Merkezi yay uzunluğu Ders Notu

6. Sınıf Matematik: Merkezi Açının Kollarının Oluşturduğu Yay Uzunluğu 📐

Bu dersimizde, bir çemberde merkezi açının kollarının çember üzerinde ayırdığı yay parçasının uzunluğunun nasıl hesaplandığını öğreneceğiz. Çemberin tamamının çevresini bildiğimizde, merkezi açının büyüklüğüne göre yay uzunluğunu bulabiliriz.

Merkezi Açı ve Yay İlişkisi

Bir çemberde, merkezi açının ölçüsü ile gördüğü yayın ölçüsü birbirine eşittir. Örneğin, bir merkezi açının ölçüsü \( 90^\circ \) ise, bu açı çember üzerinde \( 90^\circ \) 'lik bir yaya karşılık gelir.

Çemberin tamamı \( 360^\circ \) 'dir. Bu nedenle, bir yayın uzunluğunu bulmak için o yayın merkez açıya karşılık gelen derecesini, çemberin toplam derecesine \( (360^\circ) \) oranlayarak çemberin çevresi ile çarpmamız gerekir.

Yay Uzunluğu Hesaplama Formülü

Bir çemberin yarıçapı \( r \) ise, çevresi \( Ç = 2 \cdot \pi \cdot r \) formülü ile bulunur. Buradaki \( \pi \) (pi sayısı) yaklaşık olarak 3 alınabilir veya soruda farklı bir değer verilirse o kullanılır. 6. Sınıf müfredatında genellikle \( \pi \approx 3 \) olarak kabul edilir.

Merkezi açının ölçüsü \( \alpha \) derece ise, bu açının gördüğü yayın uzunluğu \( L \) şu formülle hesaplanır:

\[ L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot Ç \]

Burada \( Ç \) çemberin çevresidir. Çevreyi \( 2 \cdot \pi \cdot r \) olarak yerine koyarsak, yay uzunluğu formülü şu hale gelir:

\[ L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot (2 \cdot \pi \cdot r) \]

Örnek 1:

Yarıçapı 10 cm olan bir çemberde, merkezi açının ölçüsü \( 60^\circ \) ise, bu açının gördüğü yayın uzunluğu kaç cm olur? \( \pi = 3 \) alınız.

Çözüm:

• Öncelikle çemberin çevresini bulalım: \( Ç = 2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot 3 \cdot 10 \, \text{cm} = 60 \, \text{cm} \).
• Şimdi yay uzunluğunu hesaplayalım: \( L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot Ç = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot 60 \, \text{cm} \).
• Kesri sadeleştirelim: \( \frac{60}{360} = \frac{1}{6} \).
• Yay uzunluğu: \( L = \frac{1}{6} \cdot 60 \, \text{cm} = 10 \, \text{cm} \).

Yani, \( 60^\circ \) 'lik merkezi açının gördüğü yayın uzunluğu 10 cm'dir.

Örnek 2:

Bir bisiklet tekerleğinin yarıçapı 35 cm'dir. Tekerlek, \( 180^\circ \) 'lik bir dönme hareketi yaptığında, tekerleğin üzerindeki bir nokta kaç cm yol almış olur? \( \pi = \frac{22}{7} \) alınız.

Çözüm:

Burada \( 180^\circ \)'lik dönme, tekerleğin çevresinin yarısı kadar yol alınması anlamına gelir. Bu, \( 180^\circ \)'lik bir merkezi açının gördüğü yayın uzunluğunu bulmakla aynıdır.

• Çemberin çevresini hesaplayalım: \( Ç = 2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot \frac{22}{7} \cdot 35 \, \text{cm} \).
• Sadeleştirme yapalım: \( 35 \) ile \( 7 \) sadeleşir, \( 35 \div 7 = 5 \).
• Çevre: \( Ç = 2 \cdot 22 \cdot 5 \, \text{cm} = 220 \, \text{cm} \).
• Şimdi yay uzunluğunu (alınan yolu) hesaplayalım: \( L = \frac{180^\circ}{360^\circ} \cdot 220 \, \text{cm} \).
• Kesri sadeleştirelim: \( \frac{180}{360} = \frac{1}{2} \).
• Alınan yol: \( L = \frac{1}{2} \cdot 220 \, \text{cm} = 110 \, \text{cm} \).

Tekerlek \( 180^\circ \) döndüğünde 110 cm yol alır.

Örnek 3:

Bir saatin akrep ucu, 2 saatlik sürede kaç cm yol alır? Akrep ucunun saatin merkezine uzaklığı 4 cm'dir. \( \pi = 3 \) alınız.

Çözüm:

Bir tam tur \( 360^\circ \) ve 12 saattir. Bu durumda 1 saat, \( \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ \) 'ye karşılık gelir.

• 2 saatlik süre, \( 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ \) 'lik bir merkezi açıya denk gelir.
• Akrep ucunun bağlı olduğu çemberin yarıçapı \( r = 4 \, \text{cm} \).
• Çemberin çevresi: \( Ç = 2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot 3 \cdot 4 \, \text{cm} = 24 \, \text{cm} \).
• 2 saatte alınan yol (yay uzunluğu): \( L = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot 24 \, \text{cm} \).
• Kesri sadeleştirelim: \( \frac{60}{360} = \frac{1}{6} \).
• Alınan yol: \( L = \frac{1}{6} \cdot 24 \, \text{cm} = 4 \, \text{cm} \).

Akrep ucu 2 saatte 4 cm yol alır.

Önemli Notlar:

• Yay uzunluğu hesaplanırken, verilen merkezi açının derece cinsinden olduğundan emin olun.
• Soruda \( \pi \) için belirli bir değer verilmediyse, \( \pi \approx 3 \) kullanmak genellikle yeterlidir.
• Çemberin çevresini doğru hesaplamak, yay uzunluğunu doğru bulmanın ilk adımıdır.