✂️
Çözüm:
Bu örnekte, makasın kolları arasındaki açı ile onun dışındaki komşu açıyı bir doğru açı üzerinde değerlendireceğiz.
- 👉 Durumu Canlandırma:
- Makasın kolları bir noktada kesişen iki doğru parçası gibi düşünülebilir.
- Kollar arasındaki açı (\(60^\circ\)) ile dış kısımda kalan komşu açı, bir doğru üzerinde yan yana duran iki açı gibidir.
- Bir doğru açının ölçüsü \(180^\circ\) dir.
- 👉 Açı İlişkisini Belirleme:
- Bu iki açı, birbirini \(180^\circ\) ye tamamlayan komşu bütünler açılardır.
- 👉 Hesaplama:
- İçteki açı \(60^\circ\) olduğuna göre, dıştaki komşu açıyı bulmak için \(180^\circ\) den \(60^\circ\) yi çıkarırız.
- Dıştaki açı \( = 180^\circ - 60^\circ \)
- Dıştaki açı \( = 120^\circ \)
- ✅ Makasın dış kısmında kalan komşu açının ölçüsü \(120^\circ\) dir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/7-sinif-matematik-acilar/sorular