Açılar ve doğrular Ders Notu

Açılar ve Doğrular

Bu bölümde, geometrinin temel taşlarından olan açılar ve doğrular arasındaki ilişkileri 7. sınıf müfredatı çerçevesinde detaylı bir şekilde inceleyeceğiz. Doğruların birbirine göre durumları, kesişen, paralel ve çakışık doğrular ile bu doğrular üzerinde oluşan açı çeşitlerini ve özelliklerini öğreneceğiz. Bu bilgiler, hem matematiksel düşünme becerilerimizi geliştirecek hem de günlük hayatımızdaki birçok olayı daha iyi anlamamıza yardımcı olacaktır.

Doğruların Birbirine Göre Durumları

İki doğrunun düzlemdeki konumları incelendiğinde üç farklı durumla karşılaşırız:

Kesişen Doğrular: Düzlemde yalnızca bir noktada kesişen doğrulardır. Bu doğrular arasında oluşan açılar önemlidir.
Paralel Doğrular: Düzlemde hiçbir noktada kesişmeyen, birbirine eşit uzaklıkta bulunan doğrulardır. Birbirlerine "benzeyen" ancak asla "buluşmayan" doğrular olarak düşünebiliriz.
Çakışık Doğrular: Üzerindeki tüm noktaları aynı olan doğrulardır. Aslında aynı doğrunun farklı gösterimleridir.

Açı Çeşitleri ve Özellikleri

Açılar, iki ışının bir başlangıç noktasında birleşmesiyle oluşur. Açıların ölçüleri derece (°) ile gösterilir. 7. sınıfta temel açı çeşitlerini ve özelliklerini öğreniriz:

Dar Açı: Ölçüsü \( 0^\circ \) ile \( 90^\circ \) arasında olan açılardır.
Dik Açı: Ölçüsü tam olarak \( 90^\circ \) olan açılardır. Kare ve dikdörtgenlerin köşelerindeki açılar dik açıdır.
Geniş Açı: Ölçüsü \( 90^\circ \) ile \( 180^\circ \) arasında olan açılardır.
Doğru Açı: Ölçüsü tam olarak \( 180^\circ \) olan açılardır. Bir doğru üzerindeki açıdır.
Tam Açı: Ölçüsü tam olarak \( 360^\circ \) olan açıdır. Bir tam turu ifade eder.

Kesişen Doğrularla Oluşan Açılar

İki doğru bir noktada kesiştiğinde dört açı oluşur. Bu açılar arasında önemli ilişkiler vardır:

Tümler Açılar: Toplamları \( 90^\circ \) olan iki açıya tümler açılar denir.

Örnek: Bir açının ölçüsü \( 30^\circ \) ise, bu açının tümleri \( 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \) olur.

Bütünler Açılar: Toplamları \( 180^\circ \) olan iki açıya bütünler açılar denir.

Örnek: Bir açının ölçüsü \( 110^\circ \) ise, bu açının bütünleri \( 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \) olur.

Ters Açılar: Kesişen iki doğrunun oluşturduğu, köşeleri ortak ve kenarları birbirinin uzantısı olan açılardır. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

Eğer bir kesişimde oluşan açılardan biri \( 50^\circ \) ise, onun ters açısı da \( 50^\circ \) olur.

Paralel Doğrular ve Kesen Doğru

İki paralel doğruyu üçüncü bir doğru (kesen) kestiğinde toplam sekiz açı oluşur. Bu açılar arasında da özel ilişkiler vardır:

İç Açılar: Paralel doğruların arasında kalan açılardır.
Dış Açılar: Paralel doğruların dışında kalan açılardır.
Yöndeş Açılar: Kesen doğrusuna göre aynı yöne bakan açılardır. Yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir.

Örnek: Paralel iki doğruyu kesen bir doğru çizildiğinde, üstteki doğru üzerindeki sağ üst açı ile alttaki doğru üzerindeki sağ üst açı yöndeş açılardır ve ölçüleri eşittir.

İç Ters Açılar: Paralel doğruların arasında kalan ve zikzak çizerek oluşan, ters yönlü açılardır. İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

Örnek: Paralel iki doğruyu kesen bir doğru çizildiğinde, üstteki doğru üzerindeki sağ iç açı ile alttaki doğru üzerindeki sol iç açı iç ters açılardır ve ölçüleri eşittir.

Dış Ters Açılar: Paralel doğruların dışında kalan ve zikzak çizerek oluşan, ters yönlü açılardır. Dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Karşı Durumlu Açılar (Karşıt Açılar): Paralel doğruların arasında kalan ve bir yanda bulunan açılardır. Karşı durumlu açıların toplamı \( 180^\circ \) dir.

Örnek: Paralel iki doğruyu kesen bir doğru çizildiğinde, üstteki doğru üzerindeki sağ iç açı ile alttaki doğru üzerindeki sağ iç açı karşı durumlu açılardır ve toplamları \( 180^\circ \) olur.

Çözümlü Örnek:

Aşağıdaki şekilde \( d_1 \) doğrusu \( d_2 \) doğrusuna paraleldir ve \( k \) doğrusu bu iki doğruyu kesmektedir. \( \angle A = 75^\circ \) olduğuna göre, diğer açıların ölçülerini bulunuz.

(Şekil betimlemesi: \( d_1 \) ve \( d_2 \) yatay iki paralel doğru. \( k \) doğrusu bu iki doğruyu çapraz kesiyor. \( \angle A \), \( d_1 \) doğrusunun sol üstünde kalan açıdır.)

\( \angle A \) ile ters açı olan açı \( 75^\circ \) olur.
\( \angle A \) ile yöndeş açı olan açı \( 75^\circ \) olur.
\( \angle A \) ile iç ters açı olan açı (Alttaki doğru üzerinde, \( d_2 \) doğrusunun sağ iç tarafında kalan açı) \( 75^\circ \) olur.
\( \angle A \) ile bütünler açı olan açı \( 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \) olur.
Bu \( 105^\circ \) olan açı ile ters açı da \( 105^\circ \) olur.
Bu \( 105^\circ \) olan açı ile yöndeş açı da \( 105^\circ \) olur.
Bu \( 105^\circ \) olan açı ile iç ters açı da \( 105^\circ \) olur.
Karşı durumlu açıların toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, \( \angle A \) ile \( d_2 \) doğrusunun sol iç tarafında kalan açının toplamı \( 180^\circ \) olur. Bu açı \( 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \) olur.