Paralelkenarda yükseklik ve alan Ders Notu

Paralelkenarda Yükseklik ve Alan 📐

Bu dersimizde, paralelkenarın temel özelliklerinden olan yüksekliği ve alanını hesaplamayı öğreneceğiz. Paralelkenar, karşılıklı kenarları paralel ve eşit uzunlukta olan dörtgendir. Alan hesaplaması için yükseklik kavramı oldukça önemlidir.

Paralelkenarda Yükseklik Nedir?

Paralelkenarda yükseklik, paralel kenarlardan birine ait tabana, bu tabanın karşısındaki köşeden veya o köşeden indirilen dikmedir. Paralelkenarın iki farklı yüksekliği olabilir:

Bir kenar taban kabul edildiğinde, o kenara ait yükseklik.
Karşı kenar taban kabul edildiğinde, o kenara ait yükseklik.

Genellikle kısa kenar taban kabul edildiğinde yüksekliği \(h_a\), uzun kenar taban kabul edildiğinde ise yüksekliği \(h_b\) ile gösterilir.

Paralelkenarın Alanı Nasıl Hesaplanır?

Paralelkenarın alanı, taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpımına eşittir. Farklı tabanlar kullanıldığında, her zaman o tabana ait yükseklik kullanılmalıdır.

Formül:

Alan = Taban \( \times \) Yükseklik

Eğer taban \(a\) ve bu tabana ait yükseklik \(h_a\) ise, alan \(A\) şu şekilde hesaplanır:

\[ A = a \times h_a \]

Eğer taban \(b\) ve bu tabana ait yükseklik \(h_b\) ise, alan \(A\) şu şekilde hesaplanır:

\[ A = b \times h_b \]

Unutmamalıyız ki, bir paralelkenarın alanı, hangi kenarı taban olarak seçersek seçelim, o tabana ait yükseklik ile çarpıldığında aynı sonucu verir.

Örnek 1:

Kenar uzunlukları 8 cm ve 5 cm olan bir paralelkenarın, 8 cm'lik kenarına ait yüksekliği 6 cm'dir. Bu paralelkenarın alanını hesaplayınız.

Çözüm:
Taban olarak 8 cm'lik kenarı alırsak, bu kenara ait yükseklik 6 cm'dir.

Alan = Taban \( \times \) Yükseklik

Alan = \( 8 \text{ cm} \times 6 \text{ cm} \)

Alan = \( 48 \text{ cm}^2 \)

Örnek 2:

Bir paralelkenarın alanı \( 72 \text{ cm}^2 \) dir. Kısa kenarı 6 cm'dir ve bu kenara ait yükseklik 9 cm'dir. Uzun kenarına ait yüksekliği bulunuz.

Çözüm:
Öncelikle paralelkenarın alanını kullanarak, kısa kenarına ait yüksekliği ile çarpımının alanı verdiğini biliyoruz:

Alan = Kısa Kenar \( \times \) Kısa Kenara Ait Yükseklik

\( 72 \text{ cm}^2 = 6 \text{ cm} \times 9 \text{ cm} \)

\( 72 \text{ cm}^2 = 54 \text{ cm}^2 \)

Bu hesaplama ile kısa kenarın 6 cm olduğu ve bu kenara ait yüksekliğin 9 cm olduğu bilgisiyle alanın \( 54 \text{ cm}^2 \) olması gerekirdi. Soruda verilen alan \( 72 \text{ cm}^2 \) olduğu için, verilen bilgilerde bir tutarsızlık vardır. Ancak soruyu "alanı \( 72 \text{ cm}^2 \) olan ve kısa kenarı 6 cm olan bir paralelkenarın, kısa kenarına ait yüksekliği nedir?" şeklinde düzeltirsek:

Alan = Kısa Kenar \( \times \) Kısa Kenara Ait Yükseklik

\( 72 \text{ cm}^2 = 6 \text{ cm} \times h_{kısa} \)

Buradan \( h_{kısa} \) bulunabilir. Ancak soruda uzun kenara ait yükseklik sorulmuş. Soruyu şu şekilde ele alalım: Alanı \( 72 \text{ cm}^2 \) olan bir paralelkenarın, kısa kenarı 6 cm ve uzun kenarı 9 cm'dir. Kısa kenarına ait yüksekliği \( h_a \) ve uzun kenarına ait yüksekliği \( h_b \) olsun.

Alan = \( 72 \text{ cm}^2 \)

Kısa Kenar \( a = 6 \text{ cm} \)

Uzun Kenar \( b = 9 \text{ cm} \)

Kısa kenara ait yükseklik \( h_a \):

\( 72 \text{ cm}^2 = 6 \text{ cm} \times h_a \)

\( h_a = \frac{72 \text{ cm}^2}{6 \text{ cm}} = 12 \text{ cm} \)

Uzun kenara ait yükseklik \( h_b \):

\( 72 \text{ cm}^2 = 9 \text{ cm} \times h_b \)

\( h_b = \frac{72 \text{ cm}^2}{9 \text{ cm}} = 8 \text{ cm} \)

Bu durumda, kısa kenarına ait yükseklik 12 cm ve uzun kenarına ait yükseklik 8 cm'dir. Soruda verilen "kısa kenarına ait yükseklik 9 cm'dir" bilgisiyle, alanın \( 6 \times 9 = 54 \text{ cm}^2 \) olması gerekirdi. Eğer alan \( 72 \text{ cm}^2 \) ise ve kısa kenar 6 cm ise, kısa kenara ait yükseklik 12 cm olur. Uzun kenara ait yüksekliği bulmak için, paralelkenarın uzun kenarının kaç cm olduğunu bilmemiz gerekir. Eğer uzun kenarı \(b\) olarak verirsek:

\( 72 \text{ cm}^2 = b \times h_b \)

Soruyu şu şekilde revize edelim: Bir paralelkenarın alanı \( 72 \text{ cm}^2 \) dir. Kısa kenarı 6 cm'dir. Uzun kenarına ait yükseklik 8 cm'dir. Bu paralelkenarın kısa kenarına ait yüksekliğini bulunuz.

Alan = Uzun Kenar \( \times \) Uzun Kenara Ait Yükseklik

\( 72 \text{ cm}^2 = \text{Uzun Kenar} \times 8 \text{ cm} \)

Uzun Kenar = \( \frac{72 \text{ cm}^2}{8 \text{ cm}} = 9 \text{ cm} \)

Şimdi kısa kenarına ait yüksekliği bulabiliriz:

Alan = Kısa Kenar \( \times \) Kısa Kenara Ait Yükseklik

\( 72 \text{ cm}^2 = 6 \text{ cm} \times h_{kısa} \)

\( h_{kısa} = \frac{72 \text{ cm}^2}{6 \text{ cm}} = 12 \text{ cm} \)

Günlük Yaşamdan Örnekler

Paralelkenarın alanını hesaplama mantığı, günlük hayatta bazı alanların hesaplanmasında karşımıza çıkabilir. Örneğin, bir bahçenin paralelkenar şeklinde olması durumunda, ekilecek alanın büyüklüğünü hesaplamak için taban ve yükseklik bilgisi kullanılır.

Bir binanın ön cephesinin paralelkenar şeklinde olduğu düşünülürse, cepheyi boyamak için ne kadar boya gerektiğini hesaplamak alan bilgisine dayanır.

Önemli Notlar 💡

Paralelkenarın alanını hesaplarken, taban olarak seçtiğiniz kenara ait yüksekliği kullanmalısınız.
Bir paralelkenarın iki farklı yüksekliği vardır.
Alan hesaplamasında birimler önemlidir. Kenar uzunlukları cm ise alan cm\(^2\), metre ise alan m\(^2\) olur.