Üçgen ve paralelkenarın alanı Ders Notu

Bu ders notunda, 6. sınıf matematik müfredatına uygun olarak üçgen ve paralelkenarın alanlarını hesaplamayı öğreneceğiz. Alan, bir şeklin kapladığı iki boyutlu yüzey miktarını ifade eder.

Üçgenin Alanı 📐

Bir üçgenin alanını hesaplamak için taban uzunluğu ve bu tabana ait yüksekliği bilmemiz gerekir. Yükseklik, tabanın karşısındaki köşeden tabana indirilen dikmedir.

Üçgen Alan Formülü

Üçgenin alanı şu formülle hesaplanır:

\[ \text{Alan} = \frac{\text{taban} \times \text{yükseklik}}{2} \]

Burada 'taban' üçgenin herhangi bir kenarı olabilir ve 'yükseklik' o kenara ait dikmedir.

Örnek 1: Dik Üçgen

Taban uzunluğu 8 cm ve bu tabana ait yükseklik 6 cm olan bir dik üçgenin alanını bulalım.

Formülü uygulayalım:

\[ \text{Alan} = \frac{8 \text{ cm} \times 6 \text{ cm}}{2} \] \[ \text{Alan} = \frac{48 \text{ cm}^2}{2} \] \[ \text{Alan} = 24 \text{ cm}^2 \]

Bu üçgenin alanı 24 santimetrekaredir.

Örnek 2: Geniş Açılı Üçgen

Bir geniş açılı üçgenin taban uzunluğu 10 cm'dir. Bu tabana ait yükseklik ise tabanın uzantısına indirilen dikme olup 7 cm'dir. Üçgenin alanını hesaplayalım.

Formülümüz yine aynıdır:

\[ \text{Alan} = \frac{10 \text{ cm} \times 7 \text{ cm}}{2} \] \[ \text{Alan} = \frac{70 \text{ cm}^2}{2} \] \[ \text{Alan} = 35 \text{ cm}^2 \]

Bu geniş açılı üçgenin alanı 35 santimetrekaredir.

Paralelkenarın Alanı 📏

Paralelkenarın alanı da üçgenin alanına benzer bir mantıkla hesaplanır. Paralelkenarın taban uzunluğu ve bu tabana ait yüksekliği bilmek yeterlidir.

Paralelkenar Alan Formülü

Paralelkenarın alanı şu formülle hesaplanır:

\[ \text{Alan} = \text{taban} \times \text{yükseklik} \]

Burada 'taban' paralelkenarın herhangi bir kenarı ve 'yükseklik' o kenara ait dikmedir.

Örnek 3: Paralelkenar

Taban uzunluğu 12 cm ve bu tabana ait yükseklik 5 cm olan bir paralelkenarın alanını bulalım.

Formülü uygulayalım:

\[ \text{Alan} = 12 \text{ cm} \times 5 \text{ cm} \] \[ \text{Alan} = 60 \text{ cm}^2 \]

Bu paralelkenarın alanı 60 santimetrekaredir.

Örnek 4: Günlük Yaşamdan Paralelkenar Alanı

Bir bahçenin paralelkenar şeklinde bir kısmı bulunmaktadır. Bu kısmın bir kenarı 15 metre ve bu kenara ait yükseklik 8 metredir. Bahçenin bu kısmının alanını hesaplayalım.

Paralelkenar alan formülünü kullanırız:

\[ \text{Alan} = 15 \text{ m} \times 8 \text{ m} \] \[ \text{Alan} = 120 \text{ m}^2 \]

Bahçenin bu kısmının alanı 120 metrekaredir.

Önemli Notlar

• Üçgenin alanında formülde 2'ye bölme işlemi olduğunu unutmayalım.
• Paralelkenarın alanında ise taban ile yüksekliği doğrudan çarparız.
• Yükseklik her zaman tabana diktir.

Karşılaştırma

Bir üçgenin alanını, aynı taban ve yüksekliğe sahip bir paralelkenarın alanıyla karşılaştırdığımızda, üçgenin alanının paralelkenarın alanının yarısı olduğunu görürüz. Bu, üçgenin alan formülündeki bölü 2'den kaynaklanır.

Alıştırma Sorusu

Taban uzunluğu 7 cm ve bu tabana ait yüksekliği 9 cm olan bir üçgen ile, taban uzunluğu 7 cm ve bu tabana ait yüksekliği 9 cm olan bir paralelkenarın alanları arasındaki farkı bulunuz.

Çözüm

Üçgenin Alanı:

\[ \text{Alan}_{\text{üçgen}} = \frac{7 \text{ cm} \times 9 \text{ cm}}{2} = \frac{63 \text{ cm}^2}{2} = 31.5 \text{ cm}^2 \]

Paralelkenarın Alanı:

\[ \text{Alan}_{\text{paralelkenar}} = 7 \text{ cm} \times 9 \text{ cm} = 63 \text{ cm}^2 \]

Alanlar arasındaki fark:

\[ 63 \text{ cm}^2 - 31.5 \text{ cm}^2 = 31.5 \text{ cm}^2 \]

İki şeklin alanları arasındaki fark 31.5 santimetrekaredir.