Açılar Ders Notu

Bu ders notunda, 7. sınıf matematik müfredatının önemli konularından biri olan açılar konusunu detaylı bir şekilde inceleyeceğiz. Açının temel tanımından başlayarak, farklı açı çeşitlerini, özel açı çiftlerini ve paralel doğruların bir kesenle oluşturduğu açıları öğreneceğiz. Her konuyu örneklerle pekiştirerek kavramları daha iyi anlamanızı sağlayacağız.

Açı Nedir?

Başlangıç noktaları ortak olan iki ışının oluşturduğu şekle açı denir. Ortak başlangıç noktasına köşe, ışınlara ise açının kolları denir.

• Bir açı, genellikle üç büyük harfle veya köşesindeki harfle gösterilir. Örneğin, AOB açısı \(\widehat{AOB}\) veya \(\angle AOB\) şeklinde yazılabilir.
• Açıların ölçüsü birimi derece (\(^\circ\))dir.

Açı Çeşitleri

Açıları ölçülerine göre sınıflandırabiliriz. İşte temel açı çeşitleri:

Açı Çeşidi	Tanım	Ölçüsü
Dar Açı 📐	Ölçüsü 0 dereceden büyük, 90 dereceden küçük olan açıdır.	\(0^\circ < x < 90^\circ\)
Dik Açı 📏	Ölçüsü tam 90 derece olan açıdır. Genellikle köşesinde küçük bir kare sembolü ile gösterilir.	\(x = 90^\circ\)
Geniş Açı ↔️	Ölçüsü 90 dereceden büyük, 180 dereceden küçük olan açıdır.	\(90^\circ < x < 180^\circ\)
Doğru Açı ➖	Ölçüsü tam 180 derece olan açıdır. Bir doğru parçasının kendisi gibi düşünülebilir.	\(x = 180^\circ\)
Tam Açı 🔄	Ölçüsü tam 360 derece olan açıdır. Bir noktanın etrafındaki tam bir dönüşü ifade eder.	\(x = 360^\circ\)

Özel Açı Çiftleri

Bazı açılar birbiriyle özel ilişkiler kurar. Bu ilişkileri anlamak, geometri problemlerini çözmede çok önemlidir.

Komşu Açılar

Köşeleri ve birer kolu ortak olan, ancak iç bölgeleri kesişmeyen açılara komşu açılar denir.

Örnek: Bir doğru üzerinde yan yana duran iki açı düşünün. Bu iki açının ortak bir kolu ve ortak bir köşesi vardır.

Tümler Açılar

Ölçüleri toplamı \(90^\circ\) olan iki açıya tümler açılar denir.

• Eğer bir açı \(x\) ise, tümleyeni \(90^\circ - x\) olur.

Örnek: \(30^\circ\) bir açının tümleyeni kaç derecedir?
Çözüm: \(90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). Yani \(30^\circ\) ve \(60^\circ\) tümler açılardır.

Problem: Bir açının ölçüsü, tümleyeninin 2 katından \(15^\circ\) fazladır. Bu açıyı bulunuz.
Çözüm:
Açıya \(x\) diyelim. Tümleyeni \(90^\circ - x\) olur.
Denklem kuralım: \(x = 2 \cdot (90^\circ - x) + 15^\circ\)
\(x = 180^\circ - 2x + 15^\circ\)
\(x + 2x = 195^\circ\)
\(3x = 195^\circ\)
\(x = \frac{195^\circ}{3}\)
\(x = 65^\circ\). Açının ölçüsü \(65^\circ\)dir.

Bütünler Açılar

Ölçüleri toplamı \(180^\circ\) olan iki açıya bütünler açılar denir.

• Eğer bir açı \(x\) ise, bütünleyeni \(180^\circ - x\) olur.

Örnek: \(110^\circ\) bir açının bütünleyeni kaç derecedir?
Çözüm: \(180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\). Yani \(110^\circ\) ve \(70^\circ\) bütünler açılardır.

Problem: Bir açının ölçüsü, bütünleyeninin 3 katından \(20^\circ\) eksiktir. Bu açıyı bulunuz.
Çözüm:
Açıya \(x\) diyelim. Bütünleyeni \(180^\circ - x\) olur.
Denklem kuralım: \(x = 3 \cdot (180^\circ - x) - 20^\circ\)
\(x = 540^\circ - 3x - 20^\circ\)
\(x + 3x = 520^\circ\)
\(4x = 520^\circ\)
\(x = \frac{520^\circ}{4}\)
\(x = 130^\circ\). Açının ölçüsü \(130^\circ\)dir.

Ters Açılar

Kesişen iki doğrunun oluşturduğu, köşeleri ortak ve kolları birbirine zıt yönlü olan açılara ters açılar denir.

• Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

Örnek: Birbirini kesen iki doğru hayal edin. Oluşan dört açıdan karşılıklı olanlar ters açılardır ve ölçüleri aynıdır. Eğer bir kesişim noktasında oluşan açılardan biri \(75^\circ\) ise, tam karşısındaki açı da \(75^\circ\) olur.

Paralel İki Doğrunun Bir Kesenle Oluşturduğu Açılar

İki paralel doğru, üçüncü bir doğru (kesen) tarafından kesildiğinde, belirli özel açılar oluşur. Bu açıların özellikleri, geometri problemlerini çözmede sıkça kullanılır.

Şekli zihninizde canlandıralım: Yatay duran, birbirine paralel olan d1 ve d2 doğruları var. Bu iki doğruyu çapraz bir şekilde kesen bir k doğrusu (kesen) var. Kesen, her bir paralel doğruyla dörter tane açı oluşturur. Toplamda 8 açı oluşur.

Yöndeş Açılar

Paralel doğruların aynı tarafında ve kesenin aynı yönünde bulunan açılara yöndeş açılar denir.

• Yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir.

Betimleme: Eğer d1 ve d2 paralel doğruları, k keseni tarafından kesildiğinde, üst paralel doğrunun sağ üstündeki açı ile alt paralel doğrunun sağ üstündeki açı yöndeştir.

İç Ters Açılar

Paralel doğruların iç bölgesinde ve kesenin farklı taraflarında bulunan açılara iç ters açılar denir.

• İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

Betimleme: Üst paralel doğrunun iç bölgesinde, kesenin solunda kalan açı ile alt paralel doğrunun iç bölgesinde, kesenin sağında kalan açı iç terstir.

Dış Ters Açılar

Paralel doğruların dış bölgesinde ve kesenin farklı taraflarında bulunan açılara dış ters açılar denir.

• Dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

Betimleme: Üst paralel doğrunun dış bölgesinde, kesenin solunda kalan açı ile alt paralel doğrunun dış bölgesinde, kesenin sağında kalan açı dış terstir.

Karşı Durumlu Açılar

Paralel doğruların iç bölgesinde ve kesenin aynı tarafında bulunan açılara karşı durumlu açılar denir.

• Karşı durumlu açıların ölçüleri toplamı \(180^\circ\)dir.

Betimleme: Üst paralel doğrunun iç bölgesinde, kesenin solunda kalan açı ile alt paralel doğrunun iç bölgesinde, kesenin solunda kalan açı karşı durumlu açılardır.