🎓 6. Sınıf
📚 6. Sınıf Matematik
💡 6. Sınıf Matematik: Merkezi yay uzunluğu Çözümlü Örnekler
6. Sınıf Matematik: Merkezi yay uzunluğu Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Yarıçapı 10 cm olan bir dairenin merkez açısı 90 derece olan bir yayın uzunluğunu bulunuz. 💡
Çözüm:
- Öncelikle yayın uzunluğunu hesaplamak için kullanacağımız formülü hatırlayalım: Yay Uzunluğu = \( \frac{Merkez\ Açısı}{360^\circ} \\times 2 \\times \pi \times Yarıçap\)
- Verilen değerleri formülde yerine koyalım: Merkez Açısı = \( 90^\circ \), Yarıçap = \( 10 \) cm.
- Yay Uzunluğu = \( \frac{90^\circ}{360^\circ} \\times 2 \\times \pi \times 10 \)
- Kesir kısmını sadeleştirelim: \( \frac{90}{360} = \frac{1}{4} \)
- Hesaplamaya devam edelim: Yay Uzunluğu = \( \frac{1}{4} \\times 20\pi \)
- Sonucu bulalım: Yay Uzunluğu = \( 5\pi \) cm.
Örnek 2:
Bir bisiklet tekerleğinin yarıçapı 35 cm'dir. Tekerlek, merkez açısı 180 derece olan bir yay kadar döndüğünde kaç cm yol almış olur? 🚴
Çözüm:
- Bu soruda da yay uzunluğu formülünü kullanacağız: Yay Uzunluğu = \( \frac{Merkez\ Açısı}{360^\circ} \\times 2 \\times \pi \times Yarıçap\)
- Verilenler: Merkez Açısı = \( 180^\circ \), Yarıçap = \( 35 \) cm.
- Formülde yerine koyalım: Yay Uzunluğu = \( \frac{180^\circ}{360^\circ} \\times 2 \\times \pi \times 35 \)
- Kesir kısmını sadeleştirelim: \( \frac{180}{360} = \frac{1}{2} \)
- Hesaplamayı tamamlayalım: Yay Uzunluğu = \( \frac{1}{2} \\times 70\pi \)
- Sonuç: Yay Uzunluğu = \( 35\pi \) cm.
Örnek 3:
Çevresi 48\( \pi \) cm olan bir dairenin, merkez açısı 120 derece olan bir yayının uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
- Öncelikle dairenin yarıçapını bulmamız gerekiyor. Dairenin çevresi \( Ç = 2 \\times \pi \times r \) formülü ile bulunur.
- Verilen çevre: \( 48\pi \) cm.
- \( 48\pi = 2 \\times \pi \times r \)
- Her iki tarafı \( 2\pi \) ile bölersek yarıçapı buluruz: \( r = \frac{48\pi}{2\pi} = 24 \) cm.
- Şimdi yay uzunluğunu hesaplayabiliriz. Merkez açısı 120 derece ve yarıçapı 24 cm olan yayın uzunluğu:
- Yay Uzunluğu = \( \frac{120^\circ}{360^\circ} \\times 2 \\times \pi \times 24 \)
- Sadeleştirme yapalım: \( \frac{120}{360} = \frac{1}{3} \)
- Hesaplama: Yay Uzunluğu = \( \frac{1}{3} \\times 48\pi \)
- Sonuç: Yay Uzunluğu = \( 16\pi \) cm.
Örnek 4:
Bir saatin akrep ve yelkovanının uç noktaları arasındaki yayın uzunluğunu hesaplamak istiyoruz. Eğer akrep 3 saatte 90 derecelik bir açı tarıyorsa ve akrebin uzunluğu (yarıçapı) 4 cm ise, 3 saatte akrebin taradığı yayın uzunluğu kaç cm'dir? ⏰
Çözüm:
- Bu soruda akrep, bir yayın yarıçapı gibi düşünülebilir.
- Verilenler: Merkez Açısı = \( 90^\circ \), Yarıçap = \( 4 \) cm.
- Yay Uzunluğu = \( \frac{Merkez\ Açısı}{360^\circ} \\times 2 \\times \pi \times Yarıçap\)
- Formülde değerleri yerine koyalım: Yay Uzunluğu = \( \frac{90^\circ}{360^\circ} \\times 2 \\times \pi \times 4 \)
- Sadeleştirme: \( \frac{90}{360} = \frac{1}{4} \)
- Hesaplama: Yay Uzunluğu = \( \frac{1}{4} \\times 8\pi \)
- Sonuç: Yay Uzunluğu = \( 2\pi \) cm.
Örnek 5:
Bir dondurmacı, yarım daire şeklinde kesilmiş bir külahın kenarını süslemek için çikolata kaplaması kullanıyor. Eğer bu yarım dairenin yarıçapı 6 cm ise, dondurmacının kullanması gereken çikolata kaplamasının uzunluğu kaç cm'dir? 🍦
Çözüm:
- Yarım dairenin kenarını süslemek demek, yarım dairenin çevresini hesaplamak demektir.
- Yarım dairenin çevresi, yarım dairenin yay uzunluğu ile çapının toplamına eşittir.
- Önce yarım dairenin yay uzunluğunu bulalım. Yarım dairenin merkez açısı \( 180^\circ \) olur.
- Yay Uzunluğu (yarım daire) = \( \frac{180^\circ}{360^\circ} \\times 2 \\times \pi \times Yarıçap\)
- Verilen yarıçap: \( 6 \) cm.
- Yay Uzunluğu = \( \frac{1}{2} \\times 2 \\times \pi \times 6 \)
- Yay Uzunluğu = \( 6\pi \) cm.
- Şimdi çapı bulalım. Çap = \( 2 \\times Yarıçap\) = \( 2 \\times 6 = 12 \) cm.
- Yarım dairenin çevresi = Yay Uzunluğu + Çap = \( 6\pi + 12 \) cm.
Örnek 6:
Bir parkta bulunan dairesel bir oyun alanının yarıçapı 7 metredir. Bu oyun alanının kenarında, merkez açısı 72 derece olan bir bölüm, çocukların kaydırak kurması için ayrılmıştır. Kaydırağın kurulduğu bu bölümün yay uzunluğu kaç metredir? 🏞️
Çözüm:
- Bu soruda, oyun alanının kenarındaki belirli bir bölümün yay uzunluğunu hesaplamamız gerekiyor.
- Verilenler: Yarıçap = \( 7 \) metre, Merkez Açısı = \( 72^\circ \).
- Yay Uzunluğu = \( \frac{Merkez\ Açısı}{360^\circ} \\times 2 \\times \pi \times Yarıçap\)
- Formülde değerleri yerine koyalım: Yay Uzunluğu = \( \frac{72^\circ}{360^\circ} \\times 2 \\times \pi \times 7 \)
- Kesir kısmını sadeleştirelim: \( \frac{72}{360} = \frac{1}{5} \)
- Hesaplama: Yay Uzunluğu = \( \frac{1}{5} \\times 14\pi \)
- Sonuç: Yay Uzunluğu = \( \frac{14\pi}{5} \) metre.
Örnek 7:
Bir çemberin \( \frac{1}{6} \) 'sı kadar uzunluğa sahip bir yayın merkez açısı kaç derecedir? 📐
Çözüm:
- Soruda yayın uzunluğunun çemberin \( \frac{1}{6} \) 'sı olduğu belirtilmiş.
- Çemberin tamamı \( 360^\circ \) 'dir.
- Bu durumda, yayın merkez açısı çemberin tamamının \( \frac{1}{6} \) 'sı olacaktır.
- Merkez Açı = \( \frac{1}{6} \\times 360^\circ \)
- Hesaplama: Merkez Açı = \( 60^\circ \)
Örnek 8:
Bir bisiklet yarışında, sporcular dairesel bir pistin 3/4'lük kısmını tamamladıklarında, pistin merkezinden geçen bir yayın uzunluğu 150\( \pi \) metre oluyor. Pistin tamamının çevresi kaç metredir? 🏁
Çözüm:
- Soruda, pistin 3/4'lük kısmını temsil eden yayın uzunluğu verilmiş.
- Bu yayın uzunluğu \( 150\pi \) metreymiş.
- Yayın uzunluğu formülünü düşünelim: Yay Uzunluğu = \( \frac{Merkez\ Açısı}{360^\circ} \\times Çevre\).
- Burada merkez açısı, pistin 3/4'lük kısmına karşılık geldiği için \( \frac{3}{4} \\times 360^\circ = 270^\circ \) olur.
- Formülde verilenleri yerine koyalım: \( 150\pi = \frac{270^\circ}{360^\circ} \\times Çevre \)
- Kesir kısmını sadeleştirelim: \( \frac{270}{360} = \frac{3}{4} \)
- Denklemimiz şu hale gelir: \( 150\pi = \frac{3}{4} \\times Çevre \)
- Çevreyi bulmak için her iki tarafı \( \frac{3}{4} \) ile bölelim (yani \( \frac{4}{3} \) ile çarpalım):
- Çevre = \( 150\pi \\times \frac{4}{3} \)
- Hesaplama: Çevre = \( \frac{600\pi}{3} \)
- Sonuç: Çevre = \( 200\pi \) metre.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/6-sinif-matematik-merkezi-yay-uzunlugu/sorular